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江西省临川区2016-2017学年高二数学下学期期末考试试题 文



临川一中2014—2015学年度下学期期末考试
高二文科数学试卷 卷面满分:150 分 考试时间: 120分钟

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1. i 为虚数单位,若 ( 3 ? i ) z ? 3 ? i ,则 | z |? ( A.1 B. 2 C. 3 ) D.2



2.已知全集 U ? R ,函数 f ( x) ? 2 x ? 5 x 的定义域为 M ,则 CU M ? ( A. (??,0] B. (0,??) ) C. (??,0) D. [0,??)

3.下列判断错误的是(

3 2 A.“ x 3 ? x 2 ? 1 ? 0 对 x ? R 恒成立”的否定是“存在 x0 ? R 使得 x0 ? x0 ?1 ? 0 ”

B. “ am 2 ? bm 2 ”是“ a ? b ”的充分不必要条件 C. 若 n 组数据 ?x1 , y1 ?? ? ? ?xn , yn ?的散点都在 y ? ?2 x ? 1 上,则相关系数 r ? ?1 D.若“ p?q ”为假命题,则 p, q 均为假命题 4. 一个几何体的三视图如图所示,已知这个几何体的体积为 10 3 ,则 h ? ( )

A. 5.

3 2

B. 3

C. 3 3

D. 5 3

已知直线 l : x ? ky ? 5 ? 0 与圆 O : x 2 ? y 2 ? 10 交于 A 、 B 两点且 OA? OB ? 0 ,则

?

?

-1-

k ?(

) D. 2

A.

2

B. ? 2

C. ?2

6. 已知等差数列满足 a6 ? a10 ? 20 ,则下列选项错误的是( A. S15 ? 150 B.
a8 ? 10

)

C.

a16 ? 20

D. a4 ? a12 ? 20 )

7.执行如图程序框图,如果输入的 N 的值是6,那么输出的 p 的值是( A.105 开始 B.115 C.120 D.720 否 输出 p

输入
N

k ? 1, p ? 1

p ? p?k

k ? N?

结束

是 k ?k ?2 ) D. a b ? b a ? a a

8. 设

1 1 b 1 a ?( ) ?( ) ? 1 ,那么 ( 2015 2015 2015

A. a a ? a b ? b a

B. a a ? b a ? a b

C. a b ? a a ? b a

9. 在 ?ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c ,若 c 2 ? (a ? b) 2 ? 6 ,
?ABC 的面积为
3 3 ,则 C ? ( 2

)

A.

?
3

2? B. 3

? C. 6

5? D. 6

1 10.已知函数 f ( x) ? x 3 ? ax 2 ? b 2 x ? 1 ,若 a 是从1,2,3三个数中任取的一个数 3

, b 是从0,1,2三个数中任取的一个数,则该函数有两个极值点的概率为( ) A. 11. 抛物线 y 2 ? 2 x 的内接 ? ABC的三条边所在直线与抛物线 x 2 ? 2 y 均相切,设A ,B两点的纵坐标分别是 a, b ,则C点的纵坐标为( A. a ? b B. 2a ? 2b C. ? a ? b ) D. ?2a ? 2b
7 9

B.

1 3

C.

5 9

D.

2 3

-2-

1 e 为自然对数的底数)与 g ( x) ? 2 ln x 的图象 12.已知函数 f ( x) ? a ? x 2 , ( ? x ? e, e

上存在关于 x 轴对称的点,则实数 a 的取值范围是( A. [1,
1 ? 2] e2

) C. [1, e 2 ? 2] D.

B. [

1 ? 2, e 2 ? 2] 2 e

[e 2 ? 2, ??)
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13. 在 ?ABC 中,若
AB ? 1, AC ? 3 , AB ? AC ? BC ,
? ? ? ? ?

2 BA? BC BC
?

?

?

__

.

?x ? 1 ? 14. 已知 a ? 0 ,实数 x, y 满足: ? x ? y ? 3 ,若 z ? 2 x ? y 的最小值为1,则 ? y ? a ( x ? 3) ?
a?

.

sin( x ? ) 3 , x ? [0, ? ] 15.函数 f ( x) ? ? 4 的最大值为 sin( x ? ) 4

?

.

16. 若函数 f ( x) ? e x ? mx 2 定义域为 (0,??) ,值域为 [0,??) ,则 m 的值为 . 三、解答题:本大题共70分,其中(17)— (21)题为必考题,(22)、(23)、(24)题为选考题,解答应写出文字说明 ,证明过程或演算步骤。
2 17.已知正项数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,对任意 n ? N ? ,有 2 S n ? an ? an .

(1)求数列 {an } 的通项公式; (2)令 bn ?

an an ?1

1 ,设 {bn } 的前 n 项和为 Tn ,求证: Tn ? 1. ? an ?1 an

18.“开门大吉”是某电视台推出的游戏节目.选手面对1~8号8扇大门,依次按 响门上的门铃,门铃会播放一段音乐(将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式 -3-

演绎),选手需正确回答出这首歌的名字,方可获得该扇门对应的家庭梦想基金 .在一次场外调查中,发现参赛选手多数分为两个年龄段:20~30;30~40(单 位:岁),其猜对歌曲名称与否的人数如图所示. (1) 写出2×2列联表;判断是否有90%的把握认为猜对歌曲名称是否与年龄有 关;说明你的理由;(下面的临界值表供参考) (参考公式: K 2 ?
n(ad ? bc) 2 其中 n ? a ? b ? c ? d ) (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

P K 2 ? k0
k0

?

?

0.10 2.706

0.05 3.841

0.010 6.635

0.005 7.879

(2)现计划在这次场外调查中按年龄段用分层抽样的方法选取6名选手,并抽取 3名幸运选手,求3名幸运选手中至少有一人在20~30岁之间的概率. D1 A1 F D A B B1 C1

C E

19.棱长为1的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E、F 分别为棱 BC、DD1 的中点. (1)若平面 AFB1 与平面 BCC1 B1 的交线为 l , l 与底面 AC 的交点为点 G ,试求
AG 的长;

(2)求点 A 到平面 B1 EF 的距离 . 20.在矩形中 ABCD 中, AB ? 4, BC ? 2 3 , M 为动点, DM、CM 的延长线与

AB (或其延长线)分别交于点 E、F ,若 AE? BF ? EF ? 0.
(1)若以线段 AB 所在的直线为 x 轴,线段 AB 的中垂线为 y 轴建立平面直角坐 标系,试求动点 M 的轨迹方程;

?

?

? 2

-4-

(2)不过原点的直线 l 与(1)中轨迹交于 G、H 两点,若 GH 的中点 R 在抛物 线 y 2 ? 4 x 上,求直线 l 的斜率 k 的取值范围. y D M A 21. O F B E x C

已知函数 F ( x) ? e x ? 1 , G ( x) ? ax 2 ? bx ,其中 a, b ? R , e 是自然对数的底数. (1)当 a ? 0 时, y ? G ( x) 为曲线 y ? F ( x) 的切线,求 b 的值; (2)若 f ( x) ? F ( x) ? G ( x) , f (1) ? 0 ,且函数 f ( x) 在区间 (0,1) 内有零点,求实 数 a 的取值范围. 请考生在第22、23、24三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分 . 22如图,圆周角 ?BAC 的平分线与圆交于点 D ,过点 D 的切线与弦 AC 的延长线 交于点 E , AD 交 BC 于点 F . (1)求证: BC // DE ; (2)若 D, E , C , F 四点共圆,且弧 AC 与弧 BC 相等,求 ?BAC . 23.已知曲线 C : A ?x ? 2 ? t x2 y 2 (t为参数). ? ? 1 ,直线 l : ? 4 9 ? y ? 2 ? 2t C D F B E

(1)写出曲线C的参数方程,直线 l 的普通方程; (2)过曲线C上任意一点P作与 l 夹角为30°的直线,交 l 于点A,求|PA|的最大值 与最小值. 24.已知函数 f ?x ? ? 9 ? 6 x ? x 2 ? x 2 ? 8 x ? 16 ⑴解不等式 f ?x ? ? f ?4 ? ; ⑵设函数 g ?x ? ? kx ? 3k , k ? R ,若不等式 f ( x) ? g ( x) 恒成立,求实数 k 的取值范 围.

-5-

临川一中2014—2015学年度下学期期末考试 高二文科数学参考答案 一、 二、 13. 1 三、 选择题A B D B C 填空题
1 14. 2

C A C A D

C C

15.

6 2

m?

16.

e2 4

解答题

17.(1) a n ? n, n ? N ? …………………….5分

bn ?
(2)

1 n n ? 1 ? (n ? 1) n

?

n n ? 1 ? (n ? 1) n [n n ? 1 ? (n ? 1) n ][n n ? 1 ? (n ? 1) n ]
….8分

n n ? 1 ? (n ? 1) n 1 1 ? ? ? n(n ? 1) n n ?1
1 2 )?( 1 2 ? 1 3 ) ? ??? ? ( 1 n ? 1 n ?1

? Tn ? b1 ? b2 ? b3 ? ? ? ? ? bn ? (1 ?

) ? 1?

1 n ?1

?1

…………….12分 18 (1) 年龄/正 误 20~30 30~40 正 确 10 10 错 误 30 70 合 计 40 80

合计 120( 70 ? 10 ? 3020 ? 10) 2 100 120 k? ? 3 ? 2.706 20 ? 100 ? 40 ? 80 有 90% 的把握认为猜对歌曲名称与否和年龄有关.------------- 6分 (2)(2)设事件A为3名幸运选手中至少有一人在20~30岁之间,由已知得20~30 岁之间的人数为2人,30~40岁之间的人数为4人,从6人中取3人的结果有20种, D C ------------- 12分 1 1 A1 B1 F 19.(1)如图,可求得 BG ? 2 , AG 2 ? BG 2 ? AB 2 ? 5 事件A的结果有16种, P?A? ?
16 4 ? 20 5

-6A

D B

C E

? AG ? 5 …………5分

(2)建立空间直角坐标系易得 d ? 20.(1)设 M ( x, y ) ,由已知得

5 29 ……12分 29

y D M A O F B E x C

A(?2,0) , B (2,0) , C (2,2 3 )

D(?2,2 3 )
由 D、E、M 及 C、F、M 三点共线得

xE ?

2 3x ? 2 y 2 3?y

, xF ?

2 3x ? 2 y 2 3?y



AE ? ( x E ? a,0), BF ? ( x F ? a,0), EF ? ( x E ? x F ) 2 , 代入 AE? BF ? EF ? 0. 得
x2 y2 ? ? 1 ………6分 4 3

?

?

? 2

?

?

? 2

(2)设直线 l : y ? kx ? m ?m ? 0 ?, A ?x1 , y1 ?, B ?x2 , y2 ? , M ?x0 , y0 ? .

? y ? kx ? m 由? 2 2 ?3 x ? 4 y ? 12
得 ?3 ? 4k 2 ?x 2 ? 8kmx ? 4m 2 ? 12 ? 0
? ? ?8km ? ? 4 ?3 ? 4k 2 ??4m 2 ? 12 ?﹥0即 4k 2 ? m 2 ? 3 ﹥0
2

又 x1 ? x2 ? ?

8km 3 ? 4k 2

3m ? 3m ? ? 4km ? 4km , , 故M ?? 将M ?? 代入 y 2 ? 4 x 得 2 2 ? 2 2 ? ? 3 ? 4k 3 ? 4k ? ? 3 ? 4k 3 ? 4k ?

16k (3 ? 4k 2 ) m?? , (k ? 0) -------10分 9

将(2)代入(1)得: 16k 2 (3 ? 4k 2 ) ? 81

-7-

解得 ?

? 6 6 6 ? ? 6? ?k? 且 k ? 0 .即 k ? ? ? , 0 ? 0, ? ? ? 8 ? ? 8 ? ? .--12分 8 8 ? ? ? ?

21.(1) b ? 1 …………4分 (2)由 f (1) ? 0 ? e ? a ? b ? 1 ? 0 ? b ? e ? a ? 1 ,又 f (0) ? 0 ,若函数 f ( x) 在区 间 (0,1) 内有零点,则函数 f ( x) 在区间 (0,1) 内至少有三个单调区间,因为

f ( x) ? e x ? ax 2 ? bx ? 1 所以 g ( x) ? f ?( x) ? e x ? 2ax ? b ,又 g ?( x) ? e x ? 2a ,因为
x ? [0,1] , 1 ? e x ? e

所以:

①若 a ?

1 ,则 2a ? 1 , g ?( x) ? e x ? 2a ? 0 , 2

所以函数 g ( x) 在区间 [0,1] 上单增, ②若 a ?
e ,则 2a ? e , g ?( x) ? e x ? 2a ? 0 所以函数 g ( x) 在区间 [0,1] 上单减 2 1 e 或 a ? 时,函数 g ( x) 即 f ?( x) 在区间 [0,1] 上单调,不可能满足 2 2

,于是,当 a ?

“函数 f ( x) 在区间 (0,1) 内至少有三个单调区间”这一要求。 ③若
1 e ? a ? ,则 1 ? 2a ? e ,于是当 0 ? x ? ln(2a ) 时 g ?( x) ? e x ? 2a ? 0 ,当 2 2

ln(2a ) ? x ? 1 时 g ?( x) ? e x ? 2a ? 0 ,所以函数 g ( x) 在区间 [0, ln(2a )) 上单调递减,

在区间 (ln(2a ),1] 上单调递增,则

g ( x) min ? 2a ? 2a ln(2a ) ? b ? 3a ? 2 aln(2 a) ? e? 1 ,令
h( x) ? 3 1 1 x ? x ln x ? e ? 1(1 ? x ? e) ,则 h ' ( x) ? ? ln x ,由 h ' ( x) ? ? ln x ? 0 可得: 2 2 2

x ? e ,所以 h( x) 在区间 (1, e ) 上单调递增,在区间 ( e , e) 上单调递减,所以
h( x) max ? h( e ) ? 3 e ? e ln e ? e ? 1 ? 0 ,即 g ( x) min ? 0 恒成立.于是,函数 2

-8-

? g (0) ? 2 ? e ? a ? 0 ?a ? e ? 2 f ( x) 在区间 (0,1) 内至少有三个单调区间等价于: ? 即? ? g (1) ? ? a ? 1 ? 0 ?a ? 1
,又因为
1 e ? a ? ,所以 e ? 2 ? a ? 1 . 2 2

综上所述,实数 a 的取值范围为 (e ? 2,1) .……12分 22. (1) DE 与圆相切, ?EDC ? ?EAD, ?DCB ? ?DAB , DA 平分 ?EAB ,

? ?EDC ? ?DCB, 所以 BC // DE
3 (2)设 ?CAB ? ?CBA ? ? , ?EDA ? ?EDC ? ?CDA ? ? , 2 3 7 2 ? ?ACB ? ? , ? ? ? , ?BAC ? ? 2 2 7

? x ? 2cos? , 23.(1)曲线C的参数方程为 ? (θ为参数).直线 l 的普通方程为 ? y ? 3sin?
2x ? y ? 6 ? 0 .

(2)曲线C上任意一点 P (2 cos? ,3 sin ? ) 到 l 的距离为 d ? , 则 PA ?

5 4 cos ? ? 3sin ? ? 6 5

d 2 5 4 ? | 5sin(? ? ? ) ? 6 | ,其中 ? 为锐角,且 tan? ? . sin30? 5 3 22 5 . 5

当 sin(? ? ? ) ? ?1 时,|PA|取得最大值,最大值为 当 sin(? ? ? ) ? 1 时,|PA|取得最小值,最小值为 24.(1) f ?x ? ? x ? 3 ? x ? 4 , f ?4 ? ? 9

2 5 . 5

? x ?3 ? x ? 4 ? 9
原不等式等价于

?? 4 ? x ? 3 ? x ? 3 ? x ? ?4 或? 或? ? ??2 x ? 1 ? 9 ?7 ? 9 ?2 x ? 1 ? 9
解得 x ? ?5 或 x ? 4 -9-

即不等式的解集为 ???, ?5?? ?4, ?? ? .

?? 2 x ? 1, x ? ?4 ? (2) f ( x) ? ?7,?4 ? x ? 3 , g ?x ? ? k ?x ? 3? ?2 x ? 1, x ? 3 ?
由其函数图像知: k ? ??1, 2?.

- 10 -



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