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函数的单调性教案(获奖)



《函数的单调性》教案及设计说明



题:函数的单调性
许云尧

教材:人教版全日制普通高级中学教科书(必修)数学第一册(上)P57—P60 授课教师: 北京景山学校 【教学目标】 1.使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念,初步掌握利用函数图象 和单调性定义判断、证明函数单调性的方法. 2.通过对函数单调性定义的探究,渗透数形结合数学思想方法,培养学生 观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力;通过对函数单调性的证明,提高学生 的推理论证能力. 3.通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思 维习惯,让学生经历从具体到抽象,从特殊到一般,从感性到理性的认知过程. 【教学重点】 【教学难点】 【教学方法】 【教学手段】 【教学过程】 一、创设情境,引入课题 课前布置任务: (1) 由于某种原因,2008 年北京奥运会开幕式时间由原定的 7 月 25 日推迟 到 8 月 8 日,请查阅资料说明做出这个决定的主要原因. (2) 通过查阅历史资料研究北京奥运会开幕式当天气温变化情况. 课上通过交流,可以了解到开幕式推迟主要是天气的原因,北京的天气到 8 月中旬,平均气温、平均降雨量和平均降雨天数等均开始下降,比较适宜大型国 际体育赛事. 下图是北京市今年 8 月 8 日一天 24 小时内气温随时间变化的曲线图. 函数单调性的概念、判断及证明. 归纳抽象函数单调性的定义以及根据定义证明函数的单调性. 教师启发讲授,学生探究学习. 计算机、投影仪.

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《函数的单调性》教案及设计说明

引导学生识图,捕捉信息,启发学生思考. 问题:观察图形,能得到什么信息? 预案:(1)当天的最高温度、最低温度以及何时达到; (2)在某时刻的温度; (3)某些时段温度升高,某些时段温度降低. 在生活中,我们关心很多数据的变化规律,了解这些数据的变化规律,对我 们的生活是很有帮助的. 问题:还能举出生活中其他的数据变化情况吗? 预案:水位高低、燃油价格、股票价格等. 归纳: 用函数观点看, 其实就是随着自变量的变化, 函数值是变大还是变小. 〖设计意图〗由生活情境引入新课,激发兴趣. 二、归纳探索,形成概念 对于自变量变化时, 函数值是变大还是变小, 初中同学们就有了一定的认识, 但是没有严格的定义,今天我们的任务首先就是建立函数单调性的严格定义. 1.借助图象,直观感知 问题 1:分别作出函数 y ? x ? 2, y ? ? x ? 2, y ? x 2 , y ? 自变量变化时,函数值有什么变化规律?
1 的图象,并且观察 x

预案: (1)函数 y ? x ? 2 在整个定义域内 y 随 x 的增大而增大; 函数 y ? ? x ? 2 在整个定义域内 y 随 x 的增大而减小. (2)函数 y ? x 2 在 [0,??) 上 y 随 x 的增大而增大,在 (??,0) 上 y 随 x 的增大而 减小. (3)函数 y ? 减小. 引导学生进行分类描述 (增函数、减函数).同时明确函数的单调性是对定 义域内某个区间而言的,是函数的局部性质. 问题 2:能不能根据自己的理解说说什么是增函数、减函数?
1 在 (0,??) 上 y 随 x 的增大而减小,在 (??,0) 上 y 随 x 的增大而 x

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预案:如果函数 f ( x) 在某个区间上随自变量 x 的增大,y 也越来越大,我们 说函数 f ( x) 在该区间上为增函数;如果函数 f ( x) 在某个区间上随自变量 x 的增 大,y 越来越小,我们说函数 f ( x) 在该区间上为减函数. 教师指出:这种认识是从图象的角度得到的,是对函数单调性的直观,描述 性的认识. 〖设计意图〗 从图象直观感知函数单调性, 完成对函数单调性的第一次认识. 2.探究规律,理性认识 问题 1:下图是函数 y ? x ? 间为增函数和减函数吗?
2 ( x ? 0) 的图象,能说出这个函数分别在哪个区 x

学生的困难是难以确定分界点的确切位置. 通过讨论,使学生感受到用函数图象判断函数单调性虽然比较直观,但有时 不够精确,需要结合解析式进行严密化、精确化的研究. 〖设计意图〗使学生体会到用数量大小关系严格表述函数单调性的必要性. 问题 2:如何从解析式的角度说明 f ( x ) ? x 2 在 [0,??) 为增函数? 预案: (1) 在给定区间内取两个数,例如 1 和 2,因为 12<22,所以 f ( x) ? x 2 在 [0,??) 为增函数. (2) 仿(1),取很多组验证均满足,所以 f ( x) ? x 2 在 [0,??) 为增函数. (3) 任 取 x1 , x2 ? [0,??),且x1 ? x2 , 因 为 x1 ? x2 ? ( x1 ? x2 )(x1 ? x2 ) ? 0 , 即
2 2

x1 ? x2 ,所以 f ( x) ? x 2 在 [0,??) 为增函数.
对于学生错误的回答,引导学生分别用图形语言和文字语言进行辨析 ,使学 生认识到问题的根源在于自变量不可能被穷举, 从而引导学生在给定的区间内任 意取两个自变量 x1 , x 2 . 〖设计意图〗把对单调性的认识由感性上升到理性认识的高度,完成对概念 的第二次认识.事实上也给出了证明单调性的方法,为证明单调性做好铺垫. 3.抽象思维,形成概念 问题:你能用准确的数学符号语言表述出增函数的定义吗? 师生共同探究,得出增函数严格的定义,然后学生类比得出减函数的定义.
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《函数的单调性》教案及设计说明

(1)板书定义 (2)巩固概念 判断题: ①已知 f ( x) ?
1 ,因为 f (?1) ? f (2), 所以函数 f ( x)是增函数 . x

②若函数 f ( x)满足f (2) ? f (3),则函数f ( x)在区间 [2, 3]上为增函数. ③若函数 f ( x) 在区间 (1,2] 和(2,3)上均为增函数,则函数 f ( x) 在区间(1,3)上 为增函数.
④因为函数 f ( x) ?

1 1 在区间 (??,0)和(0,??) 上都是减函数,所以 f ( x) ? 在 x x

(??,0) ? (0,??) 上是减函数.

通过判断题,强调三点: ①单调性是对定义域内某个区间而言的, 离开了定义域和相应区间就谈不上 单调性. ②对于某个具体函数的单调区间,可以是整个定义域(如一次函数),可以是 定义域内某个区间(如二次函数),也可以根本不单调(如常函数). ③函数在定义域内的两个区间 A,B 上都是增(或减)函数,一般不能认为函 数在 A ? B 上是增(或减)函数. 思考:如何说明一个函数在某个区间上不是单调函数? 〖设计意图〗让学生由特殊到一般,从具体到抽象归纳出单调性的定义,通 过对判断题的辨析,加深学生对定义的理解,完成对概念的第三次认识. 三、掌握证法,适当延展 2 例 证明函数 f ( x) ? x ? 在 ( 2 ,??) 上是增函数. x 1.分析解决问题 针对学生可能出现的问题,组织学生讨论、交流. 设元 求差

证明:任取 x1 , x2 ? ( 2,??),且x1 ? x2 ,
f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ( x1 ? 2 2 ) ? ( x2 ? ) x1 x2 2 2 ? ) x1 x2

? ( x1 ? x2 ) ? (

变形

? ( x1 ? x2 ) ?

2( x2 ? x1 ) x1 x2

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? ( x1 ? x2 )(1 ?

2 ) x1 x2

? ( x1 ? x2 )

x1 x2 ? 2 , x1 x2

? 2 ? x1 ? x2 ,
∴ x1 ? x2 ? 0, x1 x2 ? 2,
∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0, 即 f ( x1 ) ? f ( x2 ),

断号

∴函数 f ( x) ? x ? 2.归纳解题步骤

2 在 ( 2 ,??) 上是增函数. x

定论

引导学生归纳证明函数单调性的步骤:设元、作差、变形、断号、定论. 练习:证明函数 f ( x) ? x 在 [0,??) 上是增函数. 问题:要证明函数 f ( x) 在区间 ( a, b) 上是增函数,除了用定义来证,如果可 以证得对任意的 x1 , x2 ? (a, b) ,且 x1 ? x 2 有

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 可以吗? x2 ? x1

引导学生分析这种叙述与定义的等价性.让学生尝试用这种等价形式证明 函数 f ( x) ? x 在 [0,??) 上是增函数. 〖设计意图〗初步掌握根据定义证明函数单调性的方法和步骤.等价形式进 一步发展可以得到导数法,为用导数方法研究函数单调性埋下伏笔. 四、归纳小结,提高认识 学生交流在本节课学习中的体会、收获,交流学习过程中的体验和感受,师 生合作共同完成小结. 1.小结 (1) 概念探究过程:直观到抽象、特殊到一般、感性到理性. (2) 证明方法和步骤:设元、作差、变形、断号、定论. (3) 数学思想方法和思维方法:数形结合,等价转化,类比等. 2.作业 书面作业:课本第 60 页 课后探究: (1) 证 明 : 函 数 f ( x) 在 区 间 ( a, b) 上 是 增 函 数 的 充 要 条 件 是 对 任 意 的 习题 2.3 第 4,5,6 题.

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x, x ? h ? (a, b) ,且 h ? 0, 有

f ( x ? h) ? f ( x ) ? 0. h

(2) 研究函数 y ? x ?

1 ( x ? 0) 的单调性,并结合描点法画出函数的草图. x 《函数的单调性》教学设计说明

一、教学内容的分析 函数的单调性是学生在了解函数概念后学习的函数的第一个性质, 是函数学 习中第一个用数学符号语言刻画的概念, 为进一步学习函数其它性质提供了方法 依据. 对于函数单调性,学生的认知困难主要在两个方面: (1)要求用准确的数学 符号语言去刻画图象的上升与下降,这种由形到数的翻译,从直观到抽象的转变 对高一的学生是比较困难的; (2)单调性的证明是学生在函数内容中首次接触到 的代数论证内容,而学生在代数方面的推理论证能力是比较薄弱的.根据以上的 分析和教学大纲的要求,确定了本节课的重点和难点. 二、教学目标的确定 根据本课教材的特点、教学大纲对本节课的教学要求以及学生的认知水平, 从三个不同的方面确定了教学目标, 重视单调性概念的形成过程和对概念本质的 认识;强调判断、证明函数单调性的方法的落实以及数形结合思想的渗透;突出 语言表达能力、推理论证能力的培养和良好思维习惯的养成. 三、教学方法和教学手段的选择 本节课是函数单调性的起始课,采用教师启发讲授,学生探究学习的教学方 法,通过创设情境,引导探究,师生交流,最终形成概念,获得方法.本节课使 用了多媒体投影和计算机来辅助教学,目的是充分发挥其快捷、生动、形象的特 点,为学生提供直观感性的材料,有助于学生对问题的理解和认识. 四、教学过程的设计 为达到本节课的教学目标, 突出重点, 突破难点, 教学上采取了以下的措施: (1)在探索概念阶段, 让学生经历从直观到抽象、从特殊到一般、从感性 到理性的认知过程,完成对单调性定义的三次认识,使得学生对概念的认识不断 深入. (2)在应用概念阶段, 通过对证明过程的分析,帮助学生掌握用定义证明 函数单调性的方法和步骤. (3)考虑到我校学生数学基础较好、思维较为活跃的特点,对判断方法进 行适当的延展,加深对定义的理解,同时也为用导数研究单调性埋下伏笔.
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