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2013高考数学一轮复习 14.2 矩阵变换精品教学案(教师版)新人教版



2013 年高考数学一轮复习精品教学案 14.2 矩阵变换(新课标人教 版,教师版)
【考纲解读】 1.认真理解矩阵相等的概念, 知道矩阵与矩阵的乘法的意义, 并能熟练进行矩阵的乘法运算. 2.掌握几种常见的变换,了解其特点及矩阵表示,注意结合图形去理解和把握矩阵的几种 变换. 3.熟练进行行列式的求值运算,会求矩阵的逆矩 阵 ,并能利用逆矩阵解二元一次方程组. 【考点

预测】 高考对此部分内容考查的热点与命题趋势为: 1.(1)本部分高考命题的另一个热点是矩阵变换与二阶矩阵的乘法运算,考题中多考查求平 面图形在矩阵的对应变换作用下得到的新图形,进而研究新图形的性质.(2)本部分高考命 题的另一 个热点是逆矩阵,主要考查行列式的 计算、逆矩阵的性质与求法以及借助矩阵解 决二元一次方程组的求解问题.在选择题、填空题与解答题中均有可能出现,难度不大,又 经常 与其它知识结合,在考查基础知识的同时,考查转化与化归等数学思想,以及分析问 题、解决问题的能力. 2.2013 年的高考将会继续保持稳定,命题形式会更加灵活. 【要点梳理】 1. 乘法规则 b11 (1)行矩阵[a11 a12]与列矩阵?b ?的乘法规则:

? 21?

b11 [a11 a12]?b ?=[a11×b11+a12×b21].

? 21?

a11 a12? ?x0? (2)二阶矩阵? ?a21 a22?与列向量?y0?的乘法规则:

?a11 a12? ?x0?=?a11×x0+a12×y0?. ?a21 a22? ?y0? ?a21×x0+a22×y0?
(3)两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个矩阵,其乘法法则如下:

?a11 a12? ?b11 b12?= ?a21 a22? ?b21 b22? ?a11×b11+a12×b21 a11×b12+a12×b22? ?a21×b11+a22×b21 a21×b12+a22×b22?
(4)两个二阶矩阵的乘法满足结合律,但不满足交换律和消去律.即(AB)C=A(BC),AB≠BA, 由 AB=AC 不一定能推出 B=C. 一般地两个矩阵只有当前一个矩 阵的列数与后一个矩阵的行数相等时才能进行乘法运算. 2.常见的平面变换 恒等变换、伸压变换、反射变换、旋转变换、投影变换、切变变换六个变换.
1

3.逆变换与逆矩阵 (1)对于二阶矩阵 A、B,若有 AB=BA=E,则称 A 是可逆的,B 称为 A 的逆矩阵; (2)若二阶矩阵 A、B 均存在逆矩阵,则 AB 也存在逆矩阵,且(AB) =B A . 4.特征值与特征向量 设 A 是一个二阶矩阵,如果对于实数 λ ,存在一个非零向量 α ,使 Aα =λ α ,那么 λ 称 为 A 的一个特征值,而 α 称为 A 的属于特征值 λ 的一个特征向量. 【例题精析】 考点一 矩阵变换与逆矩阵 例 1. (福建省泉州市 2012 年 3 月普通高中毕业班质量检查理科) (本小题满分 7 分) 若二阶矩阵 M 满足 M ? (Ⅰ)求二阶矩阵 M ; (Ⅱ)把矩阵 M 所对应的变换作用在曲线 3x ? 8xy ? 6 y ? 1 上,求所得曲线的方程.
2 2
-1 -1 -1

? 1 2 ? ? 7 10 ? ??? ?. 3 4? ? 4 6 ? ?

【名师点睛】 本小题主要考查矩阵的解法与矩阵变换, 掌握本部分的基础知识是解决本类问 题的关键。 【变式训练】 1. (江苏省淮阴中学、海门中学、天一中学 2012 届高三联考)(本小题满分 10 分)
?? ?? ?1 ? ? ?? ? ?1 1? 2 已知矩阵 A ? ? ? ,向量 ? ? ? 2 ? .求向量 ? ,使得 A ? ? ? . ? 2 1? ? ?

2

?1 1? ?1 1? ?1 1? ? 3 2? 2 【解析】? A ? ? ………………4 分 ? ,? A ? ? 2 1? ? 2 1? ? ? 4 3? ? 2 1? ? ?? ? ? ? ?? ? x ? ? ?? ? ?3x ? 2 y ? ?1 ? ? 3 2 ? ? x ? ?1 ? 设 ? ? ? ? ,则 A2 ? ? ? ? ? ? ? y ? = ? 2 ? ? ? 4 x ? 3 y ? ? ? 2 ? …………8 分 ? y? ? ? ? ? ?4 3? ? ? ? ? ? ? ?1? ? ? 3x ? 2 y ? 1 ? x ? ?1 , ? ?? ?. ………………10 分 ?? ,? ? ? ?4 x ? 3 y ? 2 ? y ? 2 ?2?

矩阵的特征值与特征向量 ?2 a? 例 2.已知矩阵 M=? 其中 a∈R, 若点 P(1, -2)在矩阵 M 的变换下得到点 P′(-4,0), ?, ?2 1? 求: (1)实数 a 的值; (2)矩阵 M 的特征值及其对应的特征向量.

考点二

【名师点睛】本小题主要考查矩阵的特征值与特征向量的求解,考查了学生分析问题、解决 问题的能力. 【变式训练】 2. 已知二阶矩阵 A=?

?a b? ? 1? ?,矩阵 A 属于特征值 λ 1=-1 的一个特征向量为 a1=? ?,属 ?c d? ?-1?

?3? 于特征值 λ 2=4 的一个特征向量为 a2=? ?,求矩阵 A. ?2?
【解析】由特征值、特征向量定义可知,Aa1=λ 1a1,

3

即?

? ?a-b=-1, ?a b?? 1? ? 1? ?? ?=-1×? ?,得? ? ?c d??-1? ?-1? ?c-d=1.

?3a+2b=12, ? 同理可得? ? ?3c+2d=8.

解得 a=2,b=3,c=2,d=1.

因此矩阵 A=? 【易错专区】

?2 3? ?. ?2 1?

问题: 综合应用

? 1 3 ? ?? 4 4 ? ?1 例. (2012 年高考江苏卷 21) 已知矩阵 A 的逆矩阵 A ? ? ? ,求矩阵 A 的特征值. ? 1 ? 1? ? 2 2? ? ?

【名师点睛】本小题主要考查了矩阵的构成、矩阵的基本运算以及逆矩阵的求解、矩阵的特 征多项式与特征值求解.在求解矩阵的逆矩阵时,首先分清求解方法,然后,写出相应的逆 矩阵即可; 在求解矩阵的特征值时, 要正确的写出该矩阵对应的特征多项式, 难度系数较小, 中低档题. 【课时作业】 1.(江苏省南京市 2012 年 3 月高三第二次模拟)设矩阵 M=? (1)求矩阵 M 的逆矩阵 M ; (2)求矩阵 M 的特征值.
-1

?1 2? ?. ?4 3?

4

2.(2011 年高考江苏卷 21)(本小题满分 10 分) 已知矩阵 A ? ?

?1 1? ?1 ? 2 ? ,向量 ? ? ? 2? ,求向量 ? ,使得 A ? ? ? . ?2 1? ? ?

3. (2010 年高考福建卷理科 21) (本小题满分 7 分) 已知 矩阵 M= ?

?1 a? ?c 2? ? 2 0? ? ,且 MN ? ? ?, ?,N ?? ?0 d ? ? ?2 0 ? ?b 1?

(Ⅰ)求实数 a, b, c, d 的值; (Ⅱ)求直线 y ? 3x 在矩阵 M 所对应的线性变换下的像的方程。

?c ? 0 ? 2 ?a ? ?1 ? 2 ? ad ? 0 ?b ? ?1 ? ? 【解析】 (Ⅰ)由题设得 ? ,解得 ? ; ?bc ? 0 ? ?2 ?c ? 2 ? 2b ? d ? 0 ?d ? 2 ? ?
(Ⅱ)因为矩阵 M 所对 应的线性变换将直线变成直线(或点) ,所以可取直线 y ? 3x 上的两 (0,0)(1,3) , , 由?

? 1 ?1? ? 0 ? ? 0 ? ? 1 ?1? ? 1 ? ? ?2 ? , ?? ? ? ? ? , ? ?? ? ? ? ? 得:点(0,0)(1,3)在矩阵 M 所对应 ? ?1 1 ? ? 0 ? ? 0 ? ? ?1 1 ? ? 3 ? ? 2 ?

的线性变换下的像是(0,0)(-2,2) , ,从而 直线 y ? 3x 在矩阵 M 所对应的线性变换下的像的方程为 y ? ? x 。

5

【考题回放】 1. (2012 年高考福建卷理科 21)(本小题满分 7 分) 设曲线 2 x 2 ? 2 xy ? y 2 ? 1 在矩阵 A ? ? ?

?a ?b

0? ? (a ? 0) 对应的变换作用下得到的曲线为 1?

x2 ? y2 ? 1。
(Ⅰ)求实数 a, b 的值。 (Ⅱ)求 A 的逆矩阵。
2

【解析】 (Ⅰ)设曲线 2 x 2 ? 2 xy ? y 2 ? 1 上任一点 P( x, y) 在矩阵 A 对应变换下的像是

2.(2011 年高考福建卷理科 21)(本小题满分 7 分) 设矩阵 M ? ?

? a 0? . ? (其中 a>0,b>0) ?0 b ?
-1

(I)若 a=2,b=3,求矩阵 M 的逆矩阵 M ; (II) 若曲线 C: +y =1 在矩阵 M 所对应的线性变换作用下得到曲线 C’: x 求 a,b 的值.
2 2

x2 ? y2 ? 1, 4

6

3. (2010 年高考江苏卷试题 21) (本小题满分 10 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(0,0),B(-2,0),C(-2,1)。设 k 为非零实数,矩阵 M= ?

?k 0? ?0 1 ? ? ,N= ?1 0? ,点 A、B、C 在矩阵 MN 对应的变换下得到点分别为 A1、B1、C1,△A1B1C1 ? 0 1? ? ?

的面积是△ABC 面积 的 2 倍,求 k 的值。

7

4.(福建省福州市 2012 年 3 月高中毕业班质量检查理科) 利用矩阵解二元次方程组 ?

?3x ? y ? 2, . ?4 x ? 2 y ? 3

8



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