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§3.1 正整数指数函数



§1 正整数指数函数 一、教学目标: 1、知识与技能: (1) 结合实例,了解正整数指数函数的概念. (2)能够求出正整数指数函 数的解析式,进一步研究其性质. 2、 过程与方法: (1)让学生借助实例,了解正整数指数函数,体会从具体到一般,从个别到 整体的研究过程和研究方法. (2)从图像上观察体会正整数指数函数的性质,为这一章的学 习作好铺垫. 3、情感.态度与价值观:使学生

通过学习正整数指数函数体会学习指数函数的重要意义, 增强学习研究函数的积极性和自信心. 二、教学重点: 正整数指数函数的定义.教学难点:正整数指数函数的解析式的确定. 三、学法指导:学生观察、思考、探究.教学方法:探究交流,讲练结合。 四、教学过程 (一)新课导入 [互动过程 1]:(1)请你用列表表示 1 个细胞分裂次数分别 为 1,2,3,4,5,6,7,8 时,得到的细胞个数; (2)请你用图像表示 1 个细胞分裂的次数 n( n ? N ? )与得到的细 胞个数 y 之间的关系; (3)请你写出得到的细胞个数 y 与分裂次数 n 之间的关系式,试用 科学计算器计算细胞分裂 15 次、20 次得到的细胞个数. 解:(1)利用正整数指数幂的运算法则,可以算出 1 个细胞分裂 1,2,3, 4,5,6,7,8 次后,得到的细胞个数 分裂次数 细胞个数 1 2 2 4 3 8 4 16 5 32 6 64 7 128 8 256

(2)1 个细胞分裂的次数 n(n ? N? ) 与得到的细胞个数 y 之间的关系可以用图像表示,它的 图像是由一些孤立的点组成
n ( 3 ) 细胞个数 y 与分裂次数 n 之间的关系式 为 y ? 2 ,

n ? N? , 用科学计算器算 得

215 ? 32768, 2 20 ? 1048576
所以细胞分裂 15 次、20 次得到的细胞个数分别为 32768 和 1048576.

探究:从本题中得到的函数来看,自变量和函数值分别是什么?此函数是什么类型的函数? 细 胞个数 y 随着分裂次数 n 发生怎样变化?你从哪里看出? 小结:从本题中可以看出我们得到的细胞分裂个数都是底数为 2 的指数,而且指数是变量, 取值为正整数. 细胞个数 y 与分裂次数 n 之间的关系式为 y ? 2n , 着分裂次数 n 的增多而逐渐增多. [互动过程 2]:问题 2.电冰箱使用的氟化物的释放破坏了大气上层的臭氧层,臭氧含量 Q 近似满足关系式 Q=Q00.9975 ,其中 Q0 是臭氧的初始量,t 是时间(年),这里设 Q0=1. (1)计算经过 20,40,60,80,100 年,臭氧含量 Q; (2)用图像表示每隔 20 年臭氧含量 Q 的变化; (3)试分析随着时间的增加,臭氧含量 Q 是增加还是减少. 解 : ( 1 )使用科学计算器可算得 , 经过 20,40,60,80,100 年 , 臭氧含量 Q 的值分别为 0. 9975 =0. 9512, 0. 9975 =0. 9047, 0. 9975 =0. 8605, 0. 9975 =0. 8185, 0. 9975 =0. 7786; (2)用图像表示每隔 20 年臭氧含量 Q 的变化如图所 示,它的图像是由一些孤立的点组成. (3)通过计算和观察图形可以知道, 随着时间的增加, 臭氧含量 Q 在逐渐减少. 探究:从本题中得到的函数来看,自变量和函数值分别 又是什么?此函数是什么类型的函数?,臭氧含量 Q 随着 时间的增加发生怎样变化?你从哪里看出? 小结:从本题中可以看出我们得到的臭氧含量 Q 都是底数为 0.9975 的指数,而且指数是变 量,取值为正整数. 臭氧含量 Q 近似满足关系式 Q=0.9975 , 随着时间的增加, (t ? N ?) 臭氧含量 Q 在逐渐减少. [互动过程 3]: 上面两个问题所得的函数有没有共同点?你能统一吗?自变量的取值范围又是 什么?这样的函数图像又是什么样的?为什么? 正整数指数函数的定义 :一般地,函数 y ? a (a ? 0, a ? 1, x? N ? )叫作正整数指数函数 , 其
x
t
20 40 60 80 100 t

细胞个数 y 随 n ? N? .

中 x 是自变量,定义域是正整数集 N ? . 说明: 1. 正整数指数函数的图像是一些孤立的点,这是因为函数的定义域是正整数集. 2. 在 研究增长问题、复利问题、质量浓度问题中常见这类函数.

(二)、例题:某地现有森林面积为 1000 hm ,每年增长 5%,经过 x 年,森林面积 (x ? N ?)
2

为 y hm .写出 x , y 间的函数关系式,并求出经过 5 年,森林的面积. 分析:要得到 x , y 间的函数关系式,可以先一年一年的增长变化,找出规律,再写出 x , y 间 的函数关系式. 解 : 根 据 题 意 , 经 过 一 年 , 森 林 面 积 为 1000(1+5%) hm ; 经 过 两 年 , 森 林 面 积 为 1000(1+5%) hm ;经过三年, 森林面积为 1000(1+5%) hm ;所以 y 与 x 之间的函数关系式
2 3

2

2

2

2

为 y ? 1000(1 ? 5%) x ,经过 5 年,森林的面积为 1000(1+5%) =1276.28(hm ). (x ? N ?)
5 2

补充例题:高一某学生家长去年年底到银行存入 2000 元,银行月利率为 2.38%,那么如果他 第 n 个月后从银行全部取回,他应取回钱数为 y,请写出 n 与 y 之间的关系,一年后他全部取 回,他能取回多少? 解 : 一 个 月 后 他 应 取 回 的 钱 数 为 y=2000(1+2 . 38%), 二 个 月 后 他 应 取 回 的 钱 数 为 y=2000(1+2.38%) ;,三个月后他应取回的钱数为 y=2000(1+2.38%) ,…, n 个月后他应取回 的钱数为 y=2000(1+2.38%) ; 所以 n 与 y 之间的关系为 y=2000(1+2.38%) 后他全部取回,他能取回的钱数为 y=2000(1+2.38%) . 补充练习:某工厂年产值逐年按 8%的速度递增,今年的年产值为 200 万元,那么第 n 年后该厂 的年产值为多少? (三) 、小结:1.正整数指数函数的图像是一些孤立的点,这是因为函数的定义域是正整数 集. 2.在研究增长问题、复利问题、质量浓度问题中常见这类函数. (四) 、作业: 五、教学反思:
12 n n 2 3

(n∈N+),一年



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