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2016届百校联盟江苏省高考《考试大纲》调研卷理科数学(第八模拟)(解析版)



百校联盟 2016 年江苏省高考《考试大纲》调研卷理科数学(第八模拟)

一、填空题:共 14 题
1.已知集合 A={x|x2<2},B={0,1,2},则 A∩B=

.

【答案】{0,1}
2 【解析】本题主要考查集合的交运算.先求一元二次不等式的解集,得集合 A,再求集合 A,B 的交集.由 x <2,得

-

<x<

,从而 A={x|-

<x<

},于是 A∩B={0,1}.

2.若 x-1+yi 与 i-x 互为共轭复数(i 为虚数单位),则 x+y=

.

【答案】

【解析】本题考查共轭复数的概念.根据共轭复数的定义可求得 x,y 的值,从而得 x+y 的值.由 x-1+yi 与 i-x 互 为共轭复数可知 ,解得 ,所以 x+y=- .

3.函数 f(x)=log2(2x-x2)+

的定义域为

.

【答案】[1,2) 【解析】本题考查对数函数的定义域、偶次方根有意义的条件以及一元二次不等式的解法.欲使 f(x)=log2(2x-x2)+ 有意义,则 ,解得 1≤x<2,故函数 f(x)的定义域为[1,2).

4. 现有 5 张分别标有数字-2,-1,0,1,2 的卡片,它们的大小和颜色完全相同.从中随机抽取 2 张,则所取卡片上的

数字之和为 0 的概率为 【答案】

.

【解析】本题主要考查古典概型概率的计算.由题意知,所取的 2 张卡片上的数字的所有可能情况为 (-2,-1),(-2,0),(-2,1),(-2,2),(-1,0),(-1,1),(-1,2),(0,1),(0,2),(1,2),共 10 种,其中所取卡片上的数字之和为 0 的情况有 (-2,2),(-1,1),共 2 种,故所求概率 P=


.
1第

5.运行如图所示的算法流程图,输出的结果为

.

【答案】

【解析】 本题主要考查算法流程图的有关知识.解题的关键是读懂算法流程图.不妨记 z 每次运算的结果为 zi, 则 z1=2,z2=3,z3=5,z4=8,z5=13,z6=21,此时满足 z>20,从而 x=8,y=13,输出的结果为 .

6.某校对学生在校体育锻炼的时间(单位:分钟)进行了统计,并将所得数据绘制成如图所示的频率分布直方

图.现用分层抽样的方法从该校 400 名学生中抽取一个容量为 40 的样本,则应从在校体育锻炼时间在区间 [0,20)内抽取的人数为 .

【答案】10



2第

【解析】 本题主要考查统计知识中的频率分布直方图和分层抽样的有关知识,注意根据频率分布直方图寻找 有关量之间的关系.由题意得,x= =0.012 5,所以分层抽样的比例依次为 5∶7∶3∶

3∶2.现共抽取 40 人,所以应从在校体育锻炼时间在区间[0,20)内抽取的人数为 40×

=10.

7.已知过抛物线 x=4y2 的焦点 F 的直线交该抛物线于 M、N 两点,若|MF|= ,则|MN|=

.

【答案】

2 2 【解析】 本题考查抛物线的定义等基础知识,考查考生的运算求解能力及数形结合思想.抛物线 x=4y ,即 y = x,

其焦点 F( ,0),准线方程为 x=- .∵|MF|= ,∴点 M 到抛物线的准线的距离为 ,∴点 M 的横坐标为 ,故直线

MF 垂直于 x 轴,因此|NF|=|MF|= ,∴|MN|= .

8.在棱长为 3 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,已知 P 在线段 BD1 上,

,M 为线段 B1C1 上的动点,则三棱锥

M-PBC 的体积为 【答案】

.

【解析】本题主要考查三棱锥体积的求解,考查考生的空间想象能力及运算求解能力.连接 BC1,在 BC1 上取 点 N,使得 ,连接 PN,则 PN∥D1C1, ,所以 PN=1.因为 D1C1⊥平面 BCC1B1,所以 PN⊥平面

BCC1B1,即 PN 是三棱锥 P-BCM 的高,所以 VM-PBC=VP-BCM= PN· S△BCM= × 1× × 32= .



3第

9. 如图所示,在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,D 为边 AB 上一点,且满足△BCD 为正三角形.若 b=2

,

则△ACD 的周长的最大值为

.

【答案】4+2 【解析】 本题主要考查余弦定理的应用、 三角形的周长等知识,考查考生的运算求解能力.设△ACD 的周长为 m,则 m=AC+CD+AD=2 +AB,故要求△ACD 的周长的最大值,即求 AB 的最大值.因为 b=2 ,B= ,所以由余

2 2 2 2 2 2 2 弦定理 b =a +c -2accosB 可得,12=a +c -ac,所以关于 a 的一元二次方程有解,所以 Δ=c -4(c -12)≥0,得 0<c≤4,

即 AB 的最大值为 4,所以△ACD 的周长的最大值为 4+2

.

10.已知数列{an}满足 an+1=2an+1(n∈N*),且 a1=1,则数列{an+1-n}的前 n 项和 Tn=

.

【答案】2

n+1

-

【解析】本题主要考查数列的通项公式、分组求和法,考查考生的转化能力、运算能力,属于中档题.∵ an+1=2an+1(n∈N*),∴an+1+1=2(an+1),∴数列{an+1}是以 a1+1=2 为首项,2 为公比的等比数列,∴an+1=2n,∴ an+1-n=2n-n,∴Tn=(21+22+…+2n)-(1+2+…+n)= =2n+1.



4第

11.已知函数 f(x)=|ln|x- ||,若关于 x 的方程 f2(x)-5f(x)-6=0 的实根之和为 m,则 f(m)=

.

【答案】1 【解析】本题主要考查了方程的根,将 f(x)看成是一元二次方程的未知变量是求解的关键.
2 由方程 f (x)-5f(x)-6=0,解得 f(x)=-1 或 f(x)=6.

6,|x- |=e±6,x1=e6+ ,x2=e-6+ ,x3=-e6+ ,x4=-e-6+ ,则 m= , 又 f(x)=|ln|x- ||,所以 f(x)=6,即|ln|x- ||=6,所以 ln|x- |=±

所以 f(m)=|ln| - ||=|ln e|=1.

12.已知点 A(x,y)满足

,过点 A 的直线与圆 x2+y2=15 相交于 M,N 两点,则|MN|的最小值为

.

【答案】2 【解析】 本题主要考查了弦长的求解以及线性规划的知识.充分运用平面几何的知识可以起到事半功倍的效 果.不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,当点 A 的坐标为(1,3)时,易知 A 点是可行域内到 O 点的距 离最远的点,由平面几何的知识可知,当过点 A 的直线 MN 与 OA 垂直时,|MN|最小,且|MN|min=2 =2 .

13.有一向量列{an}:a1=(x1,y1),a2=(x2,y2),…,an=(xn,yn),如果从第二项起,每一项与前一项的差都等于同一个向

量,那么这个向量列称为等差向量列.已知等差向量列{an}满足 a1=(-20,13),a3=(-18,15),那么这个向量列{an}中 模最小的向量的序号 n= 【答案】4 或 5 .



5第

【解析】本题主要考查向量的坐标运算、向量的模,考查考生对新定义的理解能力,分析问题、解决问题的能 力.先根据题意求出向量 an 的坐标,再由向量的模的定义求出模最小的向量的序号.由题意 知,a3-a1=(-18,15)-(-20,13)=(2,2),所以 an=(-20+n-1,13+n-1)=(n-21,n+12),|an|= 当 n=4 或 5 时,|an|最小,即向量列{an}中模最小的向量的序号 n=4 或 5. ,由二次函数的性质知,

14.设函数 f(x)=ex-(1+x+kx2)(x>0).若对任意的 t>0,存在 s>0,使得当 x∈(0,s)时,不等式 f(x)<tx2 恒成立,则实数

k 的取值范围为 【答案】( ,+∞)

.

【解析】本题主要考查了导数的应用.解题的关键是运用导数判断函数的单调性.由题意知,对任意的 t>0,存 在 s>0,使得当 x∈(0,s)时,都有 <t,即 ≤0 成立,则存在 s>0,使得当 x∈(0,s)时,f(x)≤0 成立.又 f(0)=0,则存在

s0>0,使得当 x∈(0,s0)时,f(x)为减函数,即当 x∈(0,s0)时,f'(x)=ex-1-2kx≤0 成立,又 f'(0)=0,故存在 m>0,使得当 x∈ (0,m)时,f'(x)为减函数,令 g(x)=ex-1-2kx,则当 x∈(0,m)时,g'(x)≤0 成立,即 ex-2k≤0,得 k≥ .

二、解答题:共 12 题
15.在△ABC 中,已知 2

· =|

|· |

|,设∠CAB=α.

(1)求 α 的值; (2)若 cos(β-α)= ,其中 β∈( , ),求 cosβ 的值.

(1)由 2 【答案】

· =|

|· |

|,得 2|

|· |

|cosα=|

|· |

|,所以 cosα= ,又 α 为三角形的内角,所以 0<α<π,

所以 α= .

(2)由(1)知 sinα= ,且 β-α∈(0, ),cos(β-α)=

,所以 sin(β-α)= .

故 cosβ=cos(β-α+α)=cos(β-α)cosα-sin(β-α)sinα = = .



6第

【解析】本题主要考查平面向量的数量积和三角恒等变换等知识.在第(1)问中,直接运用向量的数量积公式, 再结合 α 的取值范围,即可求出 α 的值;在第(2)问中,结合两角和的余弦公式即可求解. 【备注】三角的考查方式主要有三角函数的图象与性质,三角恒等变换,正、余弦定理的应用等,常用的方法 有降幂法、归一法.化简完成后,要结合三角函数的图象与性质及角的范围等解决相关问题.解题时需注意角 的范围,选用的公式是否恰当.复习的重点要放在三角函数的图象和性质,两角和(差)的正、 余弦和正切公式等 方面.另外,三角函数与平面向量相结合的试题的核心仍然是三角恒等变换.

16.如图,BD 为圆 O 的直径,且 BD=2

,O 为圆心,C 是

上一点,

=2

.若 DF⊥CD,DF=2,BF=2

,E 为

FD 的中点,Q 为 BE 的中点,R 为 FC 上一点,且 FR=3RC.

(1)求证:平面 BCE⊥平面 CDF; (2)求证:QR∥平面 BCD. 【答案】(1)∵DF=2,BF=2 ,BD=2 ,∴BF2=BD2+DF2,∴BD⊥DF.

又 DF⊥CD,BD∩CD=D,∴DF⊥平面 BCD,∴DF⊥BC, 又 BC⊥CD,CD∩DF=D,∴BC⊥平面 CDF. ∵BC?平面 BCE,∴平面 BCE⊥平面 CDF. (2)连接 OQ,在平面 CFD 内过 R 作 RM⊥CD,交 CD 于点 M,连接 OM, ∵O,Q 分别为 BD,BE 的中点,∴OQ∥DF,且 OQ= DE,

∵DF⊥CD,∴RM∥FD,又 FR=3RC,∴

,∴RM= DF,

∵E 为 DF 的中点,∴RM= DE,∴OQ∥RM,且 OQ=RM,

∴四边形 OQRM 为平行四边形,∴QR∥OM. 又 QR?平面 BCD,OM?平面 BCD,∴QR∥平面 BCD.



7第

【解析】 本题主要考查平面与平面垂直的判定和直线与平面平行的判定,考查考生的空间想象能力以及逻辑 推理能力.在第(1)问中,证明 BD⊥DF,DF⊥BC,利用直线与平面垂直的判定定理证明 BC⊥平面 CDF,然后证 明平面 BCE⊥平面 CDF;在第(2)问中,通过证明 QR∥OM 证明 QR∥平面 BCD.

17.已知直线 y=-x+1 与椭圆 + =1(a>b>0)相交于 A,B 两点.

(1)若椭圆的焦距为 2,右准线的方程为 x=3,求椭圆的标准方程; (2)若 OA⊥OB(O 为坐标原点),当椭圆的离心率 e∈[ , ]时,求椭圆长轴长的最大值.

【答案】(1)∵椭圆的焦距为 2,∴2c=2,即 c=1.又椭圆右准线的方程为 x=3,
2 ∴ =3,即 a =3,∴b=

,∴椭圆的标准方程为 + =1.

(2)由

2 2 2 2 2 2 消去 y 得(a +b )x -2a x+a (1-b )=0,

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 由 Δ=(-2a ) -4a (a +b )(1-b )>0,整理得 4a b (a +b -1)>0,∴a +b >1.

设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=

,x1x2=

,

∴y1y2=(-x1+1)(-x2+1)=x1x2-(x1+x2)+1. ∵OA⊥OB(O 为坐标原点),∴x1x2+y1y2=0,即 2x1x2-(x1+x2)+1=0. ∴ +1=0,整理得 a2+b2-2a2b2=0.



8第

2 2 2 2 2 2 2 将 b =a -c =a -a e 代入上式得 2a =1+

,

∵e∈[ , ],∴ ≤1+

≤3,∴ ≤a2≤ ,满足条件 a2+b2>1,由此得

≤a≤ ,



≤2a≤

,故长轴长的最大值为

.

【解析】本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质,考查考生的运算求解能力. 【备注】 一般地,解析几何第(1)问要送出基础分,第(2)问重区分,考生在熟练扎实的基础知识下,要有数学思想 方法的指引,如数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想、分类讨论思想等,还要有严谨的逻辑推理 能力和准确熟练的运算能力.

18.某厂生产当地的一种特产,并以适当的批发价卖给销售商甲,销售商甲再以自己确定的零售价出售.已知

该特产的销售量(单位:万件)与销售商甲所确定的零售价成一次函数的关系,且当零售价为 80 元/件时,销售量 为 7 万件;当零售价为 50 元/件时,销售量为 10 万件.后来,厂家充分听取了销售商甲的意见,决定对批发价进行 改革,将每件产品的批发价分成固定批发价和弹性批发价两部分,其中固定批发价为 30 元/件,弹性批发价与 该特产的销售量成反比,且当销售量为 10 万件时,弹性批发价为 1 元/件.假设不计其他成本,据此回答下列问 题: (1)当销售商甲将每件产品的零售价确定为 100 元/件时,求他获得的总利润; (2)当销售商甲将每件产品的零售价(小于 150 元/件)确定为多少时,每件产品的利润最大? 【答案】(1)设该特产的销售量为 y 万件,零售价为 x 元/件,且 y=kx+b,由题意可得 7=80k+b,10=50k+b,解得 k=- ,b=15,可得 y=15- x.

设弹性批发价为 t 元/件,因为弹性批发价 t 与该特产的销售量 y 成反比,且当销售量为 10 万件时,弹性批发价 为 1 元/件,所以 t= .

设总利润为 z 万元,则 z=(15- x)(x-30- )=(15- x)(x-30-

),

(100-30令 x=100,则 z=(15-10)×

)=340,

即他获得的总利润为 340 万元.



9第

(2)由(1)可得每件产品的利润 m=x-30=x-30=x-150+ +120≤120-2 =120-20=100,当且仅当 x-150=-10,即

x=140 时取等号. 所以当销售商甲将每件产品的零售价确定为 140 元/件时,每件产品的利润最大. 【解析】 本题考查一次函数、 反比例函数解析式的求法,考查运用基本不等式求最值,考查考生分析问题和解 决问题的能力.解题时需注意每件的利润和总利润的关系. 【备注】应用题经常涉及的数学模型有:函数模型、不等式模型、三角模型等.解题时要认真审题,抓住关键 词,将实际问题抽象为数学问题,从各种关系中找出最关键的关系,将这些关系用有关的量及数字、符号表示 出来,从而建立数学模型,运用所学的知识解决问题.定义域的确定是解应用题的关键,有时也是难点所在.

19.已知函数 f(x)=

(e 为自然对数的底数)在 x=-1 处的切线方程为 ex-y+e=0.

(1)求实数 a,b 的值; (2)若存在不相等的实数 x1,x2,使得 f(x1)=f(x2),求证:x1+x2>0. 【答案】因为 f(x)= ,所以 f'(x)= .

(1)因为函数 f(x)在 x=-1 处的切线方程为 ex-y+e=0,所以

,

所以

,解得

.

(2)由(1)可知,f(x)=

,f'(x)=- .

当 x 变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:

不妨设 x1<x2,因为 f(x1)=f(x2),所以 x1<0<x2,则-x1>0.记 g(x)=f(-x)-f(x),则 g(x)=(1-x)e -

x

,



10 第

x x x 所以 g'(x)=-e +(1-x)e + =-xe +

.

当 x 变化时,g'(x),g(x)的变化情况如下表:

所以 g(x1)>g(0)=0,故 f(-x1)>f(x1),所以 f(-x1)>f(x2). 因为 f(x)在(0,+∞)上为减函数,所以-x1<x2,即 x1+x2>0. 【解析】本题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、不等式的证明等基础知识,考查考生 的运算求解能力及化归与转化思想. 【备注】高考函数题一般来源于教材,又高于教材.根据《考试说明》的要求,应该注意以下两个方面:一是回 归课本,抓好基础知识的落实,高考题源于课本,在复习中必须重视对课本中的基础知识、基本方法和基本数 学思想的复习,关注课本中的一些重点内容;二是加强训练,提高推理和运算能力.

20.已知数列{an}满足 an+1=|an-1|(n∈N*).

(1)若 a1= ,求数列{an}的通项公式;

(2)是否存在 a1,n0(a1∈R,n0∈N*),使得当 n≥n0(n∈N*)时,an 恒为常数?若存在,求出 a1 和对应的 n0 的最小值,若 不存在,请说明理由; (3)若 a1=a∈(k,k+1)(k∈N*),求{an}的前 3k 项和 S3k(用 k,a 表示). 【答案】(1)a1= ,a2= ,a3= ,a4= ,……,∴a1= ,当 n≥2 时,an= ,其中 k∈N*.

∴数列{an}的通项公式为 an=

.

(2)∵an+1=|an-1|=

,∴当 an≥1 时,an+1≠an.

* ①若 0<a1<1,则 a2=1-a1,a3=1-a2=a1,此时只需 a2=1-a1=a1,∴a1= .故存在 an= (n∈N )满足题意.

* ②若 a1=b≥1,不妨设 b∈[m,m+1),m∈N ,



11 第

* 则 am+1=b-m∈[0,1),∴am+2=1-am+1=1-(b-m)=am+1=b-m,∴b=m+ ,∴a1=m+ ,当 n≥m+1 时,an= (m∈N )满足题意.

* ③若 a1=c≤0,不妨设 c∈(-l,-l+1],l∈N ,易知 a2=-c+1∈[l,l+1),

∴a3=a2-1=-c∈[l-1,l),∴al+2=-c-(l-1)∈[0,1),al+3=|-c-(l-1)-1|=1+c+(l-1)=-c-(l-1),∴c=-l+ .

* ∴a1=-l+ ,当 n≥l+2 时,an= (l∈N )满足题意.故存在 a1 和 n0:a1= 时,n0=1;a1=m+ 时,n0=m+1;

a1=-l+ 时,n0=l+2,其中 m,l∈N*.

(3)当 a1=a∈(k,k+1)(k∈N*)时,易知 a2=a-1, ak=a-(k-1),ak+1=a-k∈(0,1),ak+2=1-ak+1=k+1-a, ak+3=1-ak+2=a-k,ak+4=1-ak+3=k+1-a,a3k-1=a-k,a3k=k+1-a, ∴S3k=a1+a2+…+ak+ak+1+ak+2+ak+3+ak+4+…+a3k-1+a3k=a+(a-1)+…+a-(k-1)+k=ka+k(k-1)=- +k(a+ ).

【解析】 本题主要考查数列的通项公式、 前 n 项和等知识,考查考生的化归与转化能力及运算求解能力.第(1) 问运用列举法找规律,求数列{an}的通项公式;第(2)问针对首项 a1 的大小分类讨论;第(3)问求和中应注意整体 法的运用. 【备注】高考中的数列问题基本上还是等差数列和等比数列,主要考查等差数列和等比数列的证明、通项公 式、 前 n 项和公式.解题时要熟练掌握等差数列、 等比数列的性质,需注意求出的通项公式与前 n 项和公式是 否适合所有的项.

21. 如图所示,圆 O 的两条弦 AB 和 CD 交于点 E,EF∥CB,EF 交 AD 的延长线于点 F,FG 切圆 O 于点 G,EF=1,

求 FG 的长.

【答案】∵EF∥CB,∴∠DEF=∠DCB,又∠DCB=∠DAB,∴∠DEF=∠DAB. 又∠DFE=∠EFA,∴△DEF∽△EAF,



12 第



,即 EF2=FA· FD.又 FG 是圆 O 的切线,∴FG2=FA· FD,

2 2 ∴EF =FG ,FG=EF=1.

【解析】本题考查平行线的性质、圆周角定理、三角形相似、切割线定理等,考查考生的化归与转化能力、 推理论证能力.

22.已知矩阵 A=

的一个特征值为 λ,向量 α=

是矩阵 A 的属于 λ 的一个特征向量,求 a+λ 的值.

【答案】因为 Aα=λα,所以



,即

,解得

,所以 a+λ=-3-2=-5.

【解析】本题主要考查特征值与特征向量的计算.根据 Aα=λα 建立等式,解之即可求出 a 的值和 λ 的值,从而 求出 a+λ 的值.

23.自极点 O 作直线与直线 ρcosθ=-4 相交于点 M,在 OM 上取一点 P,使得

· =-8,求点 P 的轨迹的极坐

标方程. 【答案】以极点为坐标原点,极轴为 x 轴的正半轴建立直角坐标系,则极坐标方程 ρcosθ=-4 即为 x=-4,设 P(x,y)(x>0),M(-4,y0),则 · =(-4,y0)· (x,y)=-8,即-4x+yy0=-8,

2 2 又 M,P,O 三点共线,所以 xy0=-4y,所以 x +y -2x=0,

转化为极坐标方程为 ρ=2cosθ

,所以点 P 的轨迹的极坐标方程为 ρ=2cosθ

.

【解析】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化、向量的数量积.解题的突破口在于抓住隐含条件中的 M,P,O 三点共线.

24.已知函数 f(x)=|2x+1|-a2+ ,g(x)=|x|,若存在 x0∈R,使得 f(x0)≤g(x0)成立,求实数 a 的取值范围.

2 【答案】由 f(x)≤g(x)得 a - ≥|2x+1|-|x|,令 h(x)=|2x+1|-|x|,因为存在 x0∈R,使得 f(x0)≤g(x0)成立,等价于

a2- ≥h(x)min.



13 第

又 h(x)=|2x+1|-|x|=

,故 h(x)min=h(- )=- ,

2 2 所以 a - ≥- ,所以 2a -3a+1≥0,所以 a≥1 或 a≤ ,即实数 a 的取值范围为(-∞, ]∪[1,+∞).

【解析】本题主要考查绝对值不等式的求解、存在性问题等,考查考生的化归与转化能力、运算求解能力.

25.已知抛物线 C:x2=2py(p>0)的焦点为 F,过 F 作平行于 x 轴的直线交抛物线于 A、B 两点(A 在 B 的左侧),

若△AOB 的面积为 2.

(1)求抛物线 C 的方程; (2)设 P 是抛物线准线上的一点,Q 是抛物线上的一点,若 PF⊥QF,求证:直线 PQ 与抛物线相切. |OF|= p2=2,∴p=2, 【答案】(1)根据题意得 A(-p, ),B(p, ),∴|AB|=2p,S△AOB= |AB|·

2 ∴抛物线 C 的方程为 x =4y.

(2)显然直线 FQ 的斜率存在,设为 k.当 k=0 时,易证直线 PQ 与抛物线 C 相切.当 k≠0 时,设直线 FQ:y=kx+1,∵ PF⊥QF,∴直线 FP 的方程为 y=- x+1,



,得 P(2k,-1),



,消去 y 得,x2-4kx-4=0,又 Q 是直线 FQ 与抛物线 C 的交点,设 Q(x0, ),显然 x0=2k 时不满足题意.

当 x0≠2k 时,则

-4kx0-4=0. (x-2k),将 x2=4y,即 y= 代入得,

又直线 PQ 的方程为 y+1=



14 第

+1=

(x-2k),整理得(x-x0)[(x0-2k)x-(4+2kx0)]=0,∴x=x0 或 x=

,而

-4kx0-4=0,

∴4+2kx0=

-2kx0,∴

=x0,故直线 PQ 与抛物线 C 相切.

【解析】本题主要考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识,考查考生分析问题、解决 问题的能力和运算求解能力.

26.已知数列{an}中,a1=1,且

+m(n∈N*).

(1)若 m=0,b=1,求{an}的通项公式; (2)若 m=1,b=0,求证:当 n≥3 时,an>3.

【答案】(1)若 m=0,b=1,则

,∴当 n≥2 时,an=a1· ·…·

=1× ×…×

,

当 n=1 时,上式也成立,∴an=

.

(2)若 m=1,b=0,则

+1,∴a2= ,a3= .当 n=3 时,a3= ,3-

=3- =2,不等式 an>3-

成立;

假设当 n=k(k≥3)时结论成立,即 ak>3-

,则当 n=k+1 时,ak+1>( +1)(3-

)=3-

+ -

>3-

.

综上可得,当 n≥3 时,an>3-

.

【解析】本题主要考查数列通项公式的求法、数学归纳法,考查考生分析问题、解决问题的能力.



15 第



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