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数学(人教a版)必修5配套课件:3.4.3 基本不等式的实际应用(数学备课大师网 为您整理) (5)


1.1.2

余弦定理

zxx k

【学习目标】
1.掌握余弦定理的两种表示形式.

2.初步掌握余弦定理的应用.
3.培养推理探索数学规律和归纳总结的思维能力.

zxx k

1.余弦定理 平方 等于其他两边的______ 平方 的和减 三角形中任何一边的______ 两倍 . 即 a2 = 夹角 去这两边与它们的 _________ 的余弦的积的 ________ ________________ a2+c2-2accosB , c2 = b2+c2-2bccosA , b2 = __________________ __________________. a2+b2-2abcosC 练习1 :在△ABC 中,已知C=60°,a=3,b=4,则边长

13 c=________.
zxx k

2.余弦定理的推论
b2+c2-a2 a2+c2-b2 cosA=______________ ;cosB=______________ ;cosC= 2bc 2ac a2+b2-c2 ______________. 2ab

练习 2 : 在△ABC 中,已知a=3,b=4,c=6,则 cosC= 11 -24 _______.

zxx k

【问题探究】
1.余弦定理对任意三角形都适用吗? 答案:都适用.

2.余弦定理的式子中有几个量?从方程的角度看已知其中
三个量,可以求出第四个量,能否由三边求出一角? 答案:四个,能.

zxx k

3.在△ABC中,若a2=b2+c2,a2>b2+c2,a2<b2+c2,能 否说△ABC分别是直角三角形,钝角三角形,锐角三角形? 答案:若a2=b2+c2,则△ABC是直角三角形; 若a2>b2+c2,则△ABC是钝角三角形; 若a2<b2+c2,则△ABC不一定是锐角三角形,因为a不一 定是最大边.

zxx k

题型 1 已知两边及夹角解三角形
【例 1】 在 ABC 中,已知 a=2
求 b 及 A.

3,c= 6+ 2,B=45° ,

思维突破:已知两边及其夹角,可直接使用余弦定理求解.
解题时应注意确定 A 的取值范围.

zxx k

解:∵b2=a2+c2-2accosB =(2 ∴b=2 3)2+( 6+ 2)2-2×2 2. 2?2+? 6+ 2?2-?2 3?2 1 =2, 2×2 2×? 6+ 2? 3 3 ×sin45° =2. 2 3×( 6+ 2)cos45° =12+( 6+ 2)2-4 3( 3+1)=8.

b2+c2-a2 ?2 ∵cosA= 2bc = ∴A=60° .

2 a (另解:由题意,得 sinA=bsinB= 2 又∵ 6+ 2>2.4+1.4=3.8,2 ∴a<c.即 0° <A<90° ,∴A=60° .)
zxx k

3<2×1.8=3.6,

【变式与拓展】

1.△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,c= 2, b= 6,B=120° ,则 a=( D ) A. 6 C. 3 B.2 D. 2

zxx k

题型 2 已知三边解三角形

【例 2】 已知△ABC 的三边长 a=3,b=4,c= 37,求
三角形的最大内角. 思维突破:已知三边,可直接使用余弦定理求解. 解:显然,角 C 最大.
a2+b2-c2 32+42-37 1 且 cosC= 2ab = =-2, 2×3×4

∴C=120°.
zxx k

【变式与拓展】 2.在△ABC 中,sinA∶sinB∶sinC=2∶3∶4,则△ABC 是( B ) A.锐角三角形 C.直角三角形 B.钝角三角形 D.不能判断

3.已知三角形三边之比为 5∶7∶8,则最大角与最小角的

120° 和为_______.

zxx k

题型 3 余弦定理的简单应用

【例 3】 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, 若(a2+c2-b2)tanB= 3ac,求角 B 的大小.
解:由(a2+c2-b2)tanB= 3ac 及余弦定理,得 a2+c2-b2 3 1 3 cosB cosB= 2ac = 2 · tanB= 2 · sinB , π 3 ∵tanB 存在,∴B≠2.∴sinB= 2 . π 2π ∴B=3或 3 .

a2+c2-b2 与 ac 之间的关系式在解与三角形有 关的问题中经常遇到,应养成自觉使用余弦定理的习惯.
zxx k

【变式与拓展】

4.在△ABC 中,若 a=9,b=10,c=12,则△ABC 的形
锐角三角形 . 状是_____________ 5.(2013 年上海)已知△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分 2π 别是 a,b,c.若 a2+ab+b2-c2=0,则角 C 的大小是____. 3
解析: a2 + ab + b2 - c2 = 0 , a2 + b2 - c2 =- ab , cosC = a2+b2-c2 -ab 1 2π 2ab = 2ab =-2,角 C 的大小是 3 .
zxx k

【例 4】 在不等边三角形 ABC 中,a为最大边,如果a2<b2 +c2,求 A 的取值范围.

易错分析:审题不细心,对已知条件的弱用.题设 a 为最
大边,而同学们很可能只把 a 看作是三角形的普通的一条边,

从而造成解题错误.

zxx k

解:∵a2<b2+c2,∴b2+c2-a2>0.
b2+c2-a2 则 cosA= 2bc >0.

由于 cosA 在(0°,180°)上为减函数, 且 cos90°=0,∴A<90°. 又∵A 为△ABC 的内角,∴0°<A<90°. 又∵a 是最大边,且△ABC 为不等边三角形,∴A>60°. 因此得 A 的取值范围是(60°,90°).

zxx k

[方法· 规律· 小结] 1.余弦定理是三角形边角之间关系的共同规律,勾股定理

是余弦定理的特例.
2.已知两边及一角解三角形的方法:①当已知两边及它们 的夹角时,用余弦定理求解出第三边,再用正弦定理和三角形

内角和定理求解另外两角;
②当已知两边及其一边的对角时,可用正弦定理求解,也 可用余弦定理求解,但都要注意对解的情况进行讨论.利用余 弦定理求解相对简捷.
zxx k



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