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自主招生数学试题及答案(6) 一、选择题(每题 6 分,共 36 分) 1. 关于 x 的不等式 ax ? 3a ? 3 ? x 的解集为 x ? ?3 ,则 a 应满足( ) (A) a ? 1 (B) a ? 1 (C)a≥1 (D)a≤1 2. 已知 - 1 < x < 0 ,则 - x 2 , x , A. - x 2 < x <
1 x

1 的大小关系是( x

6. 如图,直线 l 与反比例函数 y=

2 的图象在第一象限内 x

交于 A、B 两点,交 x 轴的正半轴于 C 点,若 AB:BC=(m 一 l):1(m>l) 则△OAB 的面积(用 m 表示)为( )


1 x

1 B. < - x 2 < x x

C. x < - x 2 <

m2 ? 1 A. 2m

m2 ? 1 B. m

C.

3 m2 ? 1 m

?

?

D.

3 m2 ? 1 2m

?

?

1 D. < x < - x 2 x

二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 7 分,共 42 分) 7. 如果关于 x 的一元二次方程 kx 2 ? 2k ? 1x ? 1 ? 0 有两个不相等的实数根, 那么 k 的取值范围是______________ 8. 在平面直角坐标系中,点 A 的坐标为(3,0),点 B 为 y 轴正半轴上的一点,点 C 是第一象限内一点,且 AC=2.设 tan∠BOC=m,则 m 的取值范围是
C

3. 如图,在四边形 ABCD 中,AD∥ BC, BD 平分∠ ABC 交 AC 于点 O,AE 平分∠ CAD 交 BD 于点 E,∠ ABC= ? ,∠ ACB= ? ,给出下列结论: ① ∠ DAE=
A E

1 AD AO 1 ? ;② ? ;③ ∠ AEB= (? ? ? ) ; 2 CB CO 2
B

D O

④ ∠ ACD= 180? ? (? ? ? ) . 其 中一 定正确 的 有 ( ) (A)4 个 (C)2 个 (B)3 个

第 3 题图

? ab 2 +b 2 ? 3a+1 ? 9. 设 a ? 2a ? 1 ? 0,b ? 2b ? 1 ? 0 ,且 1-ab ≠0,则 ? ? ? ? = a ? ?
2 4 2
2

5

(D)1 个 x y z x2 y2 z2 + + = 1 ,则 + + 4. 已知实数 x, y, z 满足 的值是 y+ z z+ x x+ y y+ z z+ x x+ y ( ) A.2 B.1 C.0 D. - 1

a^2+3a-1=0 b^4-3b^2-1=0 1)-2),得

1) 2)

a^2+3a-b^4+3b^2=0 (a+b^2)(a-b^2)+3(a+b^2)=0 (a+b^2)(a-b^2+3)=0

5. 若直角三角形的斜边长为 c,内切圆半径 r,则内切圆的面积与三角形的面积之 比是( )

A、

?r
c ? 2r

?r
B、

c?r

C、

?r
2c ? r

?r
D、

c ?r

2

b^2=-a 或 b^2=a+3
2

第 1 页 共 1 页

b^2=-a 时,1-ab^2=1+a^2>0,满足题设, (ab^2+b^2+1/a)^5 =[(-a^2-a+1)/a]^5 =[-(a^2+a-1)/a]^5 ={[-(a^2+3a-1)+2a]/a}^5 =2^5 =32

所以:A 的最大值=4(√6)/3 11. 甲、乙两人玩纸牌游戏,从足够数量的纸牌中取 牌.规定每人最多两种取法,甲每次取 4 张或(4﹣k) 张, 乙每次取 6 张或 (6﹣k) 张 (k 是常数, 0<k<4) . 经 统计,甲共取了 15 次,乙共取了 17 次,并且乙至少取

A M D N C
张.

B

了一次 6 张牌,最终两人所取牌的总张数恰好相等,那么纸牌最少有

(1)设甲、乙所取的最少纸牌张数分别为 M、N 则 M=15(4 一 k); N=6+16(6 一 k)那么 M、N 均是关于 K 的一次减函数。

b^2=a+3 时,1-ab^2=1-a(a+3)=-(a^2+3a-1)=0,不符合题设 所以原式=32. 10. 如 果 实 数 x 、 y 、 z 满 足 x ? y ? z ? ? xy ? yz ? zx ? ? 8, 用 A 表 示
2 2 2

(2)因 k 是常数, 且 0<k<4, K 是整数。 则 K=3 时, M、 N 的最小值分别是 15、 54。 (3)又最终两人所取牌的总张数恰好相等,则 N 取最小值 54 时,甲每次可取 4 张或(4 一 3)=1 张,那么甲取 15 次能够使其张数为 54. (4)那么纸牌最少有 54×2=108(张) 第一种解法。

x ? y , y ? z , z ? x 的最大值,则 A 的最大值是_________
解:对称性不妨设:x≥y≥z a=|x-y|=x-y, b=|y-z|=y-z, c=|z-x|=x-z 有:a、b、c≥0; A 的最大值=c 已知得出:16=a^2+b^2+c^2=2c^2-2ab≥2c^2-c^2/2=3c^2/2 c≤4(√6)/3 当且仅当:a=b=2(√6)/3,c=4(√6)/3 时,等式成立 公差=2(√6)/3 ] [此时,x、y、z 成等差数列, c=a+b 则:c≥a、b≥0

设甲 a 次取(4-k)张,乙 b 次取(6-k)张,则甲(15-a)次取 4 张,乙(17-b) 次取 6 张, 则甲取牌(60-ka)张,乙取牌(102-kb)张 则总共取牌:N=a(4-k)+4(15-a)+b(6-k)+6(17-b)=-k(a+b)+162, 从而要使牌最少,则可使 N 最小,因为 k 为正数,函数为减函数,则可使(a+b) 尽可能的大, 由题意得,a≤15,b≤16,
第 2 页 共 2 页

又最终两人所取牌的总张数恰好相等, 故 k(b-a)=42,而 0<k<4,b-a 为整数, 则由整除的知识,可得 k 可为 1,2,3, ①当 k=1 时,b-a=42,因为 a≤15,b≤16,所以这种情况舍去; ②当 k=2 时,b-a=21,因为 a≤15,b≤16,所以这种情况舍去; ③当 k=3 时,b-a=14,此时可以符合题意, 综上可得:要保证 a≤15,b≤16,b-a=14, (a+b)值最大, 则可使 b=16,a=2;b=15,a=1;b=14,a=0; 当 b=16,a=2 时,a+b 最大,a+b=18, 继而可确定 k=3, (a+b)=18, 所以 N=-3×18+162=108 张. 故答案为:108. 12.如图,在平行四边形 ABCD 中,M、N 分别是 BC、DC 的中点,AM=4,AN=3,且
? MAN 60 ,则 AB 的长是

15.(20 分)

16. (20 分)如图,抛物线 y ? ax2 ? bx ? 3 ,顶点为 E,该抛物线 x 与轴交于 A, B 两点,与 y 轴交于点 C,且 OB=OC=3OA.直线 y ? ? 求∠DBC-∠CBE.



1 x ? 1 与 y 轴交于点 D, 3

三、解答题: (本大题共 5 小题,计 72 分,写出必要的推算或演算步骤. ) 13. (15 分)某单位职工参加市工会组织的健身操比赛进行列队,已知 6 人一列少 2 人,5 人一列多 2 人,4 人一列不多不少,请问这个单位参加健身操比赛的职工 至少有几人? 14.(20 分)

第 3 页 共 3 页

解: 将 x ? 0 分别代入 y ? ? D(0,1),

1 x ? 1 , y ? ax 2 ? bx ? 3 知, 3 1 x ? 1 过点 3

5? 2 , ?6a ? 2? b ∴ ? c . ?6a ? 2? 4

① ②

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分

C(0, ?3 ),所以 B(3,0),A( ?1 ,0).直线 y ? ?

由②,得

c?

6a ? 2 3 a? 1 2 a? a ( ? 1) ? ? . 4 2 2
所以 a ? 2m ? 1, (m 是正整数) ③

B. 将点 C(0, ?3 )的坐标代入 y ? a( x ? 1)( x ? 3) ,得 a ? 1 . 抛物线 y ? x 2 ? 2 x ? 3 的顶点为 E (1, ?4 ).于是由勾股定理得 BC= 3 2 ,CE= 2 ,BE= 2 5 . 因为 BC2+CE2=BE2,所以,△BCE 为直角三角形, ?BCE ? 90?
(第 11 题)

因为 c 为正整数,可令 a ? 1 ? 2m,

将③代入①,得 6(2m ? 1) ? 2 ? 5b ? 2. ∴ b?

12 m? 2 1 m 0? m 2? ( 1) · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 ? . · 5 5
所以 m ? 5n ? 1, (n 是正整数) ④

CE 1 OD 1 ? , 因此 tan ?CBE = = .又 tan∠DBO= OB 3 CB 3 则∠DBO= ?CBE . 所以, ?DBC ? ?CBE ? ?DBC ? ?DBO ? ?OBC ? 45? .
参考答案 1.B 2.D 3.B 4.C 5. B

因为 b 为正整数,可令 m ? 1 ? 5n,

将④代入③,得 a ? 2(5n ? 1) ? 1 ? 10n ? 1. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 11 分 ∴ 14. 9.
y ? 6 a ? 2 ? 6 ( 1n 0 ? 1? ) ? 2 n6 0 ? (n8是正整数) . .

当 n=1 时,y 有最小值 52. 即参加比赛列队的至少有 52 人. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 15

1 1 6.B 7. ﹣ ≤k< 且 k≠0 2 2

5 8. m ? 2

?32
10.

4 6 3

11. 108

12.

14 :延长 AM 交 DC 的延长线于 F,则△ AMB≌ △ FMC.则 3

CF=AB,则 NF=

3 3 3 1 3 , AB ,过 N 作 NH 垂直 AF 于 H,则 AH= AN = , NH = 2 2 2 2

故 HF = 2? 4

3 13 , NF = = 2 2

(

3 3 13 2 14 . ) + ( )2 = 7 .所以 AB = NF = 2 2 3 3

13.设这个单位参加健身操比赛的职工有 y 人,6 人、5 人、4 人一列分别可以整排 a、b、c 列,则 y ? 6a ? 2 ? 5b ? 2 ? 4c . (a、b、c 是正整数)
第 4 页 共 4 页

15



16. 解:将 x ? 0 分别代入 y ? ?

1 x ? 1 , y ? ax 2 ? bx ? 3 知,D(0,1), 3

第 5 页 共 5 页

1 x ? 1 过点 B. 3 将点 C(0, ?3 )的坐标代入 y ? a( x ? 1)( x ? 3) ,得 a ? 1 . 抛物线 y ? x 2 ? 2 x ? 3 的顶点为 E (1, ?4 ).于是由勾股定理得
C(0, ?3 ),所以 B(3,0),A( ?1 ,0).直线 y ? ? BC= 3 2 ,CE= 2 ,BE= 2 5 . 因为 BC2+CE2=BE2,所以,△BCE 为直角三角形, ?BCE ? 90?

CE 1 OD 1 ? , = .又 tan∠DBO= OB 3 CB 3 则∠DBO= ?CBE . 所以, ?DBC ? ?CBE ? ?DBC ? ?DBO ? ?OBC ? 45? .
因此 tan ?CBE =

(第 11 题)

第 6 页 共 6 页



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