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2014高考数学文复习 二轮作业手册(新课标·通用版)专题限时集:第14讲 圆锥曲线的方程与性质



专题限时集训(十四) [第 14 讲 圆锥曲线的方程与性质] (时间:45 分钟)

x2 y2 1.已知椭圆 2 + 2=1 的左焦点为 F1,右顶点为 A,上顶点为 B.若∠F1BA=90°,则椭 a b 圆的离心率是( ) 5-1 3-1 A. B. 2 2 3 1 C. D. 2 2 x2 y2 2.已知双曲线 2 - 2=1 的一个焦点与抛物线 y2

=4 10x 的焦点重合,且双曲线的离心 a b 10 率等于 ,则该双曲线的方程为( ) 3 y2 A.x2- =1 B.x2-y2=15 9 x2 2 x2 y2 C. -y =1 D. - =1 9 9 9 x2 y2 3.已知抛物线 x2=-4y 的准线与双曲线 2 - 2=1(a>0,b>0)的两条渐近线围成一个等腰 a b 直角三角形,则该双曲线的离心率是( ) A. 2 B.2 C. 5 D.5 x2 y2 4.已知双曲线 2 - 2=1(a>0,b>0)右支上的一点 P(x0,y0)到左焦点的距离与到右焦点的 a b 2 距离之差为 2 2,且到两条渐近线的距离之积为 ,则双曲线的离心率为( ) 3 5 6 A. B. 2 2 C. 5 D. 6 x2 y2 5.设 P 是双曲线 2 - =1 左支上一点,该双曲线的一条渐近线方程是 3x+4y=0,F1, a 9 F2 分别是双曲线的左、右焦点,若|PF1|=10,则|PF2|等于( ) A.2 B.2 或 18 C.18 D.16 x2 y2 1 6.已知双曲线 2 - 2=1(a>0,b>0)的一个焦点到渐近线的距离是焦距的 ,则双曲线的离 a b 4 心率是( ) A.2 B.4 4 15 2 3 C. D. 15 3 x2 y2 7.抛物线 y2=8x 的准线与双曲线 - =1 的两条渐近线围成的三角形的面积为( 12 4 4 3 2 3 A. B. 3 3 3 C. D.2 3 3
1

)

x2 y2 x2 y2 8.若双曲线 2 - 2=1(a>0,b>0)与椭圆 2+ 2=1(m>b>0)的离心率之积大于 1,则以 a, a b m b b,m 为边长的三角形一定是( ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形 9.已知 F1, F2 是椭圆 x2+2y2=6 的两个焦点,点 M 在此椭圆上且∠F1MF2=60°,则 △MF1F2 的面积等于( ) A. 2 B. 3 C.2 D. 5 x2 y2 10.已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的两条渐近线均与圆 C:x2+y2-6x+5=0 相切,则 a b 该双曲线的离心率等于( ) 3 5 6 3 5 A. B. C. D. 5 2 2 5 x2 y2 11.已知 A 是双曲线 2 - 2=1(a>0,b>0)的左顶点,F1,F2 分别为双曲线的左、右焦点, a b → → P 为双曲线上一点,G 是△PF1F2 的重心,若GA=λPF1,则双曲线的离心率为________. x2 → → 12.设 F1,F2 为双曲线 2 -y2=1 的两个焦点,已知点 P 在此双曲线上,且PF1?PF2=0. a 5 若此双曲线的离心率等于 ,则点 P 到 x 轴的距离等于________. 2 13.椭圆的两焦点为 F1(-4,0),F2(4,0),P 在椭圆上,若△PF1F2 的面积的最大值为 12, 则椭圆方程为________. 14.过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F 的直线 l 与抛物线在第一象限的交点为 A,直线与抛 → → → → 物线的准线的交点为 B,点 A 在抛物线的准线上的射影为 C,若AF=FB,BA?BC=36,则 抛物线的方程为________. 15.已知椭圆与双曲线 x2-y2=0 有相同的焦点,且离心率为 (1)求椭圆的标准方程; → → (2)过点 P(0,1)的直线与该椭圆交于 A,B 两点,O 为坐标原点,若AP=2PB,求△AOB 的面积. 2 . 2

1 16.设抛物线的顶点在原点,准线方程为 x=- . 2 (1)求抛物线的标准方程; (2)若点 P 是抛物线上的动点,点 P 在 y 轴上的射影是 Q,点 M?1,

?

15? ,试判断|PM|+ 2 ?

|PQ|是否存在最小值,若存在,求出其最小值,若不存在,请说明理由; (3)过抛物线焦点 F 作互相垂直的两直线分别交抛物线于 A,C,B,D,求四边形 ABCD 面积的最小值.

专题限时集训(十四)
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c?2 c b b 1.A [解析] 根据已知得- ? =-1,即 b2=ac,由此得 c2+ac-a2=0,即? ?a? +a-1 c a -1+ 5 =0,即 e2+e-1=0,解得 e= (舍去负值). 2 2.C [解析] 抛物线 y2=4 10x 的焦点为( 10,0), 10 10 ∴c2=a2+b2=10,e= = . a 3 ∴a=3,b=1, x2 ∴该双曲线的方程为 -y2=1. 9 3.A [解析] 抛物线 x2=-4y 的准线为 l:y=1,显然双曲线的两条渐近线互相垂直, 所以该双曲线为等轴双曲线,则 e= 2. 2 2 |bx0-ay0| |bx0+ay0| 2 b2x2 a2b2 0-a y0 2 4.B [解析] 由题意知 a= 2, 2 2 ? 2 = ,所以 = ,因此 2 2 2 3 a +b a +b2 a +b a +b2 3 2 1 6 = ,因此 b=1,e= 1+ = . 3 2 2 3 5.C [解析] 由渐近线方程得 y=- x, 4 3 3 x2 y2 ∴ = ,a=4.又 P 是双曲线 2 - =1 左支上一点,∴|PF2|-|PF1|=2a=8,∴|PF2|=18, a 4 a 9 故选 C. c |bc| b2 2 3 2 2 6.D [解析] 由题意可知 = 2 ,所以 a = 3b , e = 1 + = . 2 a2 3 a + b2 x2 y2 3 [解析] y2=8x 的准线为 x=-2,双曲线 - =1 的渐近线方程为 y=± x,所 12 4 3 2 3 1 4 3 以 S= ?2?2? = . 3 2 3 a2+b2 m2-b2 8. D [解析] 即 ? >1, 即(a2+b2)(m2-b2)>a2m2, 即-a2b2+b2(m2-b2)>0, a m 即 a2+b2<m2,故以 a,b,m 为边长的三角形一定是钝角三角形. x2 y2 9.B [解析] x2+2y2=6,即 + =1,所以 a= 6,b=c= 3.设|MF1|=t,则在△MF1F2 6 3 1 2 2 中,由余弦定理得 (2c) = (2a - t) + t2 - 2t(2a - t)cos 60 °,解得 t= 6 ± 2 , S △ MF1F2= 2 |MF1||MF2|sin 60°= 3,即△MF1F2 的面积为 3. 10.A [解析] 圆的标准方程为(x-3)2+y2=4,圆心为(3,0),半径 r=2,双曲线的一条 b |3b| 渐近线为 y= x,即 bx-ay=0.圆心到直线 bx-ay=0 的距离 d= 2 =r=2,即 9b2=4(a2 a a +b2 4 4 9 9 3 5 +b2),即 b2= a2,所以 c2=a2+b2=a2+ a2= a2,所以 e2= ,即 e= . 5 5 5 5 5 |PO| |OF1| → → 11. 3 [解析] 由GA=λPF1可知 GA∥PF1, 因为 G 是△PF1F2 的重心, 所以 =3= |GO| |OA| c = ,所以 e=3. a 5 x2 5 12. [解析] ∵ 2 -y2=1 的离心率等于 , 5 a 2 a2+1 5 ∴ 2 = ,∴a2=4. a 4 x2 ∵点 P 在双曲线 -y2=1 上,∴(|PF1|-|PF2|)2=16, 4 → → 即|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|=16.又∵PF1?PF2=0,∴PF⊥PF2, 7.A
3

∴|F1F2|2-2|PF1||PF2|=16,解得|PF1||PF2|=2. 1 1 5 设 P 点到 x 轴的距离等于 d,则 |F1F2|?d= |PF1||PF2|.解得 d= . 2 2 5 x2 y2 13. + =1 [解析] 当点 P 为椭圆的短轴顶点时,△PF1F2 的面积最大,此时△PF1F2 25 9 1 x2 y2 的面积为 S= ?8?b=12,解得 b=3.又 a2=b2+c2=25,所以椭圆方程为 + =1. 2 25 9 p ? 14. y2=2 3x [解析] 设 A(x0, y0), 则点 A 关于点 F? ?2,0?的对称点 B 的坐标为(p-x0, p p p 3p ? -y0),该点在抛物线的准线 x=- 上,所以 p-x0=- ,即 x0= ,此时 B? ?-2,-y0?.点 2 2 2 p → → → → 2 ? C? ?-2,y0?.所以BA=(2p,2y0),BC=(0,2y0),因为BA?BC=36,所以 4y0=36,解得 y0 3 2 ? =3(舍去负值),此时点 A? ?2p,3?,代入抛物线方程,得 9=3p ,解得 p= 3,所以所求的抛 物线方程为 y2=2 3x. x2 y2 15.解:(1)设椭圆方程为 2 + 2=1,a>b>0, a b c 2 由 c= 2, = ,可得 a=2,b2=a2-c2=2, a 2 x2 y2 所以椭圆的标准方程为 + =1. 4 2 ?-x1=2x2, → → ? (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),由AP=2PB得? ?1-y1=2(y2-1), ? 可得 x1=-2x2.① 设过点 P 的直线方程为 y=kx+1,代入椭圆方程,整理得 (2k2+1)x2+4kx-2=0, -2 4k 则 x1+x2=- 2 ,② x1x2= 2 ,③ 2k +1 2k +1 4k 1 由①②得 x2= 2 ,将 x1=-2x2 代入③得 x2 , 2= 2k +1 2k2+1 4k 2 1 1 所以?2k2+1? = 2 ,解得 k2= . 14 ? ? 2k +1 1 1 |12k| 3 14 又△AOB 的面积 S= |OP|?|x1-x2|= ? 2 = . 2 2 2k +1 8 3 14 所以△AOB 的面积是 . 8 1 p 1 16.解:(1) 由题意知以直线 l:x=- 为准线的抛物线,得 = ,∴p=1,方程为 y2= 2 2 2 2x. 1 (2)易知点 M 在抛物线的外侧,延长 PQ 交直线 x=- 于点 N, 2 1 由抛物线的定义可知|PN|=|PQ|+ =|PF|, 2 当三点 M,P,F 共线时,|PM|+|PF|最小,此时为|PM|+|PF|=|MF|. 1 ? 1 2 15?2 ,0 ,所以|MF|= ?1- ? +? 又焦点坐标为 F? ?2 ? ? 2? ? 2 ? =2, 1 3 即|PM|+ +|PQ|的最小值为 2,所以|PM|+|PQ|的最小值为 . 2 2 1 ? (3)设过 F 的直线方程为 y=k? ?x-2?,A(x1,y1),C(x2,y2),

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1 ? 2 ?y=k? x- ?, 2? 得 k2x2-(k2+2)x+k =0, ? 由? 4 ?y2=2x, ? 2 1 由韦达定理得 x1+x2=1+ 2,x1x2= , k 4 2 所以|AC|= 1+k2? (x1+x2)2-4x1x2=2+ 2, k 同理|BD|=2+2k2. 2 1 1 2 2+ 2?(2+2k )=2?2+k2+ 2?≥8, 所以四边形 ABCD 的面积 S= ? k? ? 2? k ? 即四边形 ABCD 面积的最小值为 8.

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