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高二数学竞赛7



高二数学竞赛试题(7)
一、选择题
1 1.抛物线 y ? ? x 2 的准线方程是( ) 8 1 1 A. x ? B. y ? 2 C. y ? D. y ? ?2 32 32 2.已知直线 l 过点 P(1,0,-1),平行于向量 a ? (2,1,1) ,平面 ? 过直线 l 与点 M(1,2,3),则平面 ? 的法向量不可能是( ) 1 1 1 1

A. (1,-4,2) B. ( , ?1, ) C. (? ,1, ? ) D. (0,-1,1) 4 2 4 2 3.向量 a ? (2,?1,2) ,与其共线且满足 a ? x ? ?18的向量 x 是( ) 1 1 1 A. ( , ,? ) B.(4,-2,4) C.(-4,2,-4) D.(2,-3,4) 2 3 4 4.有以下命题: ①如果向量 a, b 与任何向量不能构成空间向量的一组基底, 那么 a, b

的关系是不共线;② O, A, B, C 为空间四点,且向量 OA, OB, OC 不构成空间的一个 基底,则点 O, A, B, C 一定共面;③已知向量 a, b, c 是空间的一个基底,则向量

a ? b, a ? b, c 也是空间的一个基底。其中正确的命题是( (A)①② (B)①③ (C)②③

) (D)①②③

5.如图: 在平行六面体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,M 为 A1C1 与 B1 D1 的交点。 若 AB ? a , ( ) AD ? b , AA1 ? c 则下列向量中与 BM 相等的向量是 D1 C1 M 1 1 1 1 B1 A1 (A) ? a ? b ? c (B) a ? b ? c 2 2 2 2 D C 1 1 1 1 (C) ? a ? b ? c (D) a ? b ? c A B 2 2 2 2 x2 y2 ? ? 1 ,若其长轴在 y 轴上.焦距为 4 ,则 m 等于 6.已知椭圆 10 ? m m ? 2 A. 4 . B. 5 . C. 7 . D. 8 . 2 2 x y 7.已知双曲线 ? ? 1(mn ? 0) 的离心率为 2,有一个焦点恰好是抛物线 y 2 ? 4 x 的 m n 焦点,则此双曲线的渐近线方程是( ) A. 3 x ? y ? 0 B. x ? 3 y ? 0 C. 3 x ? y ? 0 D. x ? 3 y ? 0
x2 y2 ? ? 1 (a>0,b<0)的右焦点为 F,若过点 F 且倾斜角为 60°的直 a2 b2 线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是( ) A.( 1,2) B. (1,2) C.[2,+∞) D.(2,+∞) 二、填空题: 9.已知点 P 到点 F (3, 0) 的距离比它到直线 x ? ?2 的距离大 1,则点 P 满足的方程 为 .

8.已知双曲线

10.抛物线的的方程为 x ? 2 y 2 ,则抛物线的焦点坐标为______________. 11. 向量 a ? (1, 2, ?2), b ? (?2, x, y) ,且 a / / b 则 x ? y ? ______________. 12.已知椭圆 x 2 ? ky 2 ? 3k (k ? 0)的一个焦点与抛物线 y 2 ? 12x 的焦点重合,则该椭 圆的离心率是 . 三、解答题 13. 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是BB1、CD的中点. (1)证明:AD⊥D1F; (2)求AE与D1F所成的角;(3)证明:面AED⊥面A1FD1;
? ?

2 2 .(1)求椭圆 3 的方程 .(2) 一条不与坐标轴平行的直线 l 与椭圆交于不同的两点 M , N ,且线段 1 MN 的中点的横坐标为 ? ,求直线 l 的斜率的取值范围. 2

14、 已知椭圆的两个焦点分别为 F 1 (0, ?2 2), F 2 (0,2 2) ,离心率 e ?

15.已知四棱锥 P ? ABCD 的底面为直角梯形, AB // DC ,

?DAB ? 90? , PA ? 底

1 AB ? 1 , M 是 PB 的中点。 面 ABCD ,且 PA ? AD ? DC ? , 2 (1)证明: 面 PAD ? 面 PCD ; (2)求 AC 与 PB 所成的角; (3)求面 AMC 与面 BMC 所 成二面角的大小余弦值。

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