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高中数学 4-3-1、2 空间直角坐标系 空间两点间的距离公式能力强化提升 新人教A版必修2



【成才之路】2014 高中数学 4-3-1、2 空间直角坐标系 空间两 点间的距离公式能力强化提升 新人教 A 版必修 2
一、选择题 1.在空间直角坐标系中,在 z 轴上的点的坐标可记为( A.(0,b,0) C.(0,0,c) [答案] C 2.已知点 A(1,-3,4),则点 A 关于 y 轴的对称点的坐标为( A.(-1,-3,-4) C.(3,-1,-4) [

答案] A 3.点 P(-1,2,3)关于 xOz 平面对称的点的坐标是( A.(1,2,3) C.(-1,2,-3) [答案] B 4.已知点 A(-3,1,5)与点 B(4,3,1),则 AB 的中点坐标是( 7 A.( ,1,-2) 2 C.(-12,3,5) [答案] B 5.点 P(0,1,4)位于( A.y 轴上 C.xOz 平面内 [答案] D [解析] 由于点 P 的横坐标是 0,则点 P 在 yOz 平面内. 6.点 A 在 z 轴上,它到点(3,2,1)的距离是 13,则点 A 的坐标是( A.(0,0,-1) C.(0,0,1) [答案] C [解析] 设 A(0,0,c),则 3 +2 +? (0,0,1). 8 7.△ABC 的顶点坐标是 A(3,1,1),B(-5,2,1),C(- ,2,3),则它在 yOz 平面上射影 3
2 2

)

B.(a,0,0) D.(0,b,c)

)

B.(-4,1,-3) D.(4,-1,3)

)

B.(-1,-2,3) D.(1,-2,-3)

)

1 B.( ,2,3) 2 1 4 D.( , ,2) 3 3

) B.x 轴上 D.yOz 平面内

)

B.(0,1,1) D.(0,0,13)

1-c?

2

= 13,解得 c=1.所以点 A 的坐标为

1

图形的面积是( A.4 C.2 [答案] D

) B.3 D.1

[解析] △ABC 的顶点在 yOz 平面上的射影点的坐标分别为 A′(0,1,1),B′(0,2,1),

C′(0,2,3),△ABC 在 yOz 平面上的射影是一个直角三角形 A′B′C′,容易求出它的面积
为 1. 8.空间直角坐标系中,点 A(3,2,-5)到 x 轴的距离 d 等于( A. 3 +2
2 2 2

)
2

B. 2 +? -5?
2 2 2

2

C. 3 +? -5? [答案] B [解析] 2 +? -5?
2

D. 3 +2 +? -5?

2

过 A 作 AB ⊥x 轴于 B,则 B(3,0,0),则点 A 到 x 轴的距离 d=|AB|=
2

.

二、填空题 9.点 M(1,-4,3)关于点 P(4,0,-3)的对称点 M′的坐标是________. [答案] (7,4,-9) [解析] 线段 MM′的中点是点 P,则 M′(7,4,-9). 10.在空间直角坐标系中,点 M 的坐标是(4,5,6),则点 M 关于 y 轴的对称点在坐标平 面 xOz 上的射影的坐标为________. [答案] (-4,0,-6) [解析] 点 M 关于 y 轴的对称点是 M′(-4,5,-6),则点 M′在坐标平面 xOz 上的射 影是(-4,0,-6). 1 5 11.在△ABC 中,已知 A(-1,2,3),B(2,-2,3),C( , ,3),则 AB 边上的中线 CD 2 2 的长是________. [答案] 5 2

1 [解析] 由题可知 AB 的中点 D 的坐标是 D( ,0,3), 2 由距离公式可得 |CD|= ? 1 1 - ? 2 2
2

+?

5 -0? 2

2

+? 3-3?

2

5 = . 2

12.在空间直角坐标系中,正方体 ABCD—A1B1C1D1 的顶点 A(3,-1,2),其中心 M 的坐 标为(0,1,2),则该正方体的棱长为________.

2

[答案]

2 39 3 3-0?
2

[解析] |AM|= ?

+? -1-1?

2

+?

2-2?

2

= 13,∴对角线|AC1|=2 13, 2 39 2 2 设棱长 x,则 3x =(2 13) ,∴x= . 3 三、解答题 13.已知点 A(1,-2,11),B(4,2,3),C(6,-1,4),试判断△ABC 的形状. [分析] 求出三角形边长,利用三边的关系来判断其形状. [解析] 由题意得: |AB|= ? 4-1? |BC|= ? 6-4? |AC|= ? 6-1?
2 2 2

+?

2+2?

2

+? 3-11?
2

2

= 89,
2

2

+? -1-2? +? -1+2?
2

+? +?

4-3? 4-11?

= 14,
2

2

2

= 75.

∵|BC| +|AC| =|AB| , ∴△ABC 为直角三角形. 14.如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 中,所有棱长都为 2,侧棱 AA1⊥底面 ABC,建立适当坐 标系写出各顶点的坐标.

[分析] 题中给出了三棱柱的棱长, 要求各顶点的坐标, 可以作出两两垂直的三条线分 别为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系,然后确定各点坐标.

[解析] 取 AC 的中点 O 和 A1C1 的中点 O1,可得 BO⊥AC,分别以 OB、OC、OO1 所在直线
3

为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系. 因为三棱柱各棱长均为 2,所以 OA=OC=1,OB= 3, 可得 A(0,-1,0),B( 3,0,0),C(0,1,0),A1(0,-1,2),B1( 3,0,2),C1(0,1,2). 15.长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=BC=2,D1D=3,点 M 是 B1C1 的中点,点 N 是 AB 的 中点.建立如图所示的空间直角坐标系.

(1)写出点 D,N,M 的坐标; (2)求线段 MD,MN 的长度. [分析] (1)D 是原点,先写出 A,B,B1,C1 的坐标,再由中点坐标公式得 M,N 的坐标; (2)代入空间中两点间距离公式即可. [解析] (1)因为 D 是原点,则 D(0,0,0). 由 AB=BC=2,D1D=3, 得 A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),B1(2,2,3),C1(0,2,3). ∵N 是 AB 的中点,∴N(2,1,0). 同理可得 M(1,2,3). (2)由两点间距离公式,得 |MD|= ? 1-0? |MN|= ? 1-2?
2

+? +?

2-0? 2-1?

2

+? 3-0? +? 3-0?

2

= 14, = 11.

2

2

2

16.如下图所示,正方形 ABCD,ABEF 的边长都是 1,并且平面 ABCD⊥平面 ABEF,点 M 在 AC 上移动,点 N 在 BF 上移动.若|CM|=|BN|=a(0<a< 2).

4

(1)求 MN 的长度; (2)当 a 为何值时,MN 的长度最短?

[解析] 因为平面 ABCD⊥平面 ABEF,且交线为 AB,BE⊥AB,所以 BE⊥平面 ABCD,所 以 BA,BC,BE 两两垂直.取 B 为坐标原点,过 BA,BE,BC 的直线分别为 x 轴,y 轴和 z 轴, 建立如图所示的空间直角坐标系. 因为|BC|=1,|CM|=a,点 M 在坐标平面 xBz 内且在正方形 ABCD 的对角线上,所以点

M(

2 2 a,0,1- a). 2 2 因为点 N 在坐标平面 xBy 内且在正方形 ABEF 的对角线上, BN|=a, | 所以点 N( 2 2 a, 2 2

a,0).
(1)由空间两点间的距离公式,得 |MN|=
2

2 ?2 ? 2 ?2 ? 2 ? 2 ?2 ? a- a? +?0- a? +?1- a-0? 2 2 ? ? 2 ? ? 2 ? ?

= a - 2a+1, 即 MN 的长度为 a - 2a+1. (2)由(1),得|MN|= a - 2a+1=
2 2

2?2 1 ? ?a- ? +2. 2 ? ?

5

当 a=

2 (满足 0<a< 2)时, 2

2 2?2 1 ? 即 最短为 . ?a- ? +2取得最小值, MN 的长度最短, 2 2 ? ?

6



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