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黑龙江省牡丹江市第一高级中学2015-2016学年高二上学期期中考试数学(理)试题



2015 年学业水平测试

数学理科试题
一、选择题(本大题共有 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四 选项中只有一项是符合题目要求的。 )
1.抛物线 x 2 ? 4 y 的准线方程为( A ) C ) B

y ?1
y ?1 x

B

x

?1

y ? ?1

D

x ? ?1

2.下列方程中表示相同曲线的是( A C

y?x,

y ? 2x , y ? 2 x 2 | y |?| x | , y 2 ? x 2


| y |?| x | ,

y? x

D

3.已知椭圆的焦点为 (?1,0) 和 (1,0) ,点 P(2,0) 在椭圆上,则椭圆的标准方程为(

A

x2 ? y2 ? 1 4

B

x2 y2 ? ?1 4 3

C

y2 ? x2 ? 1 4

D

y2 x2 ? ?1 4 3


x2 y2 5 4.已知双曲线 C : 2 ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的离心率为 ,则 C 的渐近线方程为( 2 a b
A

y ? ?4 x
2 2

B
2

1 y?? x 4
2

C

y ? ?2 x

D ) D

1 y?? x 2

5.与圆 x ? y ? 1 及圆 x ? y ? 8x ? 12 ? 0 都外切的圆的圆心在( A 一个椭圆上 B 双曲线的一支上 C 一条抛物线

一个圆上

x2 y2 6.点 ( 2 , 3 ) 在双曲线 C : 2 ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) 上,且 C 的焦距为 4,则它的离心率 a b
为 A 2 B 4 C

2

D

3

2 7.已知 F 是抛物线 y ? 2 x 的焦点, A, B 是该抛物线上的两点,且 | AF | ? | BF |? 4 ,则线

段 AB 的中点到抛物线准线的距离为( A 1 B 2
2

) C 3 ) D 无数条 D 4

8.过点 (0,2) 且与抛物线 y ? 4 x 只有一个公共点的直线有( A 1条 B 2条 C 3条

9.设 F1 , F2 是双曲线

x2 ? y 2 ? 1 的两个焦点,点 P 在双曲线上,且 ?F1 PF2 ? 90o ,则点 P 8

到 x 轴的距离为( A

) B 3 C )

7

1 3

D

7 7

10.以下四个关于圆锥曲线的命题中正确的个数为( ①曲线

x2 y2 x2 y2 ? ? 1 (k ? 9) 有相同的焦点; ? ? 1 与曲线 16 ? k 9 ? k 16 9

②方程 2 x 2 ? 3x ? 1 ? 0 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率;

③过椭圆

x2 y2 ? ? 1 的右焦点 F2 作动直线 l 与椭圆交于 A, B 两点, F1 是椭圆的左焦点,则 25 16

?AF1 B 的周长不为定值。
④过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点作直线与抛物线交于 A、B 两点,则使它们的横坐标之和等于 5 的 直线有且只有两条。 A 1个

B

2个

C

3个

D

4个

11.若点 O 和点 F 分别为椭圆

x2 y2 ? ? 1 的中心和左焦点,点 P 为椭圆上的任意一点,则 16 7

OP ? FP 的最大值为(
A 18
2

) B 24 C 28 D 32
2? , 3

12. 抛物线 y ? 8x 的焦点为 F , 准线为 l ,A , 且满足 ?AFB ? B 是抛物线上的两个动点, 过线段 AB 的中点 M 作直线 l 的垂线,垂足为 N ,则 A

| MN | 的最大值,是( ) | AB |
C

3 4

B

3 3
2

3 2

D

3

二、填空题(本大题共有 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分)
13.已知点 A(?2,4) 在抛物线 C : y ? 2 px 的准线上,抛物线的焦点为 F ,则直线 AF 的斜 率为 14.过双曲线 。

x2 y2 ? ? 1 左焦点 F1 的直线交双曲线的左支于 M , N 两点, F2 为其右焦点, 16 12

则 | MF2 | ? | NF2 | ? | MN | 的值为 15.直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, ?BCA ? 90 , M , N 分别是 A1 B1 , A1C1 的中点,
0

BC ? CA ? CC1 ? 2 ,则 BM 与 AN 所成角的余弦值为



16 . 设 点 P( x, y )是 曲 线 a x ? b y ? 1(a ? 0, b ? 0) 上 任 意 一 点 , 其 坐 标 ( x, y ) 均 满 足

x 2 ? y 2 ? 4 x ? 4 ? x 2 ? y 2 ? 4 x ? 4 ? 8 ,则 2a ? 3b 的取值范围为
三、解答题 17. (10 分)在极坐标系中,求圆 ? ? 4 sin ? 的圆心到直线 ? ?



?
4

( ? ? R) 的距离。

18. (12 分)如图(1) ,在 Rt ?ABC 中,?C ? 900 , BC ? 2, AC ? 4, 点 D, E 分别是 AC, AB 的中点,将 ?ADE 沿 DE 折起到 ?A1 DE 的位置,使 A1 D ? DC 如图(2)所示,M 为 A1 D 的 中点, 求 CM 与面 A1 EB 所成角的正弦值。
A D E B
C A1 M D E B

( C )

(1)

(2)

19. (12 分)经过椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1 的左焦点 F1 作直线 l ,与椭圆 C 交于 A, B 两点,且 4 3

| AB |?

24 ,求直线 l 的方程。 7

20. (12 分)如图,在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AD ? AA , AB ? 2 ,点 E 在棱 AB 1 ?1 上移动。 (1)证明: D1 E ? A1 D ;

D1 A1 A D E B B1

C1

6 (2) AE 等于何值时,二面角 D1 ? EC ? D 的余弦值为 。 7

C

x2 y2 3 21.(12 分)已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,椭圆 C 的长轴长为 4. 2 a b
(1)求椭圆 C 的方程; (2)已知直线 l : y ? kx ? 3 与椭圆 C 交于 A,B 两点,是否存在实数 k 使得以线段 AB 为直 径的圆恰好经过坐标原点 O?若存在,求出 k 的值;若不存在,请说明理由.

22. (12 分)已知抛物线 C 的顶点为坐标原点,焦点为 F (0,1) , (1)求抛物线 C 的方程; ( 2 )过点 F 作直线 l 交抛物线于 A, B 两点,若直线 AO, BO 分别与直线 y ? x ? 2 交于

M , N 两点,求 | MN | 的取值范围。

牡一中 2015-2016 上学期高二理科数学期中试题参考答案

1 C

2 D 13
?1

3 B

4 D

5 B 14 16

6 A

7 B

8 C 15
30 10

9 C

10 B

11 C 16

12 B

?1,???
2

三、解答题: 17.(10 分)解:圆的方程为 x 2 ? ( y ? 2) 2 ? 4 ,圆心为 (0,2) ;直线为 y ? x ,距离 d ?

18.(12 分) CM 与面 A1 EB 所成角的正弦值为

30 10

19.(12 分)解:当直线斜率不存在时, | AB |? 3 不符合题意;当直线斜率存在时,设直线

y ? k ( x ? 1) , 与椭圆方程联立得 (3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 12 ? 0 , 由弦长公式得 k ? ?1 ,
直线方程为 y ? ? x ? 1 或 y ? x ? 1 。 20、 (12 分) (2)当 AE ?

4 6 时,二面角 D1 ? EC ? D 的余弦值为 。 3 7

? a?2 ? 21、 (1)设椭圆的焦半距为 c,则由题设,得 ? c 3, ? ? 2 ?a
解得 ?

? ? a?2 2 2 2 ,所以 b ? a ? c ? 4 ? 3 ? 1 , ? ?c ? 3

x2 ? y2 ? 1. 故所求椭圆 C 的方程为 4
(2)存在实数 k 使得以线段 AB 为直径的圆恰好经过坐标原点 O. 理由如下: 设点 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , 将直线 l 的方程 y ? kx ? 3 代入

x2 ? y2 ? 1, 4

并整理,得 (1 ? 4k 2 ) x 2 ? 8 3x ? 8 ? 0 . (*) 则 x1 ? x 2 ?

8 8 3k , x1 x 2 ? . 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k

因为以线段 AB 为直径的圆恰好经过坐标原点 O,

所以 OA ? OB ? 0 ,即 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 . 又 y1 y2 ? k 2 x1 x2 ? 3k ( x1 ? x2 ) ? 3 于是

??? ? ??? ?

8 4k 2 ? 3 11 ? ? 0 ,解得 k ? ? , 2 2 2 1 ? 4k 1 ? 4k

经检验知:此时(*)式的 Δ >0,符合题意. 所以当 k ? ?

11 时,以线段 AB 为直径的圆恰好经过坐标原点 O. 2

22、 解: (1) x 2 ? 4 y (2)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) , 直线 AB 的方程为 y ? kx ? 1 代入 x 2 ? 4 y 得

y ? y? 1x x ? 4kx ? 4 ? 0 , x1 ? x2 ? 4k , x1 x2 ? ?4 , | x1 ? x2 |? 4 k ? 1 由 ? 得 x1 ? y ? x?2
2

2

xM

8 8 8 2 k 2 ?1 , 同 理 xN ? , 所 以 | MN |? 2 | xM ? xN | = ,令 ? 4 ? x1 4 ? x2 | 4k ? 3 |
t?3 , 4

4k ? 3 ? t , t ? 0 ,则 k ?
则 | MN |? 2 2

25 6 5 3 16 8 ?8 ? ? ?1 ? 2 2 ( ? )2 ? ? 2 ,范围为 ? 2 ,?? ? 2 t t 5 25 5 t ?5 ?



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