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2013届高考数学一轮复习讲义专题一



一轮复习讲义

函数图象与性质的 综合应用

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要点梳理
1.函数的性质

忆一忆知识要点

(1)函数的性质是高考的必考内容, 它是函数知识的核心 部分.函数的性质包括函数的定义域、值域、单调性、 奇偶性、周期性、对称性与最大值、最小值等,在历年 的高考试题中函数的性质都占有非常重要的地位. (2)考查函数的定义域、 值域的题型, 一般是通过具体的 问题(实际应用题与几何问题)找出函数的关系式,再研 究函数的定义域与值域.

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要点梳理
(3)中档题常考题型

忆一忆知识要点

利用函数的性质比较函数值的大小、求函数值、解不等式、 求二次函数的最值问题,同时也考查考生能否用运动变化的 观点观察问题、分析问题、解决问题. (4)函数的最值问题在高考试题中几乎年年出现, 它是高考中 的重要题型之一,特别是函数在经济生活中的应用问题,大 多数都是最值问题,所以要掌握求函数最值的几种常用方法 与技巧,灵活、准确地列出函数模型.

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要点梳理
2.函数的图象

忆一忆知识要点

(1)函数图象是高考的必考内容,其中作图、识图、用图 也是学生必须掌握的内容. (2)作图一般有两种方法:描点法、图象变换法.特别是 图象变换法,有平移变换、伸缩变换和对称变换,要记 住它们的变换规律. (3)识图时, 要留意它们的变化趋势, 与坐标轴的交点及 一些特殊点,特别是对称性、周期性等特点,应引起足 够的重视. (4)用图,主要是数形结合思想的应用.

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要点梳理

忆一忆知识要点

函数求值问题
例1 设
?log (x2+t),x<0, ? 3 ? f(x)= ?2×(t+1)x,x≥0 ?

且 f(1)=6,则 f(f(-2))

的值为________.

首先根据 f(1)=6 求出 t 的取值,从而确定函数解析式,然后 由里到外逐层求解 f(f(-2))的值,并利用指数与对数的运算 规律求解函数值.

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∵1>0,∴f(1)=2×(t+1)=6, 即 t+1=3,解得 t=2.

?log (x2+2),x<0, ? 3 ? f(x)= ?2×3x, x≥0, ?

所以 f(-2)=log3[(-2)2+2]=log36>0.
f(f(-2))=f(log36)=2×3log36=2×6=12.
答案 12

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探究提高
本题的难点有两个,一是准确理解分段函数的定义,自变量 在不同取值范围内对应着不同的函数解析式;二是对数与指 数的综合运算问题.解决此类问题的关键是要根据分段函数 的定义,求解函数值时要先判断自变量的取值区间,然后再 代入相应的函数解析式求值,在求值过程中灵活运用对数恒 等式进行化简求值.

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变式训练 1
已知
?-cos(πx), ? f(x)=? ?f(x+1)+1, ? ?4? ? 4? x>0, 则 f?3?+f?-3?的值为 ? ? ? ? x≤0,

_____. 3
?4? 1 ? 4? ? 1? ?2? 5 ? ?= ,f?- ?=f?- ?+1=f? ?+2= , f3 2 ? ? 2 ? 3? ? 3? ?3? ?4? ? 4? f?3?+f?-3?=3. ? ? ? ?

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函数与不等式问题
例 2 设奇函数 f(x)在(0,+∞)上为单调递增函数,且 f(2) f(-x)-f(x) =0,则不等式 ≥0 的解集为____________. x

转化成 f(m)<f(n)的形式,利用单调性求解.
因为 f(x)为奇函数,所以 f(-x)=-f(x),不等式可 -f(x)-f(x) f(x) 化为 ≥0,即- x ≥0. x

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当 x>0 时,则有 f(x)≤0=f(2),由 f(x)在(0,+∞)上单调递 增可得 x≤2;当 x<0 时,则有 f(x)≥0=-f(2)=f(-2),由 函数 f(x)为奇函数可得 f(x)在(-∞, 0)上单调递增, 所以 x≥ -2.所以不等式的解集为[-2,0)∪(0,2].
答案 [-2,0)∪(0,2]

探究提高
解决抽象函数问题的关键是灵活利用抽象函数的性质,利用 函数的单调性去掉函数符号是解决问题的关键,由函数为奇 函数可知,不等式的解集关于原点对称,所以只需求解 x>0 时的解集即可.

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变式训练 2
? 1 ?log x,x>0, 设函数 f(x)=? 2 若 f(m)<f(-m),则实数 m ?log2(-x),x<0, ? 的取值范围是____________.

? 1 ?log (-x),-x>0 f(-x)=? 2 ?log2x,-x<0 ? ? 1 ?log (-x),x<0, =? 2 ?log2x,x>0. ?
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1 当 m>0 时,f(m)<f(-m)?log m<log2m?m>1; 2 1 当 m<0 时,f(m)<f(-m)?log2(-m)<log (-m) 2 ?-1<m<0.
所以,m 的取值范围是(-1,0)∪(1,+∞).
答案 (-1,0)∪(1,+∞)

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函数的图象问题
例3 函数 f(x)=1+log2x 与 g(x)=21 x 在同一直角坐标系下


的图象大致是________(填图象序号).

在同一个坐标系中判断两个函数的图象,可根据函数图象上 的特征点以及函数的单调性来判断.

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f(x)=1+log2x 的图象由函数 f(x)=log2x 的图象向上 平移一个单位而得到,所以函数图象经过(1,1)点,且为单调 增函数;
?1? =2×?2?x,其图象经过(0,2)点,且为单调减 ? ?

函数 g(x)=2

1- x

函数.综上所述,应填③.
答案 ③

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探究提高
本题的难点是在坐标系中并没有标出图象对应的函数解析 式,需要我们根据图象的特征确定与其相应的函数解析式, 并判断另一个图象是否与函数解析式对应.破解此类问题可 从函数图象上的本质——点的集合入手,结合函数的单调 性、奇偶性、周期性等性质,通过一些特殊点(常用函数图象 与两坐标轴的交点)排除干扰项即可找到答案.

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变式训练 3
函数 f(x)=axm(1-x)n 在区间[0,1]上的图象 如图所示,则 m,n 的值可能是________. ①m=1,n=1; ③m=2,n=1; ②m=1,n=2; ④m=3,n=1.

观察图象易知,a>0,f(x)在[0,1]上先增后减,但在
? 1? ?0, ?上有增有减且不对称. 2? ?

对于①,m=1,n=1 时,f(x)=ax(1-x)是二次函数,图象应 1 关于直线 x= 对称,不符合题意. 2

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对于②,m=1,n=2 时, f(x)=ax(1-x)2=a(x3-2x2+x), f′(x)=a(3x2-4x+1)=a(x-1)(3x-1), 1 令 f′(x)≥0,得 x≥1 或 x≤ , 3 ? 1? ∴f(x)在?0,3?上单调递增,符合题意. ? ? 对于③,m=2,n=1 时,f(x)=ax2(1-x)=a(x2-x3),
f′(x)=a(2x-3x2)=ax(2-3x), 2 令 f′(x)≥0,得 0≤x≤ , 3 ? 2? ∴f(x)在?0,3?上单调递增,不符合题意. ? ?

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对于④,m=3,n=1 时,f(x)=ax3(1-x)=a(x3-x4), f′(x)=a(3x2-4x3)=ax2(3-4x), 3 令 f′(x)≥0,得 0≤x≤ , 4 ? 3? ∴f(x)在?0,4?上单调递增,不符合题意. ? ?
答案 ②

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函数的最值与不等式恒

成立问题
例 4 定义在 R 上的增函数 y=f(x)对任意 x,y∈R 都有 f(x +y)=f(x)+f(y). (1)求 f(0); (2)求证:f(x)为奇函数; (3)若 f(k·x)+f(3x-9x-2)<0 对任意 x∈R 恒成立,求实数 3 k 的取值范围.
(1)赋值法是解决抽象函数问题的常用方法, 第(1)(2)两问可用 赋值法解决. (2)将恒成立问题转化成函数最值问题.

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(1)解

令 x=y=0,得 f(0+0)=f(0)+f(0),即 f(0)=0.
令 y=-x,得 f(x-x)=f(x)+f(-x),

(2)证明

又 f(0)=0,则有 0=f(x)+f(-x), 即 f(-x)=-f(x)对任意 x∈R 成立, 所以 f(x)是奇函数.
(3)解 方法一 因为 f(x)在 R 上是增函数, 又由(2)知 f(x)是奇函数. f(k·x)<-f(3x-9x-2)=f(-3x+9x+2), 3 所以 k·x<-3x+9x+2, 3 32x-(1+k)·x+2>0 对任意 x∈R 成立. 3

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令 t=3x>0, 问题等价于 t2-(1+k)t+2>0 对任意 t>0 恒成立. 1+k 2 令 f(t)=t -(1+k)t+2,其对称轴为 x= , 2 1+k 当 <0 即 k<-1 时,f(0)=2>0,符合题意; 2 1+k 当 ≥0 即 k≥-1 时,对任意 t>0,f(t)>0 恒成立? 2 ?1+k ? ≥0, 2 ? ?Δ=(1+k)2-4×2<0, ? 解得-1≤k<-1+2 2.

综上所述,当 k<-1+2 2时,f(k·x)+f(3x-9x-2)<0 对任 3 意 x∈R 恒成立.

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2 方法二 由 k· <-3 +9 +2,得 k<3 + x-1. 3 3 2 x u=3 + x-1≥2 2-1,3x= 2时,取“=”,即 u 的最小值 3
x x x x

为 2 2-1, 2 要使对 x∈R 不等式 k<3 + x-1 恒成立, 3
x

只要使 k<2 2-1.

探究提高
对于恒成立问题,若能转化为 a>f(x) (或 a<f(x))恒成立,则 a 必须大于 f(x)的最大值(或小于 f(x)的最小值).因此恒成立问 题可以转化为我们较为熟悉的求最值的问题进行求解.若不 能分离参数,可以将参数看成常数直接求解.

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变式训练 4
1 已知 f(x)=logax(a>0 且 a≠1),如果对于任意的 x∈[ ,2]都 3 有|f(x)|≤1 成立,试求 a 的取值范围.
解 ∵f(x)=logax, 则 y=|f(x)|的图象如右图. 1 由图示,可使 x∈[ ,2]时恒有|f(x)|≤1, 3 1 1 1 -1 只需|f( )|≤1,即-1≤loga ≤1,即 logaa ≤loga ≤logaa, 3 3 3 1 -1 亦当 a>1 时,得 a ≤ ≤a,即 a≥3; 3 1 1 -1 当 0<a<1 时,得 a ≥ ≥a,得 0<a≤ . 3 3 1 综上所述,a 的取值范围是(0, ]∪[3,+∞). 3

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题 型 五 以形助数数形结合问题
例 5 已知不等式 x -logax<0,当 实数 a 的取值范围. 在同一坐标系中分别作出 y=x2、y=logax 的图象.利用图形 进行分析.
2

? 1? x∈?0,2?时恒成立,求 ? ?

y

f (x) ? x

2

解 由 x2-logax<0, 得 x2<logax. 设 f(x)=x2,g(x)=logax.
O
1 2

x
g ( x ) ? log a
x

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由题意知,当 象的下方,

? 1? x∈?0,2?时,函数 ? ?

f(x)的图象在函数 g(x)的图

?0<a<1, ?0<a<1, ? ? ?1? 如图,可知? ?1? 即??1?2 1 ? ? ≤loga , ? ?≤g? ?, ?f?2? ??2? 2 ? ? ?2? ?1 ? 1 解得 ≤a<1.∴实数 a 的取值范围是?16,1?. 16 ? ?

探究提高
本题是函数与不等式的综合题,运用数形结合的思想及函数 的思想,抓住函数图象的本质特征是解决本题的关键所在.

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变式训练 5
1 已知 a>0 且 a≠1, f(x)=x -a , x∈(-1, 当 1)时均有 f(x)< , 2
2 x

则实数 a 的取值范围是______________. x 2 1 解析 由题意可知 a >x - 在(-1,1)上恒成立, 2 1 x 2 令 y1=a ,y2=x - , y 2

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x

由图象知: 1 ? -1 2 ?a ≥(-1) -2, ? ? 1 2 1 ?a ≥1 -2, ? ?a>0且a≠1,
1 ∴ ≤a<1 或 1<a≤2. 2 ?1 ? 答案 ?2,1?∪(1,2] ? ?

点评 本题易错的原因:①找不到解题的切入口,使解题无 法进行下去;②易忽略对 a 的分类讨论.

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答题规范
作图用图要规范
(14 分)已知函数 f(x)=|x2-4x+3| (1)求函数 f(x)的单调区间,并指出其增减性; (2)若关于 x 的方程 f(x)-a=x 至少有三个不相等的实数根, 求实数 a 的取值范围.

审题视角
(1)化简 f(x)并作出 f(x)的图象,由图象确定单调区间. (2)方程 f(x)-a=x 的根的个数等价于 y=f(x)与 y=x-a 的交 点的个数,所以可以借助图象进行分析.

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规范解答 解
?(x-2)2-1, x∈(-∞,1]∪[3,+∞) ? f(x)=? ?-(x-2)2+1, x∈(1,3) ?

作出图象如图所示.

[2 分]

(1)递增区间为[1,2],[3,+∞), 递减区间为(-∞,1],[2,3]. [4 分]

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(2)原方程变形为 |x2-4x+3|=x+a, 于是,设 y=x+a,在同一坐标系下再作出 y=x+a 的图象. 如图. [6 分]

则当直线 y=x+a 过点(1,0)时,a=-1; 当直线 y=x+a 与抛物线 y=-x2+4x-3 相切时, ?y=x+a ? 由? ?x2-3x+a+3=0. [10 分] ?y=-x2+4x-3 ? 3 由 Δ=9-4(3+a)=0,得 a=- . [12 分] 4 ? 3? 由图象知当 a∈?-1,-4?时方程至少有三个不等实根. ? ?
[14 分]

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批阅笔记

(1)函数图象形象地显示了函数的性质(如单调性、奇偶性、 最值等), 为研究数量关系问题提供了“形”的直观性, 因此 常用函数的图象研究函数的性质. (2)有些不等式问题常转化为两函数图象的上、下关系来解. (3)方程解的个数常转化为两熟悉的函数图象的交点个数问 题来求解. (4)本题比较突出的问题,是作图不规范.由于作图不规范, 导致第(2)问的思路出现错误.

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方法与技巧
1.利用复合函数求函数值是一类重要问题,解题关键是利 用已知的函数值, 通过解析式的变化特点进行代入求值, 有时也可以利用周期性来解题. 2.抽象函数奇偶性的判断关键在于构造 f(-x),使之与 f(x) 产生等量关系,即比较 f(-x)与± f(x)是否相等,此时赋 值比较多的是-1、1、0 等.

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方法与技巧
3.作图、识图和用图是函数图象中的基本问题.作图的基 本途径: 求出函数的定义域; 尽量求出值域; 变换(化简、 平移、对称、伸缩等)出图象的形状;描点作图.识图就 是从图形中发现或捕捉所需信息,从而使问题得到解 决.用图就是根据需要,作出函数的图形,使问题求解 得到依据,使函数、方程、不等式中的许多问题化归为 函数图象问题.

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失误与防范
1.函数求值问题一定要关注自变量的取值范围,尤其是分 段函数,以防代错解析式. 2.对于抽象函数不等式向具体不等式转化的过程中,一定 要注意单调区间,需将自变量转化到同一个单调区间上去. 3.识图要抓性质特征,关键点;作图要规范,一般从基本 图形通过平移、对称等变换来作图.

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