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高中数学竞赛训练三



数学竞赛训练三
一、选择题 1. 设 a 、b 、 c 是实数,那么对任何实数 x ,不等式 a sin x ? b cos x ? c ? 0 都成立的充分 必要条件是 ( )

b 同时为 0 , A. a 、 且c ? 0

B. a 2 ? b 2 ? c

C.

a 2 ? b2

? c
2 2 2

D.
2

a 2 ? b2 ? c
2 2

b 、c 都是复数, 2. 给出下列两个命题: (1) 设a、 如果 a ? b ? c , 则a ?b ?c ? 0 ,
(2)设 a 、 b 、 c 都是复数,如果 a ? b ? c ? 0 ,则 a ? b ? c ,那么下述说法
2 2 2 2 2 2

正确的是 A.命题(1)正确,命题(2)也正确 C. 命题(1)错误,命题(2)也错误 3.

( B. 命题(1)正确,命题(2)错误 D. 命题(1)错误,命题(2)正确 (



logsin 1 cos1 , logsin 1 tan1, logcos1 sin 1, logcos1 tan1 的大小关系是



A. logsin 1 tan1 ? logcos1 tan1 ? logcos1 sin 1 ? logsin 1 cos1 B. logsin 1 cos1 ? logcos1 sin 1 ? logsin 1 tan1 ? logcos1 tan1 C. logcos1 sin 1 ? logcos1 tan1 ? logsin 1 cos1 ? logsin 1 tan1 D. logcos1 tan1 ? logsin 1 tan1 ? logsin 1 cos1 ? logcos1 sin 1 4. 设等差数列 ?an ? 满足 3a8 ? 5a13 且 a1 ? 0 , S n 为其前 n 项之和,则 S n ( n ? N )中最 大的是 A. S10 B. S11 C. S 20 D. S 21 ( )

5. 已知数列 ?an ? 满足 3an?1 ? an ? 4( n ? 1 ) ,且 a1 ? 9 ,其前 n 项之和为 S n ,则满足不 等式 S n ? n ? 6 ? A. 5

1 的最小整数是 125 B. 6 C. 7

( D. 8



6. 设复平面上单位圆内接正 20 边形的 20 个顶点所对应的复数依次为 z1 , z 2 ,?, z 20 ,则复 数 z1 A. 4
1995

, z1995 ,?, z1995 2 20 所对应的不同的点的个数是
B. 5 C. 10 D. 20





7. 已知方程 x ? 2n ? k x ( n ? N )在区间 (2n ? 1,2n ? 1] 上有两个不相等的实根,则 k 的取值范围是 A. k ? 0 B. 0 ? k ? ( )

1 2n ? 1

C.

1 ?k? 2n ? 1

1 2n ? 1

D.以上都不是

8. 设 O 是正三棱锥 P ? ABC 底面的中心, 过 O 的动平面与 P ? ABC 的三条侧棱或其延长

线的交点分别记为 Q 、 R 、 S ,则和式 A.有最大值而无最小值 C.既有最大值又有最小值且它们不相等

1 1 1 ? ? PQ PR PS
B.有最小值而无最大值





D.是一个与平面 QRS 位置无关的常量

9. 在平面直角坐标中,方程

x? y 2a

?

x? y 2b

? 1 ( a 、 b 为不相等的两个正数)所代表的

曲线是 ( ) A.三角形 B.正方形 C.非正方形的长方形 D.非正方形的菱形 10. 如果甲的身高数或体重数至少有一项比乙大,则称甲不亚于乙,在 100 个小伙子中,如 果某人不亚于其他 99 人,就称他为棒小伙子,那么,100 个小伙子中的棒小伙子最多可 能有 ( ) A. 1 个 二、填空题 1. 已 知 有 向 线 段 PQ 的 起 点 P 和 终 点 Q 的 坐 标 分 别 为 (?1,1) 和 ( 2,2) , 若 直 线 B. 2 个 C. 50个

个 D. 100

l : x ? m y ? m ? 0 与 PQ 的延长线相交,则 m 的取值范围是
2. 设 0 ? ? ? ? ,则 sin

; ;

?
2

(1 ? cos ? ) 的最大值是

3. 设 ? 、 ? 是一对共轭复数,若 ? ? ? ? 2 3 且

? 为实数,则 ? ? ?2




4. 一个球的内接圆锥的最大体积与这个球的体积之比为 5. 已知一平面与一个正方体的 12 条棱的夹角都等于 ? ,则 sin ? ? 6.



2 2 ? ? ? ? ? ? ?5? ? ?5? ? A ? ?( x, y) ( x ? 3) 2 ? ( y ? 4) 2 ? ? ? ? , B ? ?( x, y) ( x ? 4) 2 ? ( y ? 5) 2 ? ? ? ? 是 ?2? ? ?2? ? ? ? ? ? ? ? 两个点集,则 A ? B 中的整点(即横、纵坐标均为整数的点)的个数是 ;

? y ? 3x ? 1 ? 7. 直角坐标平面上,满足不等式组 ? y ? x 的整点的个数是 3 ? ? ? x ? y ? 100
2



8. 用 [ x ] 表示不大于实数 x 的最大整数,方程 lg x ? [lg x] ? 2 ? 0 的实根的个数是



?, A 是 M 的子集且满足条件:当 x ? A 时,15 x ? A ,则 A 中 1,2,3,?,1995 9. 设 M ? ?
元素的个数最多是 ; 10. 将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色,并使同一条棱的两端点异色,如果只有 5 种颜 色可供使用,那么不同的染色方法的总数是 ;



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