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《三维设计》2014届高考数学一轮复习教学案()命题及其关系、充分条件与必要条件(含解析)



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第二节

命题及其关系、充分条件与必要条件

[知识能否忆起] 一、命题的概念 在数学中用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题.其中判断为真 的语句叫做真命题,判断为假的语句叫做假命题. 二、四种命题及其关系 1.四种命题 命题 原命题 逆命题 否命题 逆否命题 表述形式

若 p,则 q 若 q,则 p 若綈 p,则綈 q 若綈 q,则綈 p

2.四种命题间的逆否关系

3.四种命题的真假关系 (1)两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性; (2)两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系. 三、充分条件与必要条件 1.如果 p?q,则 p 是 q 的充分条件,q 是 p 的必要条件. 2.如果 p?q,q?p,则 p 是 q 的充要条件. [小题能否全取] 1.(教材习题改编)下列命题是真命题的为( 1 1 A.若 = ,则 x=y x y )

B.若 x2=1,则 x=1

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C.若 x=y,则 x= y

D.若 x<y,则 x <y

2

2

1 1 解析:选 A 由 = 得 x=y,A 正确,易知 B、C、D 错误. x y π 2.(2012· 湖南高考)命题“若 α= ,则 tan α=1”的逆否命题是( 4 π A.若 α≠ ,则 tan α≠1 4 π C.若 tan α≠1,则 α≠ 4 π B.若 α= ,则 tan α≠1 4 π D.若 tan α≠1,则 α= 4 )

解析:选 C 以否定的结论作条件、否定的条件作结论得出的命题为逆否命题,即“若 π π α= ,则 tan α=1”的逆否命题是“若 tan α≠1,则 α≠ ”. 4 4 3.(2012· 温州适应性测试)设集合 A,B,则 A?B 是 A∩B=A 成立的( A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

解析:选 C 由 A?B,得 A∩B=A;反过来,由 A∩B=A,且(A∩B)?B,得 A?B. 因此,A?B 是 A∩B=A 成立的充要条件. 4 . “ 在 △ ABC 中 , 若 ∠ C = 90°, 则 ∠ A 、 ∠ B 都 是 锐 角 ” 的 否 命 题 为 : ____________________. 解析:原命题的条件:在△ABC 中,∠C=90° , 结论:∠A、∠B 都是锐角.否命题是否定条件和结论. 即“在△ABC 中,若∠C≠90° ,则∠A、∠B 不都是锐角”. 答案:“在△ABC 中,若∠C≠90° ,则∠A、∠B 不都是锐角” 5.下列命题中所有真命题的序号是________. ①“a>b”是“a2>b2”的充分条件; ②“|a|>|b|”是“a2>b2”的必要条件; ③“a>b”是“a+c>b+c”的充要条件. 解析:①由 2>-3?/ 22>(-3)2 知,该命题为假;②由 a2>b2?|a|2>|b|2?|a|>|b|知,该命 题为真;③a>b?a+c>b+c,又 a+c>b+c?a>b,∴“a>b”是“a+c>b+c”的充要条件为 真命题. 答案:②③

1.充分条件与必要条件的两个特征 (1)对称性:若 p 是 q 的充分条件,则 q 是 p 的必要条件,即“p?q”?“q?p”; (2)传递性:若 p 是 q 的充分(必要)条件,q 是 r 的充分(必要)条件,则 p 是 r 的充分

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(必要)条件. 注意区分“p 是 q 的充分不必要条件”与“p 的一个充分不必要条件是 q”两者的 不同,前者是“p?q”而后者是“q?p”. 2.从逆否命题,谈等价转换 由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性, 因而, 当判断原命题的真假比较 困难时,可转化为判断它的逆否命题的真假,这就是常说的“正难则反”.

四种命题的关系及真假判断

典题导入 [例 1] 下列命题中正确的是( )

①“若 x2+y2≠0,则 x,y 不全为零”的否命题; ②“正多边形都相似”的逆命题; ③“若 m>0,则 x2+x-m=0 有实根”的逆否命题; 1 ④“若 x-3 是有理数,则 x 是无理数”的逆否命题. 2 A.①②③④ C.②③④ B.①③④ D.①④

[自主解答] ①中否命题为“若 x2+y2=0,则 x=y=0”,正确;③中,Δ=1+4m,当 m>0 时,Δ>0,原命题正确,故其逆否命题正确;②中逆命题不正确;④中原命题正确故逆 否命题正确. [答案] B 由题悟法 在判断四个命题之间的关系时, 首先要分清命题的条件与结论, 再比较每个命题的条件 与结论之间的关系.要注意四种命题关系的相对性,一旦一个命题定为原命题,也就相应的 有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”; 判定命题为真命题时要进行推理, 判定命题 为假命题时只需举出反例即可.对涉及数学概念的命题的判定要从概念本身入手. 以题试法 1.以下关于命题的说法正确的有________(填写所有正确命题的序号). ①“若 log2a>0,则函数 f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定义域内是减函数”是真命题; ②命题“若 a=0,则 ab=0”的否命题是“若 a≠0,则 ab≠0”;

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③命题“若 x,y 都是偶数,则 x+y 也是偶数”的逆命题为真命题; ④命题“若 a∈M,则 b?M”与命题“若 b∈M,则 a?M”等价. 解析:对于①,若 log2a>0=log21,则 a>1,所以函数 f(x)=logax 在其定义域内是增函 数,故①不正确;对于②,依据一个命题的否命题的定义可知,该说法正确;对于③,原命 题的逆命题是“若 x+y 是偶数,则 x、y 都是偶数”,是假命题,如 1+3=4 是偶数,但 3 和 1 均为奇数,故③不正确;对于④,不难看出,命题“若 a∈M,则 b?M”与命题“若 b ∈M,则 a?M”是互为逆否命题,因此二者等价,所以④正确.综上可知正确的说法有②④. 答案:②④

充分必要条件的判定

典题导入 [例 2] (1)(2012· 福州质检)“x<2”是“x2-2x<0”的( A.充分而不必要条件 C.充要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ) )

(2)(2012· 北京高考)设 a,b∈R,“a=0”是“复数 a+bi 是纯虚数”的( A.充分而不必要条件 C.充分必要条件
2

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

[自主解答] (1)取 x=0,则 x -2x=0,故由 x<2 不能推出 x2-2x<0;由 x2-2x<0 得 0<x<2,故由 x2-2x<0 可以推出 x<2.所以“x<2”是“x2-2x<0”的必要而不充分条件. (2)当 a=0,且 b=0 时,a+bi 不是纯虚数;若 a+bi 是纯虚数,则 a=0.故“a=0”是 “复数 a+bi 是纯虚数”的必要而不充分条件. [答案] (1)B (2)B 由题悟法 充要条件的判断,重在“从定义出发”,利用命题“若 p,则 q”及其逆命题的真假进 行区分,在具体解题中,要注意分清“谁是条件”“谁是结论”,如“A 是 B 的什么条件” 中,A 是条件,B 是结论,而“A 的什么条件是 B”中,A 是结论,B 是条件.有时还可以 通过其逆否命题的真假加以区分. 以题试法 2.下列各题中,p 是 q 的什么条件? (1)在△ABC 中,p:A=B,q:sin A=sin B; (2)p:|x|=x,q:x2+x≥0. 解:(1)若 A=B,则 sin A=sin B,即 p?q.

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又若 sin A=sin B,则 2Rsin A=2Rsin B,即 a=b. 故 A=B,即 q?p. 所以 p 是 q 的充要条件. (2)p:{x||x|=x}={x|x≥0}=A, q:{x|x2+x≥0}={x|x≥0,或 x≤-1}=B, ∵A B, ∴p 是 q 的充分不必要条件.

充分必要条件的应用

典题导入 [例 3] 已知 p:-4<x-a<4,q:(x-2)(x-3)<0,且 q 是 p 的充分而不必要条件,则 a 的取值范围为________. [自主解答] 设 q,p 表示的范围为集合 A,B, 则 A=(2,3),B=(a-4,a+4). 由于 q 是 p 的充分而不必要条件,则有 A B,
?a-4≤2, ?a-4<2, ? ? 即? 或? 解得-1≤a≤6. ?a+4>3 ?a+4≥3, ? ?

[答案] [-1,6] 由题悟法 利用充分条件、必要条件可以求解参数的值或取值范围,其依据是充分、必要条件的定 义,其思维方式是: (1)若 p 是 q 的充分不必要条件,则 p?q 且 q?/ p; (2)若 p 是 q 的必要不充分条件,则 p?/ q,且 q?p; (3)若 p 是 q 的充要条件,则 p?q. 以题试法 3. (2013· 兰州调研)“x∈{3, a}”是不等式 2x2-5x-3≥0 成立的一个充分不必要条件, 则实数 a 的取值范围是( A.(3,+∞) 1? C.? ?-∞,-2? ) 1? B.? ?-∞,-2?∪[3,+∞) 1? D.? ?-∞,-2?∪(3,+∞)

1 解析:选 D 由 2x2-5x-3≥0 得 x≤- 或 x≥3. 2

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∵x∈{3,a}是不等式 2x -5x-3≥0 成立的一个充分不必要条件,又根据集合元素的 互异性 a≠3, 1 ∴a≤- 或 a>3. 2

2

1.(2012· 福建高考)已知向量 a=(x-1,2),b=(2,1),则 a⊥b 的充要条件是( 1 A.x=- 2 C.x=5 B.x=-1 D.x=0

)

解析:选 D a⊥b?2(x-1)+2=0,得 x=0. 2.命题“若一个数是负数,则它的平方是正数”的逆命题是( A.“若一个数是负数,则它的平方不是正数” B.“若一个数的平方是正数,则它是负数” C.“若一个数不是负数,则它的平方不是正数” D.“若一个数的平方不是正数,则它不是负数” 解析:选 B 原命题的逆命题是:若一个数的平方是正数,则它是负数. a+b 3.(2013· 武汉适应性训练)设 a,b∈R,则“a>0,b>0”是“ > ab”的( 2 A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ) )

a+b a+b a+b 解析: 选 D 由 a>0, b>0 不能得知 > ab, 如取 a=b=1 时, = ab; 由 > ab 2 2 2 a+b 不能得知 a>0,b>0,如取 a=4,b=0 时,满足 > ab,但 b=0.综上所述,“a>0,b>0” 2 a+b 是“ > ab”的既不充分也不必要条件. 2 4. 已知 p: “a= 2”, q: “直线 x+y=0 与圆 x2+(y-a)2=1 相切”, 则 p 是 q 的( A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

解析:选 A 由直线 x+y=0 与圆 x2+(y-a)2=1 相切得,圆心(0,a)到直线 x+y=0 的距离等于圆的半径,即有 |a| =1,a=± 2.因此,p 是 q 的充分不必要条件. 2 )

5.(2012· 广州模拟)命题:“若 x2<1,则-1<x<1”的逆否命题是(

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A.若 x ≥1,则 x≥1 或 x≤-1 B.若-1<x<1,则 x2<1 C.若 x>1 或 x<-1,则 x2>1 D.若 x≥1 或 x≤-1,则 x2≥1 解析:选 D x2<1 的否定为:x2≥1;-1<x<1 的否定为 x≥1 或 x≤-1,故原命题的逆 否命题为:若 x≥1 或 x≤-1,则 x2≥1. 6.(2011· 天津高考)设集合 A={x∈R|x-2>0},B={x∈R|x<0},C={x∈R|x(x-2)> 0},则“x∈A∪B”是“x∈C”的( A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 ) B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

2

解析:选 C A∪B={x∈R|x<0,或 x>2},C={x∈R|x<0,或 x>2}, ∵A∪B=C,∴x∈A∪B 是 x∈C 的充分必要条件. 7.下列命题中为真命题的是( )

A.命题“若 x>y,则 x>|y|”的逆命题 B.命题“x>1,则 x2>1”的否命题 C.命题“若 x=1,则 x2+x-2=0”的否命题 D.命题“若 x2>0,则 x>1”的逆否命题 解析:选 A 对于 A,其逆命题是:若 x>|y|,则 x>y,是真命题,这是因为 x>|y|≥y, 必有 x>y;对于 B,否命题是:若 x≤1,则 x2≤1,是假命题.如 x=-5,x2=25>1;对于 C,其否命题是:若 x≠1,则 x2+x-2≠0,由于 x=-2 时,x2+x-2=0,所以是假命题; 对于 D,若 x2>0,则 x>0 或 x<0,不一定有 x>1,因此原命题与它的逆否命题都是假命题. 8.对于函数 y=f(x),x∈R,“y=|f(x)|的图象关于 y 轴对称”是“y=f(x)是奇函数”的 ( ) A.充分而不必要条件 C.充要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

解析:选 B 若 y=f(x)是奇函数,则 f(-x)=-f(x), ∴|f(-x)|=|-f(x)|=|f(x)|, ∴y=|f(x)|的图象关于 y 轴对称,但若 y=|f(x)|的图象关于 y 轴对称,如 y=f(x)=x2,而 它不是奇函数. 9.命题“若 x>0,则 x2>0”的否命题是________命题.(填“真”或“假”) 解析:其否命题为“若 x≤0,则 x2≤0”,它是假命题. 答案:假 10.已知集合 A={x|y=lg(4-x)},集合 B={x|x<a},若 P:“x∈A”是 Q:“x∈B”

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的充分不必要条件,则实数 a 的取值范围是________. 解析:A={x|x<4},由题意得 A B 结合数轴易得 a>4. 答案:(4,+∞) x2 y2 11.(2013· 绍兴模拟)“-3<a<1”是“方程 + =1 表示椭圆”的____________ a+3 1-a 条件. a+3>0, ? ? 解析:方程表示椭圆时,应有?1-a>0, ? ?a+3≠1-a 解得-3<a<1 且 a≠-1, 故“-3<a<1”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件. 答案:必要不充分 12.若“x2>1”是“x<a”的必要不充分条件,则 a 的最大值为________. 解析:由 x2>1,得 x<-1 或 x>1,又“x2>1”是“x<a”的必要不充分条件,知由“x<a”可以 推出“x2>1”,反之不成立,所以 a≤-1,即 a 的最大值为-1. 答案:-1 13.下列命题: ①若 ac2>bc2,则 a>b; ②若 sin α=sin β,则 α=β; ③“实数 a=0”是“直线 x-2ay=1 和直线 2x-2ay=1 平行”的充要条件; ④若 f(x)=log2x,则 f(|x|)是偶函数. 其中正确命题的序号是________. 解析:对于①,ac2>bc2,c2>0,∴a>b 正确;对于②,sin 30° =sin 150° ?/ 30° =150° , 所以②错误;对于③,l1∥l2?A1B2=A2B1,即-2a=-4a?a=0 且 A1C2?/ A2C1,所以③正 确;④显然正确. 答案:①③④
? 1? 2 ? ? 14.已知集合 A=?x? ?2?x -x-6<1 ,B={x|log4(x+a)<1},若 x∈A 是 x∈B 的必要不充 ? ?

分条件,则实数 a 的取值范围是________. 1? 2 2 解析:由? ?2?x -x-6<1,即 x -x-6>0,解得 x<-2 或 x>3,故 A={x|x<-2,或 x>3}; 由 log4(x+a)<1, 即 0<x+a<4, 解得-a<x<4-a, 故 B={x|-a<x<4-a}, 由题意, 可知 B A, 所以 4-a≤-2 或-a≥3,解得 a≥6 或 a≤-3. 答案:(-∞,-3]∪[6,+∞)

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1. 在△ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 所对的边, 则“A<B”是“cos 2A>cos 2B”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

)

解析:选 C 由大边对大角可知,A<B?a<b. a b 由正弦定理可知 = ,故 a<b?sin A<sin B. sin A sin B 而 cos 2A=1-2sin2A,cos 2B=1-2sin2B, 又 sin A>0,sin B>0,所以 sin A<sin B?cos 2A>cos 2B. 所以 a<b?cos 2A>cos 2B,即“A<B”是“cos 2A>cos 2B”的充要条件. 2.设 x、y 是两个实数,命题“x、y 中至少有一个数大于 1”成立的充分不必要条件是 ( ) A.x+y=2 C.x2+y2>2 B.x+y>2 D.xy>1

解析:选 B 命题“x、y 中至少有一个数大于 1”等价于“x>1 或 y>1”. 若 x+y>2,必有 x>1 或 y>1,否则 x+y≤2; 而当 x=2,y=-1 时,2-1=1<2,所以 x>1 或 y>1 不能推出 x+y>2. 对于 x+y=2,当 x=1,且 y=1 时,满足 x+y=2,不能推出 x>1 或 y>1. 对于 x2+y2>2,当 x<-1,y<-1 时,满足 x2+y2>2,故不能推出 x>1 或 y>1. 对于 xy>1,当 x<-1,y<-1 时,满足 xy>1,不能推出 x>1 或 y>1,故选 B. 1 1 3.已知不等式|x-m|<1 成立的充分不必要条件是 <x< ,则 m 的取值范围是________. 3 2 1 1 解析:由题意知:“ <x< ”是“不等式|x-m|<1”成立的充分不必要条件. 3 2
? 1 1 ? ? 所以?x? ?3<x<2 是{x||x-m|<1}的真子集. ? ?

而{x||x-m|<1}={x|-1+m<x<1+m},

?-1+m≤3, 所以有? 1 ?1+m≥2,
1 4 解得- ≤m≤ . 2 3 1 4? 所以 m 的取值范围是? ?-2,3?.

1

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1 4? 答案:? ?-2,3? 4.在“a,b 是实数”的大前提之下,已知原命题是“若不等式 x2+ax+b≤0 的解集是 非空数集,则 a2-4b≥0”,给出下列命题: ①若 a2-4b≥0,则不等式 x2+ax+b≤0 的解集是非空数集; ②若 a2-4b<0,则不等式 x2+ax+b≤0 的解集是空集; ③若不等式 x2+ax+b≤0 的解集是空集,则 a2-4b<0; ④若不等式 x2+ax+b≤0 的解集是非空数集,则 a2-4b<0; ⑤若 a2-4b<0,则不等式 x2+ax+b≤0 的解集是非空数集; ⑥若不等式 x2+ax+b≤0 的解集是空集,则 a2-4b≥0. 其 中 是 原 命 题 的 逆 命 题、 否 命 题 、 逆 否 命 题 和命 题 的 否 定 的 命 题 的 序号 依 次 是 ________(按要求的顺序填写). 解析:“非空集”的否定是“空集”,“大于或等于”的否定是“小于”,根据命题的 构造规则,题目的答案是①③②④. 答案:①③②④ 5.设条件 p:2x2-3x+1≤0,条件 q:x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0,若綈 p 是綈 q 的必 要不充分条件,求实数 a 的取值范围. 1 解:条件 p 为: ≤x≤1,条件 q 为:a≤x≤a+1. 2 1? ? 綈 p 对应的集合 A=?xx>1,或x<2?,綈 q 对应的集合 B={x|x>a+1,或 x<a}.
? ?

∵綈 p 是綈 q 的必要不充分条件, 1 1 ∴B A,∴a+1>1 且 a≤ 或 a+1≥1 且 a< . 2 2 1 1 0, ?. ∴0≤a≤ .故 a 的取值范围是? ? 2? 2 6.已知集合 M={x|x<-3,或 x>5},P={x|(x-a)· (x-8)≤0}. (1)求 M∩P={x|5<x≤8}的充要条件; (2)求实数 a 的一个值,使它成为 M∩P={x|5<x≤8}的一个充分但不必要条件. 解:(1)由 M∩P={x|5<x≤8},得-3≤a≤5,因此 M∩P={x|5<x≤8}的充要条件是- 3≤a≤5; (2)求实数 a 的一个值,使它成为 M∩P={x|5<x≤8}的一个充分但不必要条件,就是在 集合{a|-3≤a≤5}中取一个值,如取 a=0,此时必有 M∩P={x|5<x≤8};反之,M∩P= {x|5<x≤8}未必有 a=0,故 a=0 是 M∩P={x|5<x≤8}的一个充分不必要条件.

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1.(2012· 济南模拟)在命题 p 的四种形式的命题(原命题、逆命题、否命题、逆否命题) 中,正确命题的个数记为 f(p),已知命题 p:“若两条直线 l1:a1x+b1y+c1=0,l2:a2x+b2y +c2=0 平行,则 a1b2-a2b1=0”.那么 f(p)=( A.1 C.3 B.2 D.4 )

解析:选 B 若两条直线 l1:a1x+b1y+c1=0 与 l2:a2x+b2y+c2=0 平行,则必有 a1b2 -a2b1=0,但当 a1b2-a2b1=0 时,直线 l1 与 l2 不一定平行,还有可能重合,因此命题 p 是 真命题,但其逆命题是假命题,从而其否命题为假命题,逆否命题为真命题,所以在命题 p 的四种形式的命题(原命题、逆命题、否命题、逆否命题)中,有 2 个正确命题,即 f(p)=2. π π 2.条件 p: <α< ,条件 q:f(x)=logtan αx 在(0,+∞)内是增函数,则 p 是 q 的( 4 2 A.充要条件 C.必要不充分条件 B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 )

解析:选 B ∵f(x)=logtan αx 在(0,+∞)内是增函数, π π ? ?π π? ∴tan α>1,得 α∈? ?4+kπ,2+kπ?,k∈Z,而?4,2? ∴p 是 q 的充分不必要条件. 3.判断命题“若 a≥0,则 x2+x-a=0 有实根”的逆否命题的真假. 解:法一:写出逆否命题进行判断. 原命题:若 a≥0,则 x2+x-a=0 有实根. 逆否命题:若 x2+x-a=0 无实根,则 a<0. 判断如下: ∵x2+x-a=0 无实根, 1 ∴Δ=1+4a<0,∴a<- <0, 4 ∴“若 x2+x-a=0 无实根,则 a<0”为真命题. 法二:利用原命题与逆否命题同真同假(即等价关系)判断. ∵a≥0,∴4a≥0,∴4a+1>0, ∴方程 x2+x-a=0 的判别式 Δ=4a+1>0, ∴方程 x2+x-a=0 有实根. 故原命题“若 a≥0,则 x2+x-a=0 有实根”为真. 又因原命题与其逆否命题等价, 所以“若 a≥0,则 x2+x-a=0 有实根”的逆否命题为真. 法三:利用充要条件与集合关系判断.

?π+kπ,π+kπ?(k∈Z). 2 ?4 ?

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令 A={a∈R|a≥0}, 1 B={a∈R|方程 x2+x-a=0 有实根}=a∈Ra≥- , 4 则 A B. ∴“若 a≥0,则 x2+x-a=0 有实根”为真,其逆否命题也为真.



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