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江西省临川区2016-2017学年高二数学下学期期末考试试题 理



临川一中2014—2015学年度下学期期末考试
高二理科数学试卷 卷面满分:150 分 考试时间: 120分钟

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1. i 为虚数单位,若 ( 3 ? i ) z ? 3 ? i ,则 | z |? ( A.1 B. 2 C. 3 ) D.2



2.已知全集 U ? R ,函数 f ( x) ? 2 x ? 5 x 的定义域为 M ,则 CU M ? ( A. (??,0] B. (0,??) ) C. (??,0) D. [0,??)

3.下列判断错误的是(

A. 若随机变量 ? 服从正态分布 N 1, ? 2 , P?? ? 4? ? 0.79, 则 P?? ? ?2 ? ? 0.21 B. 若 n 组数据 ?x1 , y1 ?? ? ? ?xn , yn ?的散点都在 y ? ?2 x ? 1 上,则相关系数 r ? ?1
1 C.若随机变量 ? 服从二项分布: ? ~ B(5, ) ,则 E? ? 1 5

?

?

D.“ am 2 ? bm 2 ”是“ a ? b ”的必要不充分条件 4. 一个几何体的三视图如图所示,已知这个几何体的体积为 10 3 ,则 h ? ( )

A.

3 2

B. 3

C. 3 3

D. 5 3

5.将甲,乙等5位同学分别保送到北京大学,清华大学,浙江大学等三所大学就 读,则每所大学至少保送一人的不同保送的方法数为( )种.

-1-

A.240 D.540

B. 180

C. 150

6. 已知等差数列满足 a6 ? a10 ? 20 ,则下列选项错误的是( A. S15 ? 150 B. a8 ? 10 C. a16 ? 20

)

D. a4 ? a12 ? 20 )

7.执行如图程序框图,如果输入的 N 的值是6,那么输出的 p 的值是( A.105 开始 B.115 C.120 D.720 否 输出 p

输入
N

k ? 1, p ? 1

p ? p?k

k ? N?

结束

是 k ?k ?2 ) D. a b ? b a ? a a

8. 设

1 1 b 1 a ?( ) ?( ) ? 1 ,那么 ( 2015 2015 2015

A. a a ? a b ? b a

B. a a ? b a ? a b

C. a b ? a a ? b a

9. 在 ?ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c ,若 c 2 ? (a ? b) 2 ? 6 ,
?ABC 的面积为
3 3 ,则 C ? ( 2

)

A.

?
3

B.

2? 3

? C. 6

5? D. 6

1 10.已知函数 f ( x) ? x 3 ? ax 2 ? b 2 x ? 1 ,若 a 是从1,2,3三个数中任取的一个数 3

, b 是从0,1,2三个数中任取的一个数,则该函数有两个极值点的概率为( ) A. 11. 抛物线 y 2 ? 2 x 的内接 ? ABC的三条边所在直线与抛物线 x 2 ? 2 y 均相切,设A ,B两点的纵坐标分别是 a, b ,则C点的纵坐标为( A. a ? b B. 2a ? 2b C. ? a ? b ) D. ?2a ? 2b
7 9

B.

1 3

C.

5 9

D.

2 3

-2-

1 e 为自然对数的底数)与 g ( x) ? 2 ln x 的图象 12.已知函数 f ( x) ? a ? x 2 , ( ? x ? e, e

上存在关于 x 轴对称的点,则实数 a 的取值范围是( A. [1,
1 ? 2] e2

) C. [1, e 2 ? 2] D.

B. [

1 ? 2, e 2 ? 2] 2 e

[e 2 ? 2, ??)
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.设 a ?

?

?

0

(sin x ? cos x)dx

,若 (1 ? ax) 8 ? a 0 ? a1 x ? a 2 x 2 ? ? ? ? ? a8 x 8 ,则 a 0 ? a1 ? a 2 ? ? ? ? ? a8 = .

14.

?x ? 1 ? 已知 a ? 0 ,实数 x, y 满足: ? x ? y ? 3 ,若 z ? 2 x ? y 的最小值为1,则 ? y ? a ( x ? 3) ?
.

a?

sin( x ? ) 3 , x ? [0, ? ] f ( x ) ? 15.函数 ? 4 的最大值为 sin( x ? ) 4

?

.

16. 若函数 f ( x) ? e x ? mx 2 定义域为 (0,??) ,值域为 [0,??) ,则 m 的值为 . 三、解答题:本大题共70分,其中(17)— (21)题为必考题,每题12分,(22)、(23)、(24)题为选考题,分值为10 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
2 17.已知正项数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,对任意 n ? N ? ,有 2Sn ? an ? an .

(1)求数列 {an } 的通项公式; (2)令 bn ? 18. “开门大吉”是某电视台推出的游戏节目.选手面对1~8号8扇大门,依次按响门 -3-

an an ?1

1 ,设 {bn } 的前 n 项和为 Tn ,求证: Tn ? 1. ? an ?1 an

上的门铃,门铃会播放一段音乐(将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎 ),选手需正确回答出这首歌的名字,方可获得该扇门对应的家庭梦想基金.在 一次场外调查中,发现参赛选手多数分为两个年龄段:20~30;30~40(单位: 岁),其猜对歌曲名称与否的人数如图所示. (1)写出2×2列联表;判断是否有90%的把握认为猜对歌曲名称与否和年龄有关 ;说明你的理由;(下面的临界值表供参考) (参考公式: K 2 ?
n(ad ? bc) 2 其中 n ? a ? b ? c ? d ) (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

P K 2 ? k0
k0

?

?

0.10 2.706

0.05 3.841

0.010 6.635

0.005 7.879

(2)现计划在这次场外调查中按年龄段选取6名选手,并抽取3名幸运选手,求3 名幸运选手中在20~30岁之间的人数的分布列和数学期望. D C A1
1

F D

B1

1

A

B

C E

19. 棱长为1的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E、F 分别为棱 BC、DD1 的中点. (1)若平面 AFB1 与平面 BCC1 B1 的交线为 l , l 与底面 AC 的交点为点 G ,试求
AG 的长;

(2)求二面角 A ? FB1 ? E 的余弦值. 20.在矩形中 ABCD 中, AB ? 4, BC ? 2 3 , M 为动点, DM、CM 的延长线与

AB (或其延长线)分别交于点 E、F ,若 AE? BF ? EF ? 0.
(1)若以线段 AB 所在的直线为 x 轴,线段 AB 的中垂线为 y 轴建立平面直角坐 标系,试求动点 M 的轨迹方程; (2)不过原点的直线 l 与(1)中轨迹交于 G、H 两点,若 GH 的中点 R 在抛物 线 y 2 ? 4 x 上,求直线 l 的斜率 k 的取值范围. y D -4A O F M B E x C

?

?

? 2

21. 已知函数 F ( x) ? e x ? 1 , G ( x) ? ax 2 ? bx ,其中 a, b ? R , e 是自然对数的底数. (1)当 a ? 0 时, y ? G ( x) 为曲线 y ? F ( x) 的切线,求 b 的值; (2)若 f ( x) ? F ( x) ? G ( x) , f (1) ? 0 ,且函数 f ( x) 在区间 (0,1) 内有零点,求实 数 a 的取值范围. 请考生在第22、23、24三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分 . 22.如图,圆周角 ?BAC 的平分线与圆交于点 D ,过点 D 的切线与弦 AC 的延长 线交于点 E , AD 交 BC 于点 F . (1)求证: BC // DE ; (2)若 D, E , C , F 四点共圆,且弧 AC 与弧 BC 相等,求 ?BAC . A 23.已知曲线 C : C D F B E

?x ? 2 ? t x2 y 2 (t为参数). ? ? 1 ,直线 l : ? 4 9 ? y ? 2 ? 2t

(1)写出曲线C的参数方程,直线 l 的普通方程; (2)过曲线C上任意一点P作与 l 夹角为30°的直线,交 l 于点A,求|PA|的最大值 与最小值. 24.已知函数 f ?x ? ? 9 ? 6 x ? x 2 ? x 2 ? 8 x ? 16 ⑴解不等式 f ?x ? ? f ?4 ? ; ⑵设函数 g ?x ? ? kx ? 3k , k ? R ,若不等式 f ( x) ? g ( x) 恒成立,求实数 k 的取值范 围.

-5-

临川一中2014—2015学年度下学期期末考试 高二理科数学参考答案 一、 二、 13. 1 三、 选择题A B D B C 填空题
1 14. 2

C A C A D

C C

15.

6 2

m?

16.

e2 4

解答题

17.(1) a n ? n, n ? N ? …………………….5分

bn ?
(2)

1 n n ? 1 ? (n ? 1) n

?

n n ? 1 ? (n ? 1) n [n n ? 1 ? (n ? 1) n ][n n ? 1 ? (n ? 1) n ]
….8分

n n ? 1 ? (n ? 1) n 1 1 ? ? ? n(n ? 1) n n ?1
1 2 )?( 1 2 ? 1 3 ) ? ??? ? ( 1 n ? 1 n ?1

? Tn ? b1 ? b2 ? b3 ? ? ? ? ? bn ? (1 ?

) ? 1?

1 n ?1

?1

…………….12分 18(1) 年龄/正 误
k?

正 确

错 误

合 计

20~30 40 120( 70 ? 10 ? 3010 ? 10) 2 30 ? 3 ? 2.706 20 ? 100 ? 40 ? 80 30~40 10 70 80 合计 20 100 120
90% 的把握认为猜对歌曲名称与否和年龄

有 有关

……………4分

(2)设3名选手中在20~30岁之间的人数为 ? ,可能取值为0,1,2,………5分 20~30岁之间的人数是2人……………6分

P (? ? 0) ?

3 2 1 1 2 C4 C4 C2 3 C4 C2 1 1 , , ? P ( ? ? 1 ) ? ? P ( ? ? 2 ) ? ? ………10分 3 3 3 5 5 C6 5 C6 C6

?
P

0

1

2

1 5

3 5

1 5
-6-

…………11分
E ?? ? ? 1

…………………………12分 D A1
1

19.(1)如图,可求得 BG ? 2 , AG 2 ? BG 2 ? AB 2 ? 5

? AG ? 5 …………5分
2 29 (2)建立空间直角坐标系易得 cos ? ? ……12分 29

C B1
1

F D

20.(1)设 M ( x, y ) ,由已知得 A(?2,0) , B (2,0) , C (2,2 A 3)

B G C M x

C E

D(?2,2 3 ) 由 D、E、M 及 C、F、M 三点共线得
xE ? 2 3x ? 2 y 2 3?y , xF ? 2 3x ? 2 y 2 3?y
y , D

A
? ?

O F
? ?

B

E
? 2

AE ? ( x E ? a,0), BF ? ( x F ? a,0), EF ? ( x E ? x F ) 2 , 代入 AE? BF ? EF ? 0. 得
x2 y2 ? ? 1 ………6分 4 3

? 2

(2)设直线 l : y ? kx ? m ?m ? 0 ?, A ?x1 , y1 ?, B ?x2 , y2 ? , M ?x0 , y0 ? .

? y ? kx ? m 由? 2 2 ?3 x ? 4 y ? 12
得 ?3 ? 4k 2 ?x 2 ? 8kmx ? 4m 2 ? 12 ? 0
? ? ?8km ? ? 4 ?3 ? 4k 2 ??4m 2 ? 12 ?﹥0即 4k 2 ? m 2 ? 3 ﹥0
2

又 x1 ? x2 ? ?

8km 3 ? 4k 2

3m ? 3m ? ? 4km ? 4km , , 故M ?? 将M ?? 代入 y 2 ? 4 x 得 2 2 ? 2 2 ? ? 3 ? 4k 3 ? 4k ? ? 3 ? 4k 3 ? 4k ?

16k (3 ? 4k 2 ) m?? , (k ? 0) .........10分 9

将(2)代入(1)得: 16k 2 (3 ? 4k 2 ) ? 81

-7-

解得 ?

? 6 6 6 ? ? 6? ?k? 且 k ? 0 .即 k ? ? ? , 0 ? 0, ? ? ? 8 ? ? 8 ? ? .--12分 8 8 ? ? ? ?

21.(1) b ? 1 …………4分 (2)由 f (1) ? 0 ? e ? a ? b ? 1 ? 0 ? b ? e ? a ? 1 ,又 f (0) ? 0 ,若函数 f ( x) 在区 间 (0,1) 内有零点,则函数 f ( x) 在区间 (0,1) 内至少有三个单调区间,因为

f ( x) ? e x ? ax 2 ? bx ? 1 所以 g ( x) ? f ?( x) ? e x ? 2ax ? b ,又 g ?( x) ? e x ? 2a ,因为
x ? [0,1] , 1 ? e x ? e

所以:

①若 a ?

1 ,则 2a ? 1 , g ?( x) ? e x ? 2a ? 0 , 2

所以函数 g ( x) 在区间 [0,1] 上单增, ②若 a ?
e ,则 2a ? e , g ?( x) ? e x ? 2a ? 0 所以函数 g ( x) 在区间 [0,1] 上单减 2 1 e 或 a ? 时,函数 g ( x) 即 f ?( x) 在区间 [0,1] 上单调,不可能满足 2 2

,于是,当 a ?

“函数 f ( x) 在区间 (0,1) 内至少有三个单调区间”这一要求。 ③若
1 e ? a ? ,则 1 ? 2a ? e ,于是当 0 ? x ? ln(2a ) 时 g ?( x) ? e x ? 2a ? 0 ,当 2 2

ln(2a ) ? x ? 1 时 g ?( x) ? e x ? 2a ? 0 ,所以函数 g ( x) 在区间 [0, ln(2a )) 上单调递减,

在区间 (ln(2a ),1] 上单调递增,则

g ( x) min ? 2a ? 2a ln(2a ) ? b ? 3a ? 2 aln(2 a) ? e? 1 ,令
h( x) ? 3 1 1 x ? x ln x ? e ? 1(1 ? x ? e) ,则 h ' ( x) ? ? ln x ,由 h ' ( x) ? ? ln x ? 0 可得: 2 2 2

x ? e ,所以 h( x) 在区间 (1, e ) 上单调递增,在区间 ( e , e) 上单调递减,所以
h( x) max ? h( e ) ? 3 e ? e ln e ? e ? 1 ? 0 ,即 g ( x) min ? 0 恒成立.于是,函数 2

-8-

? g (0) ? 2 ? e ? a ? 0 ?a ? e ? 2 f ( x) 在区间 (0,1) 内至少有三个单调区间等价于: ? 即? ? g (1) ? ? a ? 1 ? 0 ?a ? 1
,又因为
1 e ? a ? ,所以 e ? 2 ? a ? 1 . 2 2

综上所述,实数 a 的取值范围为 (e ? 2,1) .……12分

22. (1) DE 与圆相切, ?EDC ? ?EAD, ?DCB ? ?DAB , DA 平分 ?EAB ,

? ?EDC ? ?DCB, 所以 BC // DE
3 (2)设 ?CAB ? ?CBA ? ? , ?EDA ? ?EDC ? ?CDA ? ? , 2 3 7 2 ? ?ACB ? ? , ? ? ? , ?BAC ? ? 2 2 7

? x ? 2cos? , 23.(1)曲线C的参数方程为 ? (θ为参数).直线 l 的普通方程为 ? y ? 3sin?
2x ? y ? 6 ? 0 .

(2)曲线C上任意一点 P (2 cos? ,3 sin ? ) 到 l 的距离为 d ? , 则 PA ?

5 4 cos ? ? 3sin ? ? 6 5

d 2 5 4 ? | 5sin(? ? ? ) ? 6 | ,其中 ? 为锐角,且 tan? ? . sin30? 5 3 22 5 . 5

当 sin(? ? ? ) ? ?1 时,|PA|取得最大值,最大值为 当 sin(? ? ? ) ? 1 时,|PA|取得最小值,最小值为 24.(1) f ?x ? ? x ? 3 ? x ? 4 , f ?4 ? ? 9

2 5 . 5

? x ?3 ? x ? 4 ? 9
原不等式等价于

-9-

?? 4 ? x ? 3 ? x ? 3 ? x ? ?4 或? 或? ? ??2 x ? 1 ? 9 ?7 ? 9 ?2 x ? 1 ? 9
解得 x ? ?5 或 x ? 4 即不等式的解集为 ???, ?5?? ?4, ?? ? .

?? 2 x ? 1, x ? ?4 ? (2) f ( x) ? ?7,?4 ? x ? 3 , g ?x ? ? k ?x ? 3? ?2 x ? 1, x ? 3 ?
由其函数图像知: k ? ??1, 2?.

- 10 -



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