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二次函数



高考调研

新课标版 ·高三数学(理)

第 5 课时

二 次 函 数

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2014?考纲

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1.理解并掌握二次函数的定义、图像及性质. 2.会求二次函数在闭区间上的最值. 3.能用二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的 联系去解决有关问题.

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请注意!

从近两年的新课标高考试题来看, 二次函数图像的应用与其 最值问题是高考的热点, 题型多以小题或大题中关键的一步的形 式 出 现 , 主 要 考 查 二 次 函 数 与 一 元 二 次 方 程 及 一 元 二 次 不 等 式 三 者的综合应用.

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1.二 次 函 数 的 解 析 式 的 三 种 形 式 1 () 一 般 式 : y=a x 2 +b x +c(a≠0 ); 对 称 轴 方 程 是
2 b 4ac-b (-2a, 4a )

b x=-2a



顶 点 为



2 () 两 根 式 : y=a(x-x1)(x-x2); 对 称 轴 方 程 是 x轴 的 交 点 为

x1+x2 x= 2 ;与

(x1,0),(x2,0) .
x=k ; 顶 点 为

3 () 顶 点 式 : y=a(x-k)2+h; 对 称 轴 方 程 是

(k,h) .

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2.二次函数的单调性 b (-2a,+∞) 当 a>0 时, 上 为 增 函 数 ; 在 减函数;当 a<0 时,与之相反.

b (-∞,-2a) 上为

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3.二 次 函 数 与 一 元 二 次 方 程 、 一 元 二 次 不 等 式 之 间 的 内 在 联 系 1 () f(x)=a x 2+b x +c(a≠0 )的 图 像 与 x轴 交 点 的 横 坐 标 是 方 程

ax2+bx+c=0 的 实 根 .
2 () 若 x1,x2 为 f(x)=0 的 实 根 , 则 f ( x) 在 x 轴 上 截 得 的 线 段 长

应 为 |x1-x2|=

b2-4ac |a| .
? ?a<0, ? ? , 恒 有 ?Δ<0 时

3 () 当

? ?a>0, ? ? ?Δ<0

时 , 恒 有

f(x> )0 ;当

f(x< )0 .

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4 . 设 f ( x) = a x 2+b x +c(a> 0 ) , 则 二 次 函 数 在 闭 区 间 上 的 最 大 、 最 小 值 的 分 布 情 况

[m , n ]

b 1 () 若 - 2a∈[m,n],则 f(x)m a x f?m?,f?n? ,f(x)n x a =m m i =f(-
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

b 2a). b 2 () 若- 2a ? [m , n] ,则 f(x)m a x { x a =m m n i{ f(m),f(n)}. f(m) , f(n)} , f(x)n m i =

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另 外 , 当 二 次 函 数 开 口 向 上 时 , 自 变 量 的 取 值 离 开 对 称 轴 越 远 , 则 对 应 的 函 数 值 越 大 ; 反 过 来 , 当 二 次 函 数 开 口 向 下 时 , 自 变量的取值离开对称轴越远,则对应的函数值越小.

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5.二 次 方 程

a x 2 +b x +c=0 ( a> 0 ) 实 根 的 分 布 k的 不 等 实 根 的 充 要 条 件 是

1 ( ) 方 程 有 两 个 均 小 于 常 数

?Δ>0, ? ?a>0, ? b ?-2a<k, ? ?f?k?>0 .

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2 () 方 程 有 两 个 均 大 于 常 数

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k的 不 等 实 根 的 充 要 条 件 是

?Δ>0, ? ?a>0, ? b ?-2a>k, ? ?f?k?>0

. k和 一 个 大 于 常 数 k的 不 等 实 根 的 充

3 () 方 程 有 一 个 小 于 常 数
? ?a>0, ? ? ?f?k?<0 .

要 条 件 是

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4 () 方 程 有 位 于 区 间 ?a>0, ? ?Δ>0, ? b ? k 1 < - <k 2 , 2a ? ?f?k2?>0, ? ?f?k1?>0 .

(k1,k2)内 的 两 个 不 等 实 根 的 充 要 条 件 是

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5 () 方 程 有 两 个 不 等 实 根

x1<x2 且 k1<x1<k2<x2<k3 的 充 要 条 件



? ?a>0, ?f?k1?>0, ? ?f?k2?<0, ? ?f?k3?>0 .
6 () 在(k1,k2)内 有 且 仅 有 一 个 实 根 的 一 个 充 分 条 件 是

f(k1)f(k2)<0 .

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1. 若 函 数 A.f2 ( > ) B.f3 ( > ) f3 () f2 ()

f(x)=a x 2+bx+c 满 足 f4 () =f1 () ,则(

)

C.f3 () =f2 () D.f3 () 与 f2 () 的 大 小 关 系 不 确 定
答案 C

5 解析 ∵f4 () =f1 () ,∴对称轴为2,∴f2 () =f3 () .
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2 .如 图 所 示 , 是 二 次 函 数 等 于( c A.a c C.± a
答案 B

y=a x 2+b x +c 的 图 像 , 则

|OA |· | OB|

) c B.-a D.无 法 确 定

c c 解析 ∵|OA |· | OB|=|OA· OB|=|x1x2|=|a|=-a(∵a<0,c> 0 ) .

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3.设函数 f(x)=mx2-mx-1,若 f(x< )0 数 m 的取值范围是________.
答案 (-4 0 ,]

的解集为 R, 则 实

4.已知 y=c ( o s

x-a)2-1,当 c o s x=-1 时,y 取最大值,

当c o s x=a 时,y 取最小值,则 a 的范围是________.
答案 0≤a≤1
? ?-a≤0, 由题意知? ? ?-1≤a≤1,

解析

∴0≤a≤1.

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5.若方程 x2-2mx+4=0 的 两 根 满 足 一 根 大 于 于 1,则 m 的取值范围是________.

1,一根小

5 答案 (2,+∞)

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例 1 已知二次函数 f(x)满足 f(1+x)=f(1-x),且 f0 () =0, f1 () =1,求 f(x)的 解 析 式 .

【解析】 方法一:(一般式)设 f(x)=ax2+bx+c(a≠0), ? ?c=0, ?a+b+c=1, 则? ? b - =1 ? ? 2a ∴f(x)=-x2+2x.
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?a=-1, ? ??b=2, ?c=0, ?

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方 法 二 : (双 根 式 )∵对 称 轴 方 程 为

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x=1, 0 2 ,.

∴f2 () =f0 () =0,f(x)=0 的 两 根 分 别 为 ∴可 设 其 解 析 式 为 f(x)=a x (x-2 ).

又∵f1 () =1, 可 得 a= - 1,∴f(x)= - x(x-2 )= - x2+2x. 方 法 三 : (顶 点 式 )由 已 知 , 可 得 顶 点 为 f(x)=a(x-1 ) 2+1 . 1 (,) ,

∴可 设 其 解 析 式 为

又 由 f0 () =0, 可 得 a= - 1,∴f(x)= - (x-1)2+1 .
【答案】 f(x)=-x2+2x

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探 究 1 根 据 已 知 条 件 确 定 二 次 函 数 解 析 式 , 一 般 用 待 定 系 数 法 , 选 择 规 律 如 下 :

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思考题 1

3 已知二次函数图像的顶点是(-2, 2)与 x 轴的两

个交点之间的距离为 6,则这个二次函数的解析式为________.

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【 解 析 】
2

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方 法 一 : 设 二 次 函 数 为

3 y=a(x+2 ) +2,
2

3 即 y=a x +4a x +4a+2. 由|x1-x2|= ?x1+x2?2-4x1x2 = 3 4 -4?4+2a?=
2

6 -a=6,

1 得 a= - 6. ∴二 次 函 数 的 解 析 式 为 1 2 2 5 y= - 6x -3x+6.

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方 法 二 : 设 图 像 与 由 题 意 得 x轴 的 两 交 点 为

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A(x1,0 ) ,B(x2,0 ) ,(x1<x2),

x1= - 2-3= - 5,x2=-2+3=1, y=a(x+5 ( ) x-1 ). 1 a= - 6.

∴设 二 次 函 数 解 析 式 为

- 2, ? ?x= 将? 3 代 入 上 式 解 得 y= ? ? 2

1 1 2 2 5 ∴y= - 6(x+5 ( ) x-1 )= - 6x -3x+6.

1 2 2 5 【答案】 y=-6x -3x+6
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例2

求 下 列 函 数 的 值 域 :

1 () y=x2+4x-2,x∈R; 2 () y=x2+4x-2,x∈[-5 0 ,] ;

3 () y=x2+4x-2,x∈[-6, -3 ]; 4 () y=x2+4x-2,x∈0 [ 2 ,] .

【思路】 这些函数都是二次函数且解析式都相同,但是各 自函数的定义域都是不同的, 应该通过“配方”借助于函数的图 像而求其值域.
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【解析】 1 () 配 方 , 得

y=(x+2)2-6, 由 于 x∈R,

故当 x=-2 时,yn m i =-6,无最大值. 所以值域是[-6,+∞).(图①)

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2 () 配 方 , 得

y=(x+2)2-6. x=-2 时,yn m i =-6. .(图②)

因为 x∈[-5,0], 所 以 当

当 x=-5 时,ym 3 ,] x a =3.故函数的值域是[-6 3 () 配 方 , 得 y=(x+2)2-6.

因为 x∈[-6,-3], 所 以 当

x=-3 时,yn m i =-5. .(图③)

当 x=-6 时,ym 1 ,0 ] x a =10.故函数的值域是[-5

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4 () 配 方 , 得 因为 x∈0 [ 2 ,]

y=(x+2)2-6. ,所以当 x=0 时,yn m i =-2. .(图④)
-5,10] 4 ([ ) -

当 x=2 时,ym 1 ,0 ] x a =10.故函数的值域是[-2
【 答 案 】 2,10] 1 ( [ ) -6,+∞) 2 ( [ ) -6,3] 3 ([ )

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【讲评】 上述四个题目相同但所给的区间不同,最后得到 的 值 域 也 不 同 , 主 要 是 由 于 二 次 函 数 在 不 同 区 间 上 的 单 调 性 不 同 而 产 生 的 , 因 此 在 求 二 次 函 数 值 域 时 一 定 要 考 虑 函 数 是 针 对 哪 一 个区间上的值域和此时图像是什么样子.

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探究 2 配 方 法 : 配 方 法 是 求 法 , 形 如 方法.

“二次函数类”值域的基本方

F(x)=af2(x)+bf(x)+c 的函数的值域问题,均可使用配

思考题 2 求下列函数的值域: 1 () y= -x2+4x-1; 2 () y=2- 4x-x2(0≤x≤4).
【答案】 1 ( 0 [ ) , 3] 2 ( 0 [ ) 2 ,]

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例 3 已知 f(x)=x2+ax+3-a,若 x∈[-2,2]时,f(x)≥0 恒 成立,求 a 的取值范围. 【思路】 f(x)≥0 恒 成 立 , 等 价 于 f ( x) 的 最 小 值 ≥0,即转

化为求 f(x)在[-2,2]上 的 最 小 值 .

【 解 析 】

f ( x) 的 最 小 值 为

g(a),则

a 1 () 当 - 2<-2, 即 a>4 时 , g(a)=f(-2 ) =7-3a≥0, 得 7 a≤3, 又 a>4, 故 此 时 a不 存 在 .
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a 2 () 当 - 2∈[-2 ,]

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, 即 - 4≤a≤4 时 ,

a2 a g(a)=f(-2)=3-a- 4 ≥0, 得 -6≤a≤2 . 又 - 4≤a≤4, 故 - 4≤a≤2 . a 3 () 当 - 2>2, 即 a<-4 时 , g(a)=f2 () =7+a≥0, 得 a≥-7 . 又 a<-4, 故 - 7≤a<-4 . 综 上 , 得 -
【答案】

7≤a≤2 .
-7≤a≤2
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探 究 3 1 () 求 二 次 函 数 是 判 断 抛 物 线 对 称 轴 与 区 间 该 区 间 的 单 调 性 . 本 题 中 的 对 称 轴 为 置 关 系 不 确 定 , 是 造 成 分 类 讨 论 的 原 因 . 2 () 二 次 函 数 在 区 间 上 的 最 值 问 题 固 定 , 区 间 固 定 ; ②对 称 轴 变 动 , 区 间 固 定 ; f(x)在 某 区 间

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[m,n]上 的 最 值 的 关 键

[m,n]的 位 置 关 系 , 以 便 确 定 函 数 在 a x= - 2, 与 区 间 [-2 ,] 的 位

,可分成三类:①对称轴 ③对 称 轴 固 定 , 区

间 变 动 . 此 类 问 题 一 般 利 用 二 次 函 数 的 图 像 及 其 单 调 性 来 考 虑 , 对 于 后 面 两 类 问 题 , 通 常 应 分 对 称 轴 在 区 间 内 、 左 、 右 三 种 情 况 讨 论 .
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思考题 3

已知函数 f(x)=-x2+2ax+1-a 在 0≤x≤1 时

有最大值 2,求 a 的值.

【思路】 因为 x 有 限 制 条 件 , 要 求 函 数 最 值 , 需 作 出 函 数 图 像 , 作 图 像 先 看 开 口 方 向 , 再 看 对 称 轴 位 置 , 因 为 此 函 数 的 对 称轴是 x=a 位置不定,并且在不同位置产生的结果也不相同, 所以要对对称轴的位置进行分类讨论.

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高考调研 【 解 析 】
y有 最 大 值

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当 对 称 轴

x=a<0 时 , 如 图

1所 示 , 当

x=0 时 ,

ym () =1-a, 所 以 1-a=2,即 a= - 1, 且 满 足 x a =f0

a<0,∴a= -1 . 当 对 称 轴 0≤a≤1 时 , 如 图 2所 示 , 当 x=a 时 ,y 有 最 大 值

2 2 2 ym . x a =f(a)=-a +2a +1-a=a -a+1

1 ± 5 ∴a -a+1=2, 解 得 a= 2 .
2
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1 ± 5 ∵0≤a≤1,∴a= 2 (舍 去 ). 当 对 称 轴 a>1 时 , 如 图 3所 示 .

当 x=1 时 , y有 最 大 值 . ym () =2a-a=2 . x a =f1 ∴a=2, 且 满 足 综 上 可 知 :
【答案】

a>1,∴a=2 . 1或2 .

图3

a的 值 为 -
-1 或 2

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【 讲 评 】

本 题 是 开 口 方 向 向 下 , 只 求 得 最 大 值 , 所 以 分 2种 情 况 讨 x有 限 制 条 件 , 最

3

种 情 况 讨 论 . 当 开 口 方 向 向 上 , 求 最 大 值 时 , 只 需 分 论 ; 求 最 小 值 时 , 也 得 分 大 值 和 最 小 值 都 要 求 时 , 需 分 3种 情 况 , 尤 其 是 当

4种 情 况 讨 论 . 另 外 本 题 属 于 二 次

函 数 “轴 变 区 间 定

”的 问 题 , 应 对 对 称 轴 进 行 讨 论 .

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例4 1 () 已知二次方程(2m+1)x2-2mx+(m-1)=0 有一正 根和一负根,求实数 m 的 取 值 范 围 . 2 () 已 知 方 程 2x2-(m+1)x+m=0 有两个不等正实根,求实

数 m 的取值范围. 3 () 已 知 二 次 方 程 mx2+(2m-3)x+4=0 只 有 一 个 正 根 且 这

个根小于 1,求实数 m 的 取 值 范 围 .

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【 解 析 】 ∵二 次 方 程 根 , ∴二 次 函 数 1 () 方 法 一 : 数 形 结 合 法

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(2m + 1 ) x2 - 2mx + (m - 1 ) =0 有 一 正 根 和 一 负

f(x)=(2m+1 ) x2-2mx+(m-1 )的 图 像 与

x轴 有

两 个 交 点 , 一 个 在 原 点 左 侧 , 一 个 在 原 点 右 侧 . ∴若 二 次 函 数 开 口 向 上 , 则 ∴(2m+1 · ) f0 ( < )0 1 ∴-2<m< 1 .
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f0 ( < )0

, 若 开 口 向 下 , 则

f0 ( > )0 .

, 即 (2m+1 ( ) m-1 < )0 .

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方 法 二 : 韦 达 定 理 法 ?Δ=?2m?2-4?2m+1??m-1?>0, ? m-1 由? x1· x2 = <0, ? 2 m + 1 ? 1 可 得 - 2<m< 1 .

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2 () ∵方 程 2x2-(m+1 ) x+m=0 有 两 个 不 等 正 实 根 , ∴函 数 f(x)=2x2-(m+1 ) x +m 的 图 像 与 且 这 两 个 交 点 都 在 y轴 右 侧 . x轴 有 两 个 交 点 ,

? ?f?0?>0, ?Δ=?m+1?2-8m>0, ∴? ?m+1 > 0 . ? ? 4 解 得 0 < m<3-2 2或 m>3+2 2. 注 : 本 小 题 也 可 用 韦 达 定 理 法 求 解 .

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3 () 设 f(x)=mx2+(2m-3 ) x+4, ∵f0 () =4, ∴若 开 口 向 上 即 m>0, 则

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6 m=0, ?Δ=?2m-3?2-1 ? ? 2m-3 0 < - 2m < 1 . ? ? 7 ± 2 1 0 ? ?m= 2 , 即? ?3<m<3 2 ?4 故 二 次 函 数 开 口 向 下 ,

无 解 .

m< 0 .
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? ?m<0, 则? ? ?f?1?<0,

? ?m<0, ∴? ? < 0 . ?3m+1

1 ∴m<-3.

【答案】 1 3 () m<-3

1 1 () - 2 <m<1

2 ( 0 )<

m<3 - 2 2 或 m>3 + 2 2

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探 究 4

一 元 二 次 方 程 根 的 分 布 的 求 法 :

1 () 数 形 结 合 法 . 2 () 韦 达 定 理 法 . 3 () 求 根 公 式 法 . 具 体 问 题 中 用 哪 种 方 法 要 视 其 过 程 是 否 复 杂 而 定 .

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思考题 4 1 () 已 知 二 次 函 数 +3)与 x 轴 有 两 个 交 点 , 一 个 大 于 取值范围.
【 解 析 】 意 有 (m+2 · ) f1 ( < )0

y=(m+2)x2-(2m+4)x+(3m 1,一个小于 1,求实数 m 的

设 f(x)=(m+2 ) x2-(2m+4 ) x+(3m+3 ), 则 据 题 , 即 (m+2 2 ( ) m+1 < )0 .

1 ∴-2 < m<-2.

1 【答案】 -2<m<-2
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2 () 关于 x 的 方 程 (1-m2)x2+2mx-1=0 有 两 个 根 , 一 个 小 于 0,一个大于 1,求 m 的范围.

【解析】 设 f(x)=(1-m2)x2+2mx-1, 则 f0 () =-1 < 0 .
2 ? ?1-m >0, ∴? 2 ? < 0 . ?f?1?=1-m +2m-1

解得-1<m< 0 .

【答案】

-1<m<0

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1.求 二 次 函 数 的 解 析 式 常 用 待 定 系 数 法 2. 二 次 函 数 求 最 值 问 题 : 首 先 要 采 用 配 方 法 , 化 为 +m)2+n 的 形 式 , 得 顶 点 成 三 个 类 型 . 1 () 顶 点 固 定 , 区 间 也 固 定 . 2 () 顶 点 含 参 数 (即 顶 点 变 动 (-m,n)和 对 称 轴 方 程

(如 例 1 ). y=a(x x= - m, 可 分

), 区 间 固 定 , 这 时 要 讨 论 顶 点 横

坐 标 何 时 在 区 间 之 内 , 何 时 在 区 间 之 外 . 3 () 顶 点 固 定 , 区 间 变 动 , 这 时 要 讨 论 区 间 中 的 参 数 .
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3. 二 次 函 数 在 闭 区 间 上 必 定 有 最 大 值 和 最 小 值 , 它 只 能 在 区 间 的 端 点 或 二 次 函 数 的 图 像 的 顶 点 处 取 得 . 4. 用 数 形 结 合 法 求 根 的 分 布 问 题 一 般 需 从 三 个 方 面 考 虑 : ①判 别 式 ; 端 点 的 关 系 . ②区 间 端 点 函 数 值 的 正 负 ; b ③对 称 轴 x= - 2a与 区 间

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1. 已 知 某 二 次 函 数 的 图 像 与 函 数

y=2x2 的图像的形状一样, )

开口方向相反,且其顶点为(-1,3),则此函数的解析式为( A.y=2(x-1)2+3 C.y=-2(x-1)2+3
答案 D

B.y=2(x+1)2+3 D.y=-2(x+1)2+3

解析

设 所 求 函 数 的 解 析 式 为

y=a(x+h)2+k(a≠0),由题

意可知 a=-2,h=1,k=3,故 y=-2(x+1)2+3.

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2.2 (0 1 3 · f0 () =f4 ( > )

浙江)已知 a,b,c∈R,函数 f(x)=ax2+bx+c.若 ) B.a< 0 4 , D.a< 0 2 , a+b=0 a+b=0

f1 () ,则( a+b=0 a+b=0
A

A.a> 0 4 , C.a> 0 2 ,
答案

b 解析 由 f0 () =f4 () , 得 f(x)=ax +bx+c 的对称轴为 x=-2a
2

=2,∴4a+b=0,又 f0 ( > )

f1 () ,∴f(x)先 减 后 增 ,

∴a>0,选 A.

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3.二次函数 y=x2-2(a+b)x+c2+2ab 的 图 像 的 顶 点 在 轴上,且 a,b,c 为△ABC 的 三 边 长 , 则
答案 直角三角形

x .

△ABC 为_ _ _ _ _ _ _ _

解析 c2-a2-b2.

y =[x -(a+b)]2 +c2 +2ab- (a+b)2 =[x -(a+ b)]2 +

∴顶点为(a+b,c2-a2-b2). 由题意知 c2-a2-b2=0.∴△ABC 为直角三角形.

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4. 设a b c >0, 二 次 函 数

f(x)=a x 2+bx+c 的 图 像 可 能 是

(

)

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答案

D

b 解析 若 a>0,b<0,c<0,则对称轴 x=-2a>0,函数 f ( x) 的 图 像 与 y 轴的交点(c,0)在 x 轴下方.故选 D.

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5.已知二次函数 f(x)图像的对称轴是 x=x0,它在区间[a, b]上 的 值 域 为 [f(b),f(a)],则( ) B.x0≤a D.x0?(a,b)

A.x0≥b C.x0∈(a,b)
答案 解析 D

若 x0∈(a,b),f(x0)一 定 为 最 大 值 或 最 小 值 .

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6. 对 一 切 实 数 a 的取值范围是( A.a≥-1 C.a≤3
答案 A

x, 若 不 等 式 )

x4+(a-1)x2+1≥0 恒 成 立 , 则

B.a≥0 D.a≤1

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解 析 令 t=x2≥0, 则 原 不 等 式 转 化 为

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t2+(a-1 ) t+1≥0,

当 t≥0 时 恒 成 立 . 令 f(t)=t2+(a-1 ) t+1, 则 f0 () =1 > 0 . a-1 1 () 当- 2 ≤0 即 a≥1 时 , 恒 成 立 . a-1 2 () 当 - 2 >0 即 a<1 时 , 由 Δ=(a-1 ) 2-4≤0, 得 - 1≤a≤3 . ∴-1≤a<1, 综 上 : a≥-1 .

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