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【山东省新人教B版数学(理科)2012届高三单元测试10:必修4第二章《平面向量》



山东省新人教 B 版 2012 届高三单元测试 10 必修 4 第二章《平面向量》
(本卷共 150 分,考试时间 120 分钟) 一、选择题( 12 小题,每小题 5 分) 1.a 与 b 是非零向量,下列结论正确的是 A.|a|+|b|=|a+b| B.|a|-|b|=|a-b| C.|a|+|b|>|a+b| D.|a|+|b|≥|a+b| 解析:在三角形中,两边

之和大于第三边,当 a 与 b 同向时,取“=”号. 答案:D 2.在四边形 ABCD 中, AB ? DC ,且| AB |=| BC |,那么四边形 ABCD 为 A.平行四边形 C.长方形 B.菱形 D.正方形

解析:由 AB = DC 可得四边形 ABCD 是平行四边形,由| AB |=| BC |得四边形 ABCD 的一组邻边相等,一组邻边相等的平行四边形是菱形. 答案:B 3.已知 ABCD 的三个顶点 A、B、C 的坐标分别为(-2,1) 、 (3,4) 、 (-1,3) ,则第 四个顶点 D 的坐标为 A. (2,2) B. (-6,0) C. (4,6) D. (-4,2) 解析:设 D(x,y) ,则 AB =(5,3) , DC =(-1-x,3-y) , , BC =(-4,-1). AD =(x+2,y-1) 又∵ AB ∥ DC , AD ∥ BC , ∴5(3-y)+3(1+x)=0,-(x+2)+4(y-1)=0, 解得 x=-6,y=0. 答案:B 4.有下列命题:① AB ? BC ? AC =0;②(a+b) ?c=a?c+b?c;③若 a=(m,4) , 则|a|= 23 的充要条件是 m= 7 ; ④若 AB 的起点为 A (2, 1) , 终点为 B (-2, 4) , 则 BA 与 x 轴正向所夹角的余弦值是 A.①②

4 .其中正确命题的序号是 5
C.②④ D.③④

B.②③

解析:∵ AB ? BC ? AC ? 2 AC ,∴①错. ②是数量积的分配律,正确. 当 m=- 7 时,|a|也等于 23 ,∴③错.

在④中, BA =(4,-3)与 x 轴正向夹角的余弦值是

4 ,故④正确. 5

答案:C 5.已知 a=(-2,5) ,|b|=2|a|,若 b 与 a 反向,则 b 等于 A. (-1,

5 ) 2

B. (1,-

5 ) 2

C. (-4,10) D. (4,-10) 解析:b=-2a=(4,-10) ,选 D. 答案:D 6.已知|a|=8,e 是单位向量,当它们之间的夹角为 A.4 3 B.4 C .4 2

? 时,a 在 e 方向上的投影为 3
D.8+2 3

解析:由两个向量数量积的几何意义可知:a 在 e 方向上的投影即: a?e=|a||e|cos

1 ? =8?1? =4. 2 3

答案:B 7.若|a|=|b|=1,a⊥b 且 2a+3b 与 ka-4b 也互相垂直,则 k 的值为 A.-6 B.6 C .3 D.-3 解析:∵a⊥b ∴a?b=0 又∵(2a+3b)⊥(ka-4 b) ∴(2a+3b) ? (ka-4 b)=0 2 2 得 2ka -12b =0 又 a2=|a|2=1,b2=|b|2=1 解得 k=6. 答案:B 8.已知 a=(3,4) ,b⊥a,且 b 的起点为(1,2) ,终点为(x,3x) ,则 b 等于

11 1 , ) 15 5 4 1 C. (- , ) 15 5
A. (- 解析:b=(x-1,3x-2) ∵a⊥b,∴a?b=0 即 3(x-1)+4(3x-2)=0, 解得 x= 答案:C

1 11 ) 5 15 4 1 D. ( , ) 15 5
B. (- ,

11 . 15

9.等边△ABC 的边长为 1, AB =a, BC =b, CA =c,那么 a?b+b?c+c?a 等于 A.0 B.1 C.-

1 2

D.-

3 2

解析:由已知|a|=|b|=|c|=1, ∴a?b+b?c+c?a

=cos120°+cos120°+cos120°=- 答案:D

3 . 2

2x ? 1 的图象按 a=(-1,2)平移到 F′,则 F′的函数解析式为 3 2x ? 7 2x ? 5 A.y= B.y= 3 3 2x ? 9 2x ? 3 C.y= D. y= 3 3 2x ? 1 解析:把函数 y= 的图象按 a=(-1,2)平移到 F′,则 F′的函数解析式为 A, 3
10.把函数 y= 即按图象向左平移 1 个单位,用(x+1)换掉 x,再把图象向上平移 2 个单位,用(y-2)换 掉 y,可得 y-2=

2( x ? 1) ? 1 . 3 2x ? 7 整理得 y= 3
答案:A 11.已知向量 e1、e2 不共线,a=ke1+e2,b=e1+ke2,若 a 与 b 共线,则 k 等于( A.±1 B.1 C.-1 D.0 解析:∵a 与 b 共线 ∴a=λ b(λ ∈R) , 即 ke1+e2=λ (e1+ke2) , ∴(k-λ )e1+(1-λ k)e2=0 ∵e1、e2 不共线. ∴? )

?k ? ? ? 0 ?1 ? ?k ? 0

解得 k=±1,故选 A. 答案:A 12.已知 a、b 均为非零向量,则|a+b|=|a-b|是 a⊥b 的 A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.非充分非必要条件 2 解析:|a+b|=| a-b| ? (a+b) =(a-b)2 ? a?b=0 ? a⊥b. 答案:C 二、填空题( 4 小题,每小题 4 分) 13.如图, M、 N 是△ABC 的一边 BC 上的两个三等分点,AB =a,AC =b, 则 MN = .

解析: BC ? AC ? AB =b-a,

∴ MN = 答案:

1 1 BC ? (b-a). 3 3

1 (b-a) 3
.

14.a、b、a-b 的数值分别为 2,3, 7 ,则 a 与 b 的夹角为 解析:∵(a-b)2=7 ∴a2-2a?b+b 2=7 ∴a?b=3 ∴cosθ =

a ?b 1 ? | a || b | 2

? . 3 ? 答案: 3
∴θ = 15.把函数 y=-2x2 的图象按 a 平移,得到 y=-2x2-4x-1 的图象,则 a= 解析:y=-2x2-4x-1=-2(x+1)2+1 ∴y-1=-2(x+1)2 即原函数图象向左平移 1 个单位,再向上平移 1 个单位,∴a=(-1,1). 答案: (-1,1) .

? ,|a|=2,|b|=1,则|a+b||a-b|的值是 3 1 ? 解析:∵a?b=|a||b|cos =2?1? =1 2 3
16.已知向量 a、b 的夹角为 ∴|a+b|2=a2+2a?b+b2=22+2?1+12=7, |a-b|2=a2-2 a?b+b2=22-2?1+1=3 ∴|a+b|2|a-b |2=3?7=21 ∴|a+b||a-b |= 21 . 答案: 21 三、解答题: (共 74 分) 17.(本小题满分 10 分) 已知 A(4,1) ,B(1,- 解:∵ AB =(-3,- 又∵ AB ∥ BC ∴根据两向量共线的充要条件得- 解得 x=-1.

.

1 3 ) ,C(x,- ) ,若 A、B、C 共线,求 x. 2 2

3 ) , BC =(x-1,-1) 2

3 (x-1)=3 2

18.(本小题满分 12 分) 已知|a|=3,|b|=2,a 与 b 的夹角为 60°,c=3a+5b,d=ma-b,c⊥d,求 m 的值. 解:a?b=|a||b|cos60°=3 ∵c⊥d,∴c?d=0 即(3a+5b) (ma-b)=0 2 ∴3ma +(5m-3)a?b-5b2=0 ∴27m+3(5m-3)-20=0 解得 m=

29 . 42

19.(本小题满分 12 分) 已知 a、b 都是非零向量,且 a+3b 与 7a-5b 垂直,a-4b 与 7a-2b 垂直,求 a 与 b 的 夹角. 解:由已知, (a+3b) ? (7 a-5b)=0, (a-4b) ? (7a-2 b)=0, 2 即 7a +16a?b-15 b 2=0 ① 2 7a-30a?b+8 b =0 ② 2 ①-②得 2a?b=b 代入①式得 a2=b2

b2 1 a ?b ? 2 ? , ∴cosθ = | a || b | | b |2 2
故 a 与 b 的夹角为 60°. 20.(本小题满分 12 分) 已知:在△ABC 中,AB=c,BC=a,AC=b,AB 上的中线 CD=m,求证:a2+b2= +2m2. 证明:∵ BC ? BD ? DC, AC ? AD ? DC , 两式平方相加可得 a2+b2=

1

1 2 c 2

1 2 c +2m2+2( BD ? DC + AD ? DC ) 2

∵ BD ? DC + AD ? DC =| BD || DC |?cosBDC+| AD || DC |cosCDA=0 ∴a2+b2=

1 2 c +2m2. 2

21.(本小题满分 14 分) 设 i、j 分别是直角坐标系 x 轴、y 轴上的单位向量,若在同一直线上有三点 A、B、C,且

OA =-2i+mj, OB =ni+j, OC =5i-j, OA ⊥ OB ,求实数 m、n 的值.
解:∵ OA ⊥ OB ,

∴-2n+m=0 ∵A、B、C 在同一直线上, ∴存在实数λ 使 AC =λ AB ,



AC = OC - OA =7i+[-(m+1)j]
AB = OB - OA =(n+2)i+(1-m)j,
∴7=λ (n+2) m+1=λ (m-1) 消去λ 得 mn-5m+n+9=0 由①得 m=2n 代入②解得 m=6,n=3;或 m=3,n=



3 . 2

22.(本小题满分 14 分) 如图,△ABC 的顶点 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,A 为圆心,直径 PQ=2r,问: 当 P、Q 取什么位置时, BP ? CQ 有最大值?

解: BP ? CQ =( AP ? AB ) ? ( AQ ? AC ) =( AP ? AB ) ? (- AP ? AC ) =-r2+ AB ? AC ? AP ? CB 设∠BAC=α ,PA 的延长线与 BC 的延长线相交于 D,∠PDB=θ ,则

BP ? CQ =-r2+cbcosθ +racosθ
∵a、b、c、α 、r 均为定值, ∴当 cosθ =1,即 AP∥BC 时, BP ? CQ 有最大值.



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