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2017《教与学》中考全程复习导练第22课 圆的有关概念与性质



近三年浙江中考试题分布
热门考点 2016年
杭州T8,3分 温州T21,10分 宁波T23,10分 湖州T8,3分 湖州T20,8分 台州T13,5分 衢州T9,3分 金华T9,3分 丽水T10,3分 绍兴、义乌T6,4分 绍兴、义乌T13,5 分 嘉兴、舟山T8,3分

2015年
杭州T5,3分 温州T10,3分 温州T2

1,10分 宁波T8,4分 宁波T17,4分 宁波T26,14分 台州T22,12分 衢州T14,4分 金华T10,3分 丽水T13,4分 绍兴、义乌T8,4分 绍兴、义乌T12,5 分 绍兴、义乌T14,5 分 嘉兴、舟山T16,5 分

2014年

1. 圆的有关概 念与圆心角 定理 2.垂径定理 3.圆周角定理 4.三角形的外 接圆 5.圆内接四边 形

温州T8,4分 绍兴T12,5分 宁波T18,4分 湖州T4,3分 湖州T19,6分 湖州T24,12分 台州T5,4分 台州T15,5分 嘉兴T6,4分 舟山T5,3分 衢州、丽水T9,3 分

考点一
考点清单

圆的有关概念与圆心角定理

1.圆是到定点的距离等于定长的点的集合. 2.连结圆上任意两点的线段叫作弦,圆上任意两点间的 部分叫作圆弧,简称弧.小于半圆的弧叫作劣弧,大 于半圆的弧叫作优弧. 3.在同圆或等圆中,能够重合的弧称为相等的弧.

4.顶点在圆心的角叫作圆心角. 5.圆心角定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的 弧相等,所对的弦也相等. 6.在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条 弦、 两个弦心距中有一对量相等,那么它们所对应的其余 各对量都相等.

要点点拨
1.弦与弧的端点都在圆上,但弦是线段,弧是曲线. 2.直径是圆中最长的弦,半径不是弦.半圆既不是优弧 也不是劣弧. 3.圆是中心对称图形,圆心是对称中心;圆又是旋转对 称图形,即旋转任意角度后和自身重合.
特别关注 隐含条件. 1.在同圆或等圆中,半径相等是一个重要的

2.应用圆心角、弧、弦、弦心距的关系时,前提条件是“ 在同圆或等圆中”. 如果没有“在同圆或等圆中”这个前 提条件,那么推出的结论不一定成立.

【典例 1】 (2016· 浙江舟山)把一张圆形纸片按如图 221 所示方式折叠两次后展开,图中的虚线表示折痕,则 ︵ BC的度数是 ( )

A. 120°

图 221 B. 135° C. 150°

D. 165°

【点评】 本题主要考查翻折变换的性质以及弧度与圆心 角的关系,连结 BO,正确得出∠BOD 的度数是解题的关 键.

【解析】 如解图,连结 BO,过点 O 作

OE⊥AB 于点 E. 1 由题意可得 EO= BO,AB∥DC, 2 ∴∠EBO=∠BOD=30° , ∴∠BOC=150° , ︵ 故BC的度数是 150° ,故选 C.

【答案】 C

考点二
考点清单

垂径定理

1.圆是轴对称图形,每一条过圆心的直线都是它的对称 轴.圆的对称轴有无数条. 2.垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦 所对的弧. 3.垂径定理的逆定理: (1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所 对的弧. (2)平分弧的直径垂直平分弧所对的弦.

要点点拨
垂径定理及其逆定理是证明线段相等、 角相等及垂直 关系的重要依据,对于一条直线和一个圆,如果具备下列 条件中的两个条件:①直线经过圆心;②直线垂直于弦; ③直线平分弦;④直线平分弦所对的弧.那么其余两个作 为结论必成立.

特别关注

利用垂径定理进行计算或证明时,常需连结

半径或作出圆心到弦的垂线段(即弦心距),则垂足为弦的 中点,再利用圆的半径、弦心距和弦的一半组成的直角三 角形来求解.

【典例 2】 (2016· 浙江绍兴)如图 22-2①,小敏利用课余 时间制作了一个脸盆架,图②是它的截面图,垂直放 置的脸盆与架子的交点为 A,B,AB=40 cm,脸盆的 最低点 C 到 AB 的距离为 10 cm,则该脸盆的半径为 ____cm.

图 222

【点评】 本题主要考查垂径定理的应用,熟练掌握垂径 定理是解题的关键.

【解析】 如解图,设圆心为点 O,圆的半径为 R(cm), 连结 OA,OC,OC 与 AB 相交于点 D. 1 ∵OC⊥AB, ∴CD=10 cm, AD=DB= AB 2 =20 cm,OD=(R-10)cm. 在 Rt△ AOD 中,∵∠ADO=90° , ∴OA2=AD2+OD2, 即 R2=202+(R-10)2, 解得 R=25.

【答案】 25

考点三
考点清单

圆周角定理

1.顶点在圆上,两边都和圆相交的角叫作圆周角.
2.圆周角定理:圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角 度数的一半. 3.圆周角定理的推论: (1)半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90° 的圆周角所 对的弦是直径. (2)在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等; 相等的圆周角所对的弧也相等.

要点点拨
1.圆的任意一条弧所对的圆心角只有一个;它所对的圆 周角从位置上看有无数个,但从数值上看只有一个. 2.圆的任意一条弦均把圆周分为两条弧,故圆内任意一 条弦所对的圆周角从数值上看有两个,分别位于弦的 两侧,这两个圆周角之和等于 180° . 3.有关直径的问题,常把直径与 90° 的圆周角联系在一 起,进行角或弦的等量代换.
特别关注 求一个圆周角的度数时,常常会把它与同弧

所对的圆心角联系起来.

【典例 3】 (2016· 浙江杭州)如图 223,已知 AC 是⊙O 的直径,点 B 在圆周上(不与点 A, C 重合),点 D 在 AC 的延长线上, 连结 BD 交⊙O 于点 E.若∠AOB =3∠ADB,则 ( ) A.DE=EB B. 2DE=EB C. 3DE=DO D.DE=OB

【点评】 本题主要考查圆周角定理及等腰三角形的性 质,解题的关键是连结 EO,构造等腰三角形.

【解析】 如解图,连结 EO. ∵OB=OE,∴∠B=∠OEB. ∵∠OEB=∠D+∠DOE,∠AOB=3∠D, ∴∠B+∠D=3∠D, ∴∠D+∠DOE+∠D=3∠D, ∴∠DOE=∠D,∴DE=OE=OB.

【答案】 D

考点四
考点清单

三角形的外接圆

1.如图 224,经过三角形(△ ABC)各个顶点的圆叫作三 角形的外接圆, 外接圆的圆心 O 叫作三角形的外心. 这 个三角形叫作圆的内接三角形.

图 224 2.三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点.

要点点拨
锐角三角形的外心在三角形内部, 直角三角形的外心在斜边中点上, 钝角三角形的外心在三角形外部.
特别关注 三角形的外心到三个顶点的距离相等.

【典例 4】 (2016· 四川成都)如图 22-5,△ ABC 内接于 ⊙O,AH⊥BC 于点 H.若 AC=24,AH=18, ⊙O 的半 径 OC=13,则 AB=____.

图 225

【点评】 本题主要考查三角形的外接圆,过点 A 作⊙O 的直径是解题的关键.

【解析】 如解图,连结 AO 并延长,交⊙O 于点 E,连 结 CE. ∵AE 为⊙O 的直径,∴∠ACE=90° . ∵AH⊥BC,∴∠AHB=90° . ∵∠B=∠E,∴sin B=sin E, AH AC 18 24 39 ∴ AB =AE,即AB= ,解得 AB= . 26 2

39 【答案】 2

(典例 4 解)

考点五
考点清单

圆内接四边形

1.如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上,那么这个 四边形叫作圆的内接四边形,这个圆叫作四边形的外 接圆. 2.圆内接四边形的对角互补.

要点点拨
要判定一个四边形是否为圆的内接四边形, 关键是看 这个四边形的对角是否互补.
特别关注 圆的内接四边形的一个外角等于它的内对角.

【典例 5】 (2016· 甘肃兰州)如图 226, 四边形 ABCD 内接于⊙O.若四边形 ABCO 是平行四边形,则∠ADC 的大 小为 ( ) A. 45° B. 50° C. 60° D. 75° 【点评】 本题主要考查圆内接四边形的性质及圆周角定 理,熟练掌握上述性质及定理是解题的关键. 【解析】 设∠ADC=α,则∠ABC=180° - α. ∵四边形 OABC 是平行四边形, ∴∠AOC=∠ABC=180° - α, 1 1 ∴∠ADC= ∠AOC=90° - α, 2 2 1 ∴90° - α=α,解得 α=60° ,即∠ADC=60° . 2 【答案】 C

本课在中考中属于必考内容,一般以稍难题为主,常 与三角形的一些性质结合考查, 垂径定理与圆周角定理是 重点.本课用到分类讨论思想的地方较多,一般有以下几 种情形:①点在圆周上的位置不确定;②弦所对弧的优劣 不确定;③弦的位置不确定.在求角度或边长时,常用到 数形结合思想.

【例 1】 (2016· 山东聊城)如图 227, 四 ︵ 边形 ABCD 内接于⊙O, F 是CD上一 ︵ ︵ 点,且DF=BC,连结 CF 并延长, 交 AD 的延长线于点 E,连结 AC.若 ∠ABC=105° ,∠BAC=25° ,则∠E 的度数为 A. 45° B. 50° C. 55°

( ) D. 60°

【解析】 ∵四边形 ABCD 内接于⊙O,∠ABC=105° ,

∴∠ADC=180° -∠ABC=180° -105° =75° . ︵ ︵ ∵DF=BC,∠BAC=25° ,∴∠DCE=∠BAC=25° , ∴∠E=∠ADC-∠DCE=75° -25° =50° . 【答案】 B

【例 2】 (2016· 浙江金华)足球射门,不考虑其他因素,仅考 虑射点到球门 AB 的张角大小, 张角越大, 越容易进球. 如 图 228 的正方形网格中,点 A,B,C,D,E 均在格点上, 球员带球沿 CD 方向进攻,最好的射门点在 ( )

图 228 A. B. C. D. 点C 点 D 或点 E 线段 DE(异于端点)上一点 线段 CD(异于端点)上一点

提 示

过点 A,B,D,E 作圆.

【解析】 如解图,以点 O 为圆心作圆,则点 A,B,D,

E 都在⊙O 上, 点 C 在⊙O 外, 在 CD 上任取一点 F(异于 端点),在 DE 上任取一点 G(异于端点),连结 BC,AC, BD,AD,BE,AE,BF,AF,BG,AG. 易知∠ACB<∠AFB<∠ADB=∠AEB<AGB,故选 C.

【答案】 C

(例 2 解 )

【例 3】 (2016· 浙江丽水)如图 229,已知⊙O 是等腰直 ︵ 角三角形 ABC 的外接圆,D 是AC上一点,BD 交 AC 4 于点 E.若 BC=4,AD= ,则 AE 的长是 ( ) 5 A. 3 B. 2 C. 1 D. 1.2

图 229

【解析】 ∵△ABC 是等腰直角三角形,BC=4,

∴AB 为⊙O 的直径,AC=4,AB=4 2,∴∠D=90° . 4 28 在 Rt△ ABD 中,∵AD= ,AB=4 2,∴BD= . 5 5 ∵∠D=∠C,∠DAC=∠CBE,∴△ADE∽△BCE. 4 ∵AD∶BC= ∶4=1∶5,∴相似比为 1∶5. 5 28 设 AE=x,则 BE=5x,DE= -5x,CE=28-25x. 5 ∵AC=4,∴x+28-25x=4,解得 x=1.

【答案】 C

【例 4】 (2015· 江苏无锡)已知,在平面直角坐标系中, 四边形 OABC 的顶点分别为 O(0,0),A(5,0),B(m, 2),C(m-5,2). (1)是否存在这样的 m,使得在边 BC 上总存在点 P, 使∠OPA=90° ?若存在,求出 m 的取值范围;若 不存在,请说明理由. (2)当∠AOC 与∠OAB 的平分线的交点 Q 在边 BC 上 时,求 m 的值.

【解析】 (1)存在.理由如下: ∵点 O(0,0),A(5,0),B(m,2),C(m-5,2), ∴BC=OA=5,BC∥OA. 如解图①, 以 OA 为直径作⊙D, 与直线 BC 分别交于点 E, F, 则∠OEA=∠OFA=90° . 过点 D 作 DG⊥EF 于点 G,连结 DE,则 1 DE=OD= OA=2.5,DG=2,EG=GF, 2 ∴EG= DE2-DG2=1.5,∴点 E(1,2), F(4,2), ? ?m-5≤4, ∴当? 即 1≤m≤9 时, 边 BC 上总存在点 P, 使∠OPA=90° . ? m ≥ 1 , ?

(2)∵BC=OA=5,BC∥OA,∴四边形 OABC 是平行四边形, ∴OC∥AB,∴∠AOC+∠OAB=180° . ∵OQ 平分∠AOC,AQ 平分∠OAB, 1 1 ∴∠AOQ= ∠AOC,∠OAQ= ∠OAB, 2 2 ∴∠AOQ+∠OAQ=90° ,∴∠AQO=90° . 如解图②,以 OA 为直径作⊙D,与直线 BC 分别交于点 E,F,则∠OEA=∠OFA =90° ,∴点 Q 只能是点 E 或点 F. 当点 Q 在点 F 时, ∵OF,AF 分别是∠AOC 与∠OAB 的平分线,BC∥OA, ∴∠CFO=∠FOA=∠FOC,∠BFA=∠FAO=∠FAB, ∴CF=OC,BF=AB. 又∵OC=AB,∴CF=BF,即 F 是 BC 的中点. ∵点 F 的坐标为(4,2),∴xB+xC=m+m-5=8,∴m=6.5. 当点 Q 在点 E 时,同理可求得此时 m 的值为 3.5. 综上所述,m 的值为 6.5 或 3.5.

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