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导数练习1



山东省临沂一中周末自主小练习

导数练习一
一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1.函数 y ? ( x ? 1) 2 ( x ? 1) 在 x ? 1 处的导数等于 A. 1 A. (2, ??) A. f ( x0 ) ? 0
/

( D.4 ( D. (0,2) ( D.


/>
B.2 B. (??, 2) B. f ( x0 ) ? 0
/

C.3 C. (??,0)

2.函数 f ( x) ? 3x 2 ? x3 在下列区间上递增的是 3.线 y ? f (x) 在点 ( x0 , f ( x0 )) 处切线方程为 2 x ? y ? 1 ? 0 ,则 C.

). )

f ( x0 ) ? 0
/

f ( x0 ) 不存在
( )

/

4.已知对任意实数 x ,有 f (? x) ? ? f ( x),g (? x) ? g ( x) ,且 x ? 0 时, f ?( x) ? 0,g ?( x) ? 0 , 则 x ? 0时 A. f ?( x) ? 0,g ?( x) ? 0 C. f ?( x) ? 0,g ?( x) ? 0 5.设 f ( x) ? x 3 , f (a ? bx) 的导数是 A. 3(a ? bx) B. 2 ? 3b(a ? bx) 2 C. 3b(a ? bx) 2 B. f ?( x) ? 0,g ?( x) ? 0 D. f ?( x) ? 0,g ?( x) ? 0 ( D. ? 3b(a ? bx) 2 ( ) )

6. 设函数 f ? x ? ? ?

2x , 则f ?x ? 1? x2

A.在(-∞,+∞)单调增加 B.在(-∞,+∞)单调减小 C.在(-1,1)单调减小,其余区间单调增加 D.在(-1,1)单调增加,其余区间单调减小 7.质点 P 在半径为 r 的圆周上逆时针作匀角速运动,角速度为 1rad/s,设 A 为起点,那么 在 t 时刻,点 P 在 x 轴上射影点 M 的速度为( ) y P A.rsint B.-rsint C.rcost D.-rcost 8.设 y ? 1? x ,则 y ' ? (
2

sin x



O B.

M A x

A.

? 2 x sin x ? (1 ? x 2 ) cos x sin 2 x

? 2 x sin x ? (1 ? x 2 ) cos x sin 2 x

? 2 x sin x ? (1 ? x 2 ) C. sin x
3

? 2 x sin x ? (1 ? x 2 ) D. sin x
( )

9.若函数 f ( x) ? x ? ax ? 2 在区间 (1,??) 内是增函数,则实数 a 的取值范围是 A. (3,??) B. [?3,??) C. (?3,??) D. (??,?3)

10. 设 f ?( x) 是函数 f ( x) 的导函数, y ? f ?( x) 的图象如图 1 所示,则 y ? f ( x) 的图象最有可能 是下图中的 ( )

A B 二、填空题(每小题 4 分,共 16 分)
3 2

C

D . y

11.在曲线 y=x +3x +6x-10 的切线斜率中斜率最小的切线方程是 12.如图所示,函数 y ? f (x) 的图象在点 P 处的切线方程是

y ? ? x ? 8 ,则 f ?5? ?



y ? ?x ? 8
P

13. 二次函数 f (x) 的导数为 f ?( x) ? 2 x ? 2 , 且方程 f ( x) ? 0 有两个 O 相等的实根,则 y ? f (x) 的表达式为 。 5 x

14.如果函数 y=f(x)的导函数的图像如右图所示,给出下列判断: y (1) 函数 y=f(x)在区间(3,5)内单调递增; (2) 函数 y=f(x)在区间(-1/2,3)内单调递减; (3) 函数 y=f(x)在区间(-2,2)内单调递增; (4) 当 x= -1/2 时,函数 y=f(x)有极大值; 1 -2 -1 -3 (5) 当 x=2 时,函数 y=f(x)有极大值; 1 0 则上述判断中正确的是 . ?

2

3

4 5 x

2

三、解答题 15.(本小题 20 分)求下列函数的导数: 1 ① (- 4)?=

x

② (3x) ?=

③ y ?? ?

1 ? ? ? 1 ? 3x ?

4

④ [cos(1-2x)lnx]?=

16. (本小题 14 分)
1 1 (Ⅰ)求函数 y ? x3 ? (a ? a2 ) x2 ? a3 x ? a2 的单调减区间. 3 2

(Ⅱ)设函数 f (x) = ax – (a + 1) ln (x + 1),其中 a≥–1,求 f (x)的单调区间.

导数练习一参考答案
1.D.2.D 3.B. 4.B 11.3x-y-11=0; 1 15. ① (- 4)?= 4 5 5.D 12.3 6.C 7.B.
2

8.A

9.B

10.B

13. f ( x) ? x ? 2x ? 1
x

14.③⑤
4

x

x

② (3x) ?= 3 ln3

-4 1 ? ③y?? u=1 ? ? ? (1 ? 3 x )?4 . 设 y=u , ? 1 ? 3x ?

-3x,则 y'x=y'u·u'x=(u 4)'u·(1-3x)'x=-4u 5·(-3)=12u 5=12(1-3x) 5= ④ [cos(1 ? 2 x) ln x]' ? [cos(1 ? 2 x)]'? ln x ? [cos(1 ? 2 x)] ? (ln x) '









12 . (1 ? 3 x )5

? 2sin(1 ? 2 x) ln x ? [cos(1 ? 2 x)] ? 1 x
16.解: (Ⅰ)解:y′ = x2 – (a + a2) x + a3 = (x – a) (x – a2),令 y′<0 得(x – a) (x – a2)<0. ①当 a<0 时,不等式解集为 a<x<a2 此时函数的单调减区间为(a, a2); ②当 0<a<1 时,不等式解集为 a2<x<a 此时函数的单调减区间为(a2, a); ③当 a>1 时,不等式解集为 a<x<a2 此时函数的单调减区间为(a, a2); ④a = 0,a = 1 时,y′≥0 此时,无减区间.
1 1 综上所述:当 a<0 或 a>1 时的函数 y ? x3 ? (a ? a2 ) x2 ? a3 x ? a2 的单调减区间为(a, 3 2 1 1 a2);当 0<a<1 时的函数 y ? x3 ? (a ? a2 ) x2 ? a3 x ? a2 的单调减区间为(a2, a); 3 2

当 a = 0,a = 1 时,无减区间. (Ⅱ)由已知得函数 f (x)的定义域为 (–1, +∞),且 f ?( x) ?
ax ? 1 (a≥–1). x ?1

(1)当–1≤a≤0 时,f ′ (x)<0,函 f (x)在(–1, +∞)上单调递减. (2)当 a>0 时,由 f ′ (x) = 0,解得 x ? f ′ (x)、f (x)随 x 的变化情况如下表: x f ′ (x) f (x)
1 (?1, ) a 1 a 1 ( , ??) a 1 . a

– ↘

0 极小值

+ ↗

1 1 从上表可知,当 x∈ (?1, ) 时,f ′ (x)<0,函数 f (x)在 (?1, ) 上单调递减. a a 1 1 当 x∈ ( , ??) 时,f ′(x)>0,函数 f (x)在 ( , ??) 上单调递增. a a

综上所述,当–1≤a≤0 时,函数 f (x)在(–1, +∞)上单调递减;

1 1 当 a>0 时,函数 f (x)在 (?1, ) 上单调递减,函数 f (x)在 ( , ??) 上单调递增. a a



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