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数列与查分



高中数学新课标选修内容“数列与差分”
主要讨论以下内容: 1.首先讨论差分的概念及其对数列的描述; 2.接着进一步阐述差分方程及其解的概念,研究简单差分方程的解、 通解与特 解的求法,其中重点讨论了一阶线性差分方程解的求法; 3.最后讨论差分方程在数学建模中的一些应用.

1. 差分及其对数列的描述
1.1 数列是描述客观世界的重要数学模型 数列作为定义在自然数集(或其子集)上的一种特殊函数,对描述客观世 界中的离散变量具有重要作用,因为: (1) 客观世界许多变量本身就是离散的(如酵母细胞的分裂,股市的开盘或收 盘价的按日记录等),它们表现出的函数关系也是离散的; (2)现实世界中存在着大量的连续函数关系难以用解析式表示(如河流水位 的高低作为时间的函数等),人们只能测得其一系列值而得到一个数列; (3) 有些函数关系尽管能用解析式表示,但其解析式比较复杂(如捕食与被捕 食种群数的变化、接触性传染病的传播等)。 在不妨碍研究结果有效性的前提下,为了方便,人们也愿意把对连续函 数的研究转化为对数列的研究。而计算机技术的发展,更为数列的研究提供 了方便,使数列模型的应用也日趋广泛。
1.2. 差分是描述数列变化的主要工具

差分的定义 : 一般地,称Δ an ? an ?1 - an 为数列 {an }在第n项处的一阶差分。 "Δ " 称为差 分算子。 一般地,称Δ (Δ an ) ? Δ 2 an ? Δ an ?1 - Δ an 为数列 {an }在第n项处的二阶 差分。二阶差分Δ 2 an中的上标2表示差分运算进行两次 ,即差分算子 "Δ " 使用了 两次,显然数列 {an } 的二阶差分又构成了一 个新的数列 {Δ 2 an } 。类似地,可以定 义某些数列的三阶差分 、四阶差分、 ??。

?

?

差分与数列通项的关系 1:对数列{an} = {2,2,2,2,2},其一阶差分 Δ an={0,0,0,0}。 一般地, 常数列的一阶差分为各项是零的常数列(注意: 每施行一次差分运算,所得新数列的总项数都会减少 1) 关系 2:对数列{an} = {3n-5} = {-2,1,4,7,10,13,16,19},其一阶差分 Δ an= {3,3,3,3,3,3,3}为常数列,其通项 an=3n-5 是一个线性函数。一般 地,当数列{an}是由一个线性函数定义的等差数列时,其一阶差分为常数 列。
1

?

?

关系 3:对数列{an} = {n2-3n+5} = {3,3,5,9,15,23},其一阶差分 Δ an= {0,2,4,6,8},其二阶差分 Δ 2an={2,2,2,2}为常数列,其通项 an= n2-3n+5 是一个二次函数。一般地,当数列{an}是由一个二次函数定义时,其二阶 差分为常数列。 关系 4:对数列{an} = {3n} = {3,9,27,81,243,729,2187},其一阶差分 Δ an={6,18,54,162,486,1458},二阶差分 Δ 2an= {12,36,108,324,972} 都不是常数列,而都是公比为 3 的等比数列。一般地,当数列{an}是由一 个指数函数定义时, 其一阶、二阶差分都是以该指数函数的底数为公比的 等比数列。

事实上,如果把上述由线性函数、二次函数、指数函数定义的数列的一阶、 二阶差分的结论作为定理, 不难证明其逆定理也是成立的。 这些结论对根据数列 的一阶、二阶差分来研究数列遵循的变化模式,确定数列的通项是很有意义的。 差分对数列的描述: ① 一阶差分对数列增减的描述:

② 一阶差分对数列极值的描述

③ 二阶差分对数列图形凸凹的描述

2

例1.计算数列{1, - 1, - 1,1,5,11}的 一、二阶差分,并根据 差分确定该数列 的通项。

解:用 {an }表示该数列,其一阶差分 Δ an ? {?2, 0, 2, 4, 6}, 二阶差分 Δ 2 an ? {2, 2, 2, 2}. 其二阶差分为常数,知数列通项 由一个二次函数所定义. 设通项an ? An 2 ? Bn ? C ,取n ? 1, 2, 3代入,得到数列的前三项,从而有 ? A ? B ?C ? 1 ? A ? 1 ? ? ?4 A ? 2B ? C ? ?1,解得?B ? ?5 ?9A ? 3B ? C ? ?1 ?C ? 5 ? ? 可确定数列的通项为an ? n 2 ? 5n ? 5.
2

例 2.构造数列{n -4n+3}前 7 个值 a ~ a 的差分表,并据该表确定数列在
1 7

何处增加、何处减少、何处达到相对极大或极小、图像上凸或下凸。 解:构造差分表如下.据差分表:因 Δ a <0,知数列在 n =1 处为减
1

;Δ a ,Δ a ,?,Δ a >0,数列在 n =2,3,?,6 处为增;Δ a <0,Δ a >0,故在 n=2 处
2 3 6 1 2 2

达到相对极小;对这 7 项而言,数列无相对极大;因为二阶差分 Δ a >0,故数列图
n

像是下凸的. n a 1 0
n

2 -1

3 0

4 3

5 8

6 15

7 24

△a

-1
n

1

3

5

7

9

3

2

△ a

2

2

2

2

2

n

4

2. 差分方程与差分方程的解
2.1 差分方程的有关的基本概念

1. 差分算子 : 设数列 {an },定义差分算子 ? : ?x n ? x n ?1 ? x n 为x n 在n处的向 前差分。而?x n ? x n ? x n -1为x n 在n处的向后差分。以后我 们都是指向前差分。 可见?x n 是n的函数。从而可以进一 步定义?x n的差分 : ?(?x n ) ? ?2 x n ,称之 为在n处的二阶差分,它反映 的是增量的增量。类似 可定义在n处的k阶差分为 : ?k x n ? ?(?k ?1(x n )) 。

2. 差分算子、不变算子、 平移算子 记Ex n ? x n ? 1 ,Ix n ? x n ,称E为平移算子, I为不变算子。则有: ?x n ?

Ex n ? Ix n ? (E ? I )x n ? ? ? E ? I。故有 :
?k x n ? (E ? I )k x n ?
k i ?0

? (?1)k ?i C ki E i x n ?

k

(?1)k ? i
?0

k

?i

C ki x n ? i ?(2.1)

这表明? x n由x n 在n ,n ? 1,? ,n ? k处的取值所线性决定。 反之 ?x n ? x n ? 1 ? x n ? x n ? 1 ? x n ? ?x n; ?2 x n ? x n ? 2 ? 2x n ? 1 ? x n ? x n ? 2 ? ?2x n ? 1 ? x n ? ?2 x n; ?? ?k x n ?
i ?0

? (?1)k ?i C ki x n ?i ? x n ? k ? x n ? k ? ?? (?1)k ?i C ki x n ?i ? ?k x n ?(2.2)
i ?0 k

k ?1

k ?1

表明 : x n ? k 可以由x n ,?x n ,? ,? x n的线性组合表示出来。

3. 差分算子的若干性质 3.1. ?(?x n ? ?y n ) ? ??x n ? ??y n 3.2. ?(

xn 1 )? (y n ?x n ? x n ?y n ) yn y n ?1y n

3.3. ?(x n y n ) ? y n ?1?x n ? x n ?y n 3.4. ? y k ?1?x k ? x b ?1y b ?1 ? x b y b ?
k ?a b k ?a

? x k ?y k
0

b

3.5. x n ? E n x 0 ? (? ? I )n x 0 ?

i i Cn ?x ? i
?0

n

5

4. 差分方程 由x n以及它的差分所构成的 方程 ?k x n ? f(n ,x n ,?x n ,? ,?k ?1x n )?(4.1) 称之为k阶差分方程. 由 (2.1) 式可知 (4.1) 式可化为

x n ? k ? F(n ,x n ,x n ?1 ,? ,x n ? k ?1 )?(4.2)
故(4.2) 式也称为k阶差分方程 (反映的是未知数列 x n 任意一项与其前面 k项之间的 关系) 。 由 (2.1)和 (2.2)可知, (4.1)和 (4.2) 是等价的. 我们经常用的差分方程 的形式是 (4.2) 式。

5. 差分方程的解与有关概 念 (1)如果x n 使k阶差分方程 (4.2)对所有的n成立,则称x n 为方程 (4.2) 的解. (2)如果x n ? x(x 为常数) 是(4.2) 的,即x ? F(n ,x ,? ,x ). 则称x n ? x 为 (4.2) 的平衡解或叫平衡点 . 平衡解可能不止一个 . 意义 : 设x n 为 (4.2) 的解,考虑x n的变化状态,其中之一 是极限状况,如果 lim x n ? x,则方程 (4.2)两边取极限,有x ? F(n ,x ,? ,x ) 。
n ??

(3)如果 (4.2) 的解x n 使得x n ? x既不是最终正的,也不 是最终负的,则称 x n为 关于平衡点 x的振动解。 (4)如果 (4.2) 的解x n 使得 lim x n ? x ,则称x n 为方程 (4.2) 的稳定解。
n ??

6

6. Z变换 定义 : 对于数列x n ,定义复数级数 X (z ) ? Z (x n ) ?

? xkz k
?0

?

?k

这是关于z洛朗级数. 它的收敛域是 : R 1 ? z ? R 2 ,其中R 2可以是?,

R 1可以是0. 称Z (x n ) 为x n的z变换.
由复变函数展开成洛朗 级数的唯一性可知: z变换是一一对应 的,从而有逆变换 ,记为 : x n ? Z ?1(X (z )).

z变换的重要性质: 线性性 (Z (?x n ? ?y n ) ? ?Z (x n ) ? ?Z (y n ))和
平移性质 (Z (x n ? N ) ? z N [X (z ) ?
7. Z变换举例 : ??,n ? 0 7.1. ?(n ) ? ? ,则Z (?(n )) ? ? 0,n ? 0 ?1,k ? 0 7.2. u(n ) ? ? ,则Z (u(n )) ? ?0,k ? 0 7.3. 设f (n ) ? a n ,则Z (a n ) ? 1 1 7.4. 设f (n ) ? ,则Z ( ) ? n! n!

? xkz k
?0
?

N ?1

?k

]).

? ?(k )z k
?0 ?

?k

? (1 ? z ? k )

k ?0

? 1 ,z ? 1

k ?0
?k

? u(k )z ? k ?
?

?z k
?0

?

?k

?

z z ?1

akz ? k
?0 ?

?

z z ?a
1

, z ? a ,a ? 0

k ?0

?

1 ?k z ? ez ,z ? 0 k!

z 变换是研究数列的有效工具
差分方程的 z 变换解法: 对差分方程两边关于 xn 取 Z 变换,利用 xn 的 Z 变换 F(z)来表示出 xn+k 的 Z 变 换,然后通过解代数方程求出 F(z),并把 F(z)在 z=0 的解析圆环域中展开成洛 朗级数,其系数就是所要求的 xn

例3. 设差分方程 x n ? 2 ? 3x n ?1 ? 2x n ? 0,x 0 ? 0,x1 ? 1,求x n .

7

解 : 设F (z ) ? Z (x n ),方程两边取变换可得:

z 2(F(z ) ? x 0 ? x 1 ?

1

z

) ? 3z(F (z ) ? x 0 ) ? 2F (z ) ? 0

由条件x 0 ? 0,x 1 ? 1得F (z ) ? 有F (z ) ? z(
?

z . 又由F (z )在 z ? 2中解析, z ? 3z ? 2
2

1 1 ? )? z ?1 z ?2
?k

1 1? 1

?

1 1? 2

?

k ?0

? (?1)k

?

1

zk

?

k ?0

? (?1)

?

2k

zk

z

z

?

(?1)k(1 ? 2k ) z ? k
?0

所以,x n ? (?1)n ? (?2)n .

2.2. 差分方程(一阶)的解、通解与特解 差分方程的解是一个数列。当把它代入差分方程时,得到一个恒等式,它满 足任何一个初始值。 例如: 用数列{xn} = {(1.05)nc}(c 为任意常数)代入差分方程 xn+1= xn+0.05xn, 有:(1.05)n+1c = (1.05)nc +0.05(1.05)nc,这是一个恒等式。称数列{xn} = {(1.05)nc}是差分方程 xn+1= xn+0.05xn 的解。

差分方程的通解
我们注意到,上式解中含有一个常数 c,并且方程是一阶的。一般地,如果差 分方程的解中含有与方程的阶数相同个数的相互独立的任意常数, 就称它为差分
n

方程的通解。按此定义,x = (1,05) c 也是一阶差分方程 x = x +0.05x 的通解
n n+1 n n



差分方程的特解
n n
0 0

对上式通解 x = (1.05) c, 若给定初值 x =1000, 代入通解得: 1000= (1.05) c
n

,求得常数 c =1000,称 x = (1.05) ×1000 为方程相应于初值 x =1000 的特解。
n
0

注意:这样求出的特解是用解析式表示的。 显然,相应于不同的初值,方程有不同的特解,而求特解只要将给定初始值 代入通解求出待定常数即可。

迭代法
对差分方程(组)来说,迭代法也是用于求特解的重要方法。其操作过程为: 用方程含未知数列项相同个数的初始值代入方程 (组)求得第一个(组)数值,
8

将所得第一个(组)数值又代入方程(组)求得第二个(组)数值,??,将此过程不 断重复,求得在该初始条件下满足方程(组)的特解。 例 4:
? ?x ? 2 ?x n ?1 ? x n ? 0.42y n 对一阶齐次线性方程组 ,用初始值? 0 代入, ? ? ?y 0 ? 3 ?y n ?1 ? 2x n ? y n ?{x } ? {0.7400 , 0.3200 , 0.1184 , 0.0512 , 0.0189 , 0.0082 ,?} 可迭代得出 : ? n , 0.4800 , 0.1600 , 0.0768 , 0.0256 , 0.0123 ,?} ?{y n } ? {1.0000 , ?x ? 2 它们是上述方程组相应 于初始值? 0 的特解。 ?y 0 ? 3 这样求出的特解是一种 数值解。如果这一求解 过程采用某种迭代程序 (如

QBASIC 程序)在计算机上操作,我们 很快就能发现迭代进行 到第114 次时,x 114
? 0,y 114 ? 0,并且后续各项都稳定 于这一对常数。

例 5:

? x n ?1 ? 3x n ? 2y n 对一阶齐次线性方程组 ,若初始值x 0、y 0不全为0时, ? y ? ? x ? 6 y n n ? n ?1 用迭代程序在计算机上 操作,可见到当n ? ??时,其数值解 {x n } 、 {y n }趋于 无穷大.

例 6:
? x n ?1 ? x n ? y n 对一阶齐次线性方程组 ,若初始值x 0、y 0不全为0时, ? ?y n ?1 ? 2x n ? y n 用迭代程序在计算机上 操作,可见到当n ? ??时,其数值解 {x n } 、 {y n }都 分别在四个值之间呈周 期性变化. 如在x 0 ? 0,y 0 ? 1时,{x n } 、 {y n }分别在 {?1, 0, 1, 0}与 {?1, ?1, 1, 1} 四个值之 间变化.

重点 由这几例我们看到,对一阶齐次线性方程组,在给定初始值的条件下,可以 利用某种迭代程序在计算机上方便地求得它的数值解序列, 并根据数值解序列掌 握解的变化趋势。此点在新课标该专题中作重点要求。
9

下面我们重点来讨论 ,一阶常系数线性差分方 程

x n ?1 ? kx n ? b ? ?(1)
解的求法,其一般形式为 : x n ?1 ? kx n ? f(n )? ?(2)其中k为已知得非零 常数,f (n )为n的已知函数。当 f(n ) ? 0时,方程 (2)称为非齐次的 ,f (n ) ? 0 时,方程

x n ?1 ? kx n ? ?(3)
称为齐次的,并称 (3) 为 (2) 相应的齐次方程。方程 (1) 是方程 (2) 当f (n ) 为常数 的情况,是方程 (2) 能用待定系数法求特解 时所具有的几种特殊形 式里最简单 的一种。 我们来讨论方程 (1)和 (3)通解的求法。

2.2.1. 求一阶齐次差分方程 xn+1=kxn(3)的通解

迭代法 : 给定初始值为x 0,则方程 (3) 的通解 : x 1 ? kx 0 ,x 2 ?

kx 1 ? k 2 x 0 ,x 3 ? kx 2 ? k 3 x 0 ,? ,一般地,有 x n ? kx n ?1 ? k(k n ?1x 0 ) ? k n x 0 ,n ? 1, 2,? ,
由于x 0 表示初始值,可用常数 c来表示。又根据差分方 程通解的定义 : 如果差分 方程的解中含有与方程 的阶数相同个数的相互 独立的任意常数,则为 其通解,故方 程(3) 的通解可表为

x n ? k nc(c为任意常数).
对于每一个给定 x 0可求出一个特解。而求 特解只要将给定的初始 值x 0 代入通解 求出待定常数c即可。

2.2.2. 求一阶非齐次差分方程 xn+1=kxn+b(1)的通解 2.2.2.1. 探索一阶非齐次差分方程 xn+1=kxn+b 通解的结构

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设数列 {y n },{z n }为方程 (1) 的任意两个解 ,则 ?y n ?1 ? ky n ? b ?(4) (4) ? (5) y n ?1 ? z n ?1 ? k(y n ? z n ) ? ? z n ?1 ? kz n ? b ?(5) 这意味着 : 若an 为方程 (1) 的任意一个解 ,bn 为方程 (1) 的一个特解, 则an ? bn 就为相应齐次方程的一 个解. 为了探索方程通解的结 构,我们 对它的任意一个解 an 作适当变形 :

an ? an ? bn ? bn ? bn ? (an ? bn )
表明 : 方程 (1) 的任意一个解 ? 方程 (1) 的一个特解 ? 方程 (1)相应齐 次方程一个解 . 且该结论使用任意非齐 次方程.

2.2.2.2 求一阶非齐次差分方程(1)的通解
(i )用迭代法,设给定的初始值为 x 0 ,依次将n ? 0, 1, 2,? 代入 (1),

x 1 ? kx 0 ? b x 2 ? kx 1 ? b ? k(kx 0 ? b ) ? b ? k 2x 0 ? b(1 ? k ) x 3 ? kx 2 ? b ? k[k 2x 0 ? b(1 ? k )] ? b ? k 3x 0 ? b(1 ? k ? k 2 )
??

x n ? k n x 0 ? b(1 ? k ? k 2 ? ? ? k n ?1 )
1. 当k ? 1时, 1 ? k ? k 2 ? ? ? k n ?1 ? ? k n(x 0 ? 1 ? kn b(1 ? k n) ,此时x n ? k n x 0 ? 1?k 1?k

b
1?k

)?

b
1?k

,由于x 0 表示初始值,可任意给定 ,故可设定其 也为任意常数 . 令x 0 ? (c为任意常数)

为任意常数,从而x 0 ? 可表为 : x n ? k nc ?

b
1?k

b
1?k

? c ,则 (1) 的通解

b
1?k

2. 当k ? 1时, 1 ? k ? k 2 ? ? ? k n ?1 ? n ,此时x n ? x 0 ? nb ,由于x 0可任意 给定即其为任意常数 ,故(1) 的通解可写为 x n ? c ? nb (c为任意常数)

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(ii )待定系数法 : 与求解常微分方程类似 ,待定系数法也是求非齐 次线性 差分方程一个特解的一 种较为简便、常用的方 法. 其基本思想是 : 根据方程的非齐次项 f(n ) 的特点,用于f (n ) 形式相同但系数为特定 的函数,作为方程的特解 (称为试解函数 ), 然后将该试解函数代入 方程,以确定试解函数 (特解) 中的特定系 数,从而求出方程的一个特 解.

1. 当k ? 1时,设方程 (1)有一特解x n ? A,其中A为特定系数,将其代入 (1),有

A ? kA ? b ,A ?

b
1?k

,即x n ?

b
1?k

。知此时方程 (1) 的通解为 :

x n ? k nc ?

b
1?k

(c为任意常数)

2. 当k ? 1时,方程 (1)为x n ?1 ? x n ? b,知其解数列的一阶差 分为常数,可设其 有形如x n ? An的特解,代入 (1),有A(n ? 1) ? An ? b ,得A ? b ,即x n ? bn,知此 时方程 (1) 的通解为 :

x n ? k nc ? bn ? c ? bn (c为任意常数)

例7. 求差分方程 2yt ?1 ? 5yt ? 0的通解,并求满足y 0 ? 2的特解.
5 解 : 将原方程改写成 yt ?1 ? (? )yt ,故其通解为 2 5t yt ? (? ) c ,c为任意常数. 2 5 用y 0 ? 2代入通解 : 2 ? (? )0c ,得c ? 2. 满足初值y 0 ? 2的特解为 2 5t yt ? 2(? ) . 2

例8. 求下列差分方程的通解 .(1)x n ?1 ? x n ? 4,(2)x n ?1 ? x n ? 4
解 (1)方程中有k ? 1,b ? 4. 其通解为x n ? c ? 4n ,(c为任意常数). (2) 原方程可化为 x n ?1 ? ?x n ? 4,方程中k ? ?1,b ? 4,其通解 为x n ? (?1)n c ? 4 ? (?1)n c ? 2,(c为任意常数). 1 ? (?1)
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例9. 某学术报告厅的座位是 这样的安排的 : 每一排比前一排多 2个座位。 已知第一排有 30个座位, (1)若用y n 表示第n排的座位数,试写出用 y n 表示y n ?1的公式。 (2)第10排的座位是多少个? (3)若用S n 表示前n排的座位数,试写出用 S n 表示S n ?1的公式。 (4)若该报告厅共有 20排,那么一共有多少个 座位 ?

解(1)y n ?1 ? y n ? 2

n ? 1, 2,?

(2)解上述差分方程 ,其中k ? 1,b ? 2,通解为y n ? 2n ? c ,

c为任意常数. 由已知y 1 ? 30,代入,得c ? 28. 特解为y n ? 2n ? 28, y 10 ? 2 ? 10 ? 28 ? 48(个).
(3) S n ?1 ? S n ? y n ?1 ? S n ? [2(n ? 1) ? 28],可得表达式为S n ?1 ? S n ? 2n ? 30

n ? 1, 2,?

(4) 先解上述差分方程 ,由S n ?1 ? S n ? 2n ? 30,即?S n ? 2n ? 30, 知S n的表达式为n的二次函数,设S n ? An 2 ? Bn ? C ,则?S n ? A(n ? 1)2 ? B(n ? 1) ? C ? An 2 ? Bn ? C ? 2An ? A ? B ? 2n ? 30. 可得A ? 1,B ? 29. 又由初始条件y 1 ? 30 ? S 1 ,有30 ? A ? B ? C ,故C ? 0. 因此本问题的特解

S n ? n 2 ? 29n n ? 1, 2,? S 20 ? 20 2 ? 29 ? 20 ? 980(个).
注意 : 在本例小题 (1) 中每排座位数的表达式 y n ?1 ? y n ? 2,y n ?1 ? y n ? 2, 与小题 (2) 中前n ? 1排座位数表达式 S n ?1 ? S n ? 2n ? 30即S n ?1 ? S n ? 2n ? 30 都属一阶非齐次线性差 分方程x n ?1 ? kx n ? f(n )类型,但前者属f(n )为常数 的情况,而后者属f(n )为n的一次函数的情况 ,利用差分有关知识 ,知S n的表 达式是关于n的二次函数 .

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3.差分方程在数学建模中的一些应用
差分方程是描述客观事物的数量关系的一种重要的数学模型。在科学研究和 生产实际中, 经常碰到处理对象涉及的变量(如时间)是连续的, 但是从建模的目 的考虑,把连续变量离散化更为合适,将连续变量作离散化处理,从而将连续模 型(微分方程)化为离散型(差分方程)问题。 在实际建立差分方程模型时, 往往要将变化过程进行划分, 划分成若干时段, 根据要解决问题的目标, 对每个时段引入相应的变量或向量, 然后通过适当假设, 根据事物系统的实际变化规律和数量相互关系, 建立每两个相邻时段或几个相邻 时段或者相隔某几个时段的量之间的变化规律和运算关系, 从而建立起差分方程。 或者对事物系统进行划分,划分成若干子系统,在每个子系统中引入恰当的 变量或向量, 然后分析建立起子过程间的这种量的关系等式, 从而建立起差分方 程。 在这里,过程时段或子系统的划分方式是非常非常重要的,应当结合已有的 信息和分析条件,从多种可选方式中挑选易于分析、针对性强的划分,同时,对 划分后的时段或子过程,引入哪些变量或向量都是至关重要的,要仔细分析、选 择,尽量扩大对过程或系统的数量感知范围,包括对已有的、已知的若干量进行 结合运算、取最运算等处理方式,目的是建立起简洁、深刻、易于求解分析的差 分方程。 在下面所举的实际例子中,这方面的内容应当重点体会。 3.1.金融问题的差分方程模型 1.设现有一笔 p 万元的商业贷款,如果贷款期是 n 年,年利率是 r1,今采用 月还款的方式逐月偿还,建立数学模型计算每月的还款数是多少? 模型分析: 在整个还款过程中,每月还款数是固定的,而待还款数是变化的,找出这个 变量的变化规律是解决问题的关键。 模型假设:

设贷款后第 k个月后的欠款数是 Ak 元,月还款数为m元,月贷款 利息为r ?
模型建立:
关于离散变量Ak ,考虑差分关系有 : Ak ? rAk ? Ak ?1 ? m ,即 :

r1
12

.

Ak ?1 ? (1 ? r )Ak ? m . 这里已知有 : A0 ? 100000 ,A24 ? 0.
模型求解:

14

令B k ? Ak ? Ak ?1 ,则B k ? B k ?1(1 ? r ) ? B 1(1 ? r )k ?1 ,故

Ak ? A0 ? B 1 ? B 2 ? ? ? B k
? A0 ? B 1[1 ? (1 ? r ) ? ? ? (1 ? r )k ?1 ] ? A0(1 ? r )k ?

m [(1 ? r )k ? 1],k ? 0, 1, 2,? r

这就是差分方程的解 . 把已知数据A0 ,r代入A12 n ? 0中,可以求出月还款数 额m . 例如 : A0 ? 10000 ,r ? 0.0052125 ,n ? 2时,可以求出 : m ? 444 .356 元.

模型的进一步拓广分析:
如果令Ak ? A ,则A ? 每月只还上了利息 . 只有当A0 ?

m m m ,并且当A0 ? 时,总有Ak ? ,即表明 : r r r

m 时,欠款余额逐步减少 ,并最终还上贷款 . r

2.养老保险模型问题:养老保险是保险中的一种重要险种,保险公司将提供 不同的保险方案以供选择, 分析保险品种的实际投资价值。 即分析如果已知所交 保费和保险收入,按年或按月计算实际的利率是多少,也就是说,保险公司需要 用你的保费实际获得至少多少利润才能保证兑现你的保险收益。 下面的应用实例中,

设有未知序列 {x n },称F(n; x n ,x n ?1,? ,x n ? k ) ? 0为k阶差分方程 .
模型举例分析: 假设每月交费 p 元至 60 岁开始领取养老金,男子若 25 岁起投保,届时养老 金每月 2282 元;如 35 岁起保,届时月养老金 1056 元;试求出保险公司为了兑 现保险责任,每月至少应有多少投资收益率,这也就是投保人的实际收益率。 模型假设: 这应当是一个过程分析模型问题。过程的结果在条件一定时是确定的。整个 过程可以按月进行划分,因为交费是按月进行的。 假设: ? 设投保人到第 k 月止所交保费及收益的累计总额为 Fk; ? 设 r 为每月收益率; ? 记 p、q 分别为 60 岁前每月交费数和 60 岁后每月领取数; ? 记 N 为停交保险费的月份,M 为停领养老金的月份。 模型建立: 在整个过程中,离散变量 Fk 的变化规律满足:
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?Fk ?1 ? Fk(1 ? r ) ? p ,k ? 0, 1,? ,N ? 1 ? ? Fk ?1 ? Fk(1 ? r ) ? q ,k ? N ,? ,M
在这里 Fk 实际上表示从保险人开始交纳保险费以后,保险人帐户上的资金数 值。我们关心的是,在第 M 个月时,FM 能否为非负数。如果为正数,则表明保 险公司获得收益;如为负数,则表明保险公司出现亏损;当为零时,表明保险公 司最后一无所有,所有的收益全归为保险人。 从这个分析来看,引入变量 Fk,很好地刻画了整个过程中资金的变化关系, 特别是引入收益率 r,虽然它不是我们所求的保险人的收益率,但是从问题系统 环境中来看,必然要考虑引入另一对象:保险公司的经营效益,以此作为整个过 程中各种量变化的表现基础。 模型计算:
以25岁起保为例 . 假设男性平均寿命为 75岁,则有p ? 20,q ? 2282; N ? 420,M ? 600,初始值为F0 ? 0,我们可以由

Fk ? F0(1 ? r )k ?
得到 :

p [(1 ? r )k ? 1],k ? 0, 1,? ,N r q Fk ? FN (1 ? r )k ? N ? [(1 ? r )k ? N ? 1],k ? N ? 1,? ,M r q q )(1 ? r )M ? N ? ? 0 p p

在上面两式中 ,分别取k ? N ,k ? M . 并利用FM ? 0求出 : (1 ? r )M ? (1 ?

利用数学软件求出方程 的根为 : r ? 0.00485

3.2.人口的控制与预测模型
背景分析:人口数量的发展变化规律及特性可以用偏微分方程的理论形式来 表现和模拟。 但在实际应用中不是很方便, 需要建立离散化的模型, 以便于分析、 应用。人口数量的变化取决于诸多因素,比如:女性生育率、死亡率、性别比、 人口基数等。 试建立离散数学模型来表现人口数量的变化规律。 模型假设:

以年为时间单位记录人 口数量,年龄取周岁。 (1)设这个地区最大年龄为 m岁 (2)第t年为i岁的人数为x i(t ),i ? 1, 2,? ,m ,t ? 0, 1, 2,? 这个数量指标是整个问 题分析、表现的目标和 载体,我们的目的就是找 出这些变量的变化规律 、内在的普遍联系。 x (t ) ? x i ?1(t ? 1) (3)设第t年为i岁的人口平均死亡率 d i(t ) ? i ,则有 x i(t )

x i ?1(t ? 1) ? [1 ? d i(t )]

x i(t ),i ? 1, 2,? ,m ? 1,t ? 0, 1, 2,?
16

(4)设第t年为i岁女性的生育率,即每 位女性平均生育婴儿数 为bi(t ) , [i1 ,i2 ]为生育 区间。ki(t )为第t年i岁人口的女性比,由此 可知 : 第t年出生的人数为 :

f(t ) ?

i ? i1

? bi(t )ki(t )x i(t )

i2

(5)记第t年婴儿得死亡率为 d 00(t ),则x 0(t ) ? (1 ? d 00(t ))f(t ) (6)设hi(t ) ?

bi(t )
i ? i1

? bi(t )
1

i2

?

bi(t ) ,它表示i岁女性总生育率,则 bi(t ) ? ?(t )hi(t ), ?(t )

如果假设t年后女性出生率保持不 变,则

?(t ) ? bi (t ) ? bi ? 1(t ) ? ? ? bi (t ) ? bi (t ) ? bi ? 1(t ? 1) ? ? ? bi (t ? i2 ? i1 )
1 2 1 1 2

可见,?(t )表示每位妇女一生中平 均生育的婴儿数,称之 为总和生育率。它 反映了人口变化的基本 因素。

模型建立:
根据上面的假设 , x 1(t ? 1) ? (1 ? d 0(t ))x 0(t ) ? (1 ? d 0(t ))(1 ? d 00(t ))f(t ) ? (1 ? d 0(t ))(1 ? d 00(t ))? bi(t )ki(t )x i(t )
i ?i1 i2

? (1 ? d 0(t ))(1 ? d 00(t ))?(t )? hi(t )ki(t )x i(t ) ? ?(t )? bi'(t )x i(t )
i ?i1 i ?i1

i2

i2

x 2(t ? 1) ? (1 ? d 2(t ))x 1(t )
?? x m(t ? 1) ? (1 ? d m ?1(t ))x m ?1(t )

17

为了全面系统地反映一 个时期内人口数量的状 况,令

x(t ) ? [x 1(t ), x 2(t ),? ,x m(t )]'
? 0 0 0? 0 ? 0 0? 0 ?1 ? d 1(t ) A(t ) ? ? 0 1 ? d 2(t ) 0 ? 0 ? ? ? ? ? ? ? 0 0 ? 1 ? d m ?1(t ) ? ?0 ? ?0 B(t ) ? ?0 ? ?0 ?0 ? 0 0 0 0 0 0? ? 0? 0? ? ?? 0? ? m ?n

bi'(t )
1

bi' (t )
2

0? 0? 0? 0?

0? 0? 0? 0?

0? ? 0? 0? ? 0? 0? ? m ?n

则此向量x(t )满足方程 :

x(t ? 1) ? A(t )x(t ) ? ?(t )B(t )x(t )
即:

x(t ? 1) ? [A(t ) ? ?(t )B(t )]x(t ) ?(t )和x(t )都是线性的,故称其为 双线性方程。

(2.1)

这是一阶差分方程,其 中?(t ) 是可控变量, x(t )是状态变量,并且关于

模型分析:
在稳定的社会环境下 ,死亡率、生育模式、女 性比例和婴儿存活率都 可以 假设为不变的 ,故A(t ) ? A ,B(t ) ? B为常数矩阵。从而

x(t ? 1) ? [A ? ?(t )B ]x(t )
下来。

(2.2)

只要总生育率?(t )确定下来,则人口的变 化规律就可以确定

3.3.蛛网模型
经济背景与问题: 在自由竞争的市场经济中, 商品的价格是由市场上该商品 的供应量决定的,供应量越大,价格就越低。另一方面,生产者提供的商品数量 又是由该商品的价格决定的, 价格上升将刺激生产者的生产积极性,导致商品生 产量增加;反之,价格降低会影响生产者的积极性,导致商品生产量下降。经营 者要取得良好的经济效益, 就必须把握好这两个因素的规律, 避免市场供求出现 混乱。 模型假设与模型建立:
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(1)将市场演变模式划分为 若干销售时段 ,用自然数n来表示 ; (2)设第n个时段商品的数量为 x n ,价格为y n ,n ? 1, 2,? .; (3)价格与产品的关系为: y n ? f(x n ); (4)假设下一时段的产量 x n ?1是决策者根据这期的价 格决定的, 设x n ?1 ? h(y n ),从而有y n ? g(x n ?1 ). 由此建立差分方程 : ? ?x n ?1 ? h[f(x n )] ? ? ?y n ?1 ? f [h(y n )] (3.1) (3.2)

模型的几何分析:

两个变量x n 和y n的变化过程,可以借助 已有的函数f和g用几何方式表 现出来。把点列 (x n ,y n )和 (x n ?1 ,y n )在坐标系中描绘出来, 其中 (x n ,y n ) ? (x n ,f(x n )),(x n ?1 ,y n ) ? (x n ?1 ,g(x n ?1 )), 将点列p1(x 1 ,y 1 ), p 2(x 2 ,y 1 ), p3(x 3 ,y 3 ), p 4(x 4 ,y 3 ),? 连接起来,就会形成 象蛛网一样的折线。这 个图形被称作为蛛网模 型。 见图1 :

易见 : 如果点列p1(x 1 ,y 1 ), p 2(x 2 ,y 1 ), p3(x 3 ,y 3 ), p 4(x 4 ,y 3 ),? 最后收敛 于点p 0(x 0 ,y 0 ) ,则x n ? x 0 ,y n ? y 0 ,且p 0就是两条曲线的交点 ,从而达到稳 定状态,反之是不稳定的。 几何上的进一步分析表 明。如果曲线 y ? f(x )和y ? g(x )在交点p 0处切 线的斜率记为 kf ,k g ,则可知 ? ? 当 kf ? k g 时, p 0是稳定的; ? ? ?当 kf ? k g 时, p 0是不稳定的。
模型的差分方程分析:

19

设点p 0(x 0 ,y 0 )满足 : y 0 ? f(y 0 ),x 0 ? h(y 0 ),在p 0点附件取函数 f(x ),h(x ) 的一阶近似 : ? ? y n ? y 0 ? ?(x n ? x 0 ),? ? 0 ? ? ?x n ?1 ? x 0 ? ?(y n ? y 0 ), ? ? 0 (3.3) (3.4)

合并两式可得 : x n ?1 ? ???x n ? (1 ? ?? )x 0 ,n ? 1, 2,? (3.5) 1 其中, ? ?为f在p 0点处的切线斜率; 为g(x )在p 0点处切线的斜率。

?

方程 (3.5)递推可得x n ?1 ? (??? )n x 1 ? [1 ? (??? )n ]x 0 所以,p 0点稳定的充要条件是: ?? ? 1,即? ? 模型的几何分析结果是 一致的。 1

(3.6)

?

。这个结论与蛛网

模型推广:
如果决策时考虑到 x n ? 1与y n ,y n ? 1都有关系,则可假设

x n ? 1 ? g(

y n ? y n ?1
2

)

这时数学模型为 : y n ? f (x n ) x n ? 1 ? g(

y n ? y n ?1
2

)

对此模型仍用线性近似 关系可得 : x n ? 1 ? g(y 0 ) ?

?
2

(y n ? y n ? 1 ? 2y 0 ). 即

x n ?1 ? x 0 ?

?
2

(y n ? y n ? 1 ? 2y 0 ) 。再结合 (3.3)可得 : 2x n ? 2 ? ??x n ? 1 ? ??x n ? (1 ? ?? )x 0

? ?? ? (?? )2 ? 8?? ,可知当?? ? 2时, ?1,2 ? 1, 4 解是稳定的。这个条件 比原来的模型解得稳定 性条件放宽了 ,说明决策水平提高了。 由方程的特征根为 : ?1,2 ?

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