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第69讲 函数综合与探究性问题(二)


第二轮复习 第 69 讲
角三角形的性质与应用. 学习目标: 1.体会函数问题中的探究性问题的解答方法与思路; 2.能分析并解决函数问题中的简单的探究性问题; 3.提高综合分析问题的能力、解决问题的能力与数形结合的能力。 4.在数学探究学习的过程中,激发学习数学的热情,增强合作交流的能力, 积累数学学习的 经验。 学习重点:解决函数综合与探究性问题,进一步提高分析问题、解决问题的能力。 学习难点:运用数形结合、分类讨论等数学思想解决探究性问题 一.热身练习 如图,将直角边长为 6 的等腰 Rt?AOC 放在平面直角坐标系中,点 O 为坐标原点, 点 C 、 A 分别在 x 、 y 轴的正半轴上,一条抛物线经过点 A 、 C 及点 B(– 3,0) 。 (1) 求该抛物线的解析式; (2) 在抛物线上一点 M 满足 ?CAM =?BAO ,求出 M 的坐标; (3) 抛物线上一点 P,作直线 OP 交直线 AC 于点 D,以 OC、CD 为边作平行四边形 OCDE,平行四边形 OCDE 与 ?AOB 重合部分的面积为 ?AOB 面积的 ,求出 P 的坐标。
2 9

函数综合与探究性问题(二)

中考考点:一次函数与二次函数的图像与性质,待定系数法,相似三角形、矩形、解直

二.经典例题 如图 1,已知:A(0, ? 2),B( ? 2,0),C(1,0),抛物线 L1: y ? ax2 ? bx ? c 经过 A、B 两点,且点 A 是抛物线的顶点,直线 AC 与抛物线的另一个交点是 D. (1) 求抛物线 L1 的解析式和直线 AC 的解析式; (2) E 是抛物线 L1 上一点,当△EAD 的面积等于△OBD 的面积的一半时,求点 E 的坐标; (3) 如图 2,将抛物线 L1 向下平移 m(m > 0)个单位得到抛物线 L2,且抛物线 L2 的顶点为点 P,交 x 轴负半轴于点 M,交射线 AC 于点 N,作 NQ⊥x 轴于点 Q. ①求证:∠NMQ = 45°; ②当 NP 平分∠MNQ 时,求 m 的值.
y D y N

B

O A

C x

M

O A

C

Q x

P 图1 图2

三.中考演练 如图,抛物线 y ? ? x2 ? 2 x ? 3 与 x 轴交与 A,B 两点(点 A 在点 B 的左侧),与 y 轴交于点 C. 点 D 和点 C 关于抛物线的对称轴对称,直线 AD 与 y 轴相交于点 E. (1)求直线 AD 的解析式; (2)如图 1,直线 AD 上方的抛物线上有一点 F,过点 F 作 FG⊥AD 于点 G,作 FH 平行 于 x 轴交直线 AD 于点 H,求△FGH 的周长的最大值; (3)点 M 是抛物线的顶点,点 P 是 y 轴上一点,点 Q 是坐标平面内一点,以 A,M, P,Q 为顶点的四边形是 AM 为边的矩形,若点 T 和点 Q 关于 AM 所在直线对称,求点 T 的坐标.

命制:德阳初中 冯元辉

审核:德阳初中 周美

答案. 一.热身练习。

(1) ∵B(– 3,0) ,C(6,0) ,设抛物线为 y ? a( x ? 3)( x ? 6) ,过 A(0,6) ∴ a ? 3x(?6) ? 6 ,∴ a ? ?
1 3 1 3 1 3

∴ y ? ? ( x ? 3)( x ? 6) ,即 y ? ? x2 ? x ? 6 (2) ①如图,当 M 第一象限内时,作 MN ? AC 于 N,过 M 作 MG//y 轴,交 AC 于 G,交 x 轴于 H ∵ tan ?MAN ? tan ?BAO ? 设 MN = k,AN = 2k ∴NG = k, MG ? 2k ,∴ GC ? 6 2 ? 3k
GH ? HC ? 2 3 GC ? 6 ? 2k 2 2

1 2
M N G H

2 3 k, 2k , MH ? 6 ? 2 2 2 3 1 3 ∴点 M( 2k , 6 ? k ) ,代入 y ? ? x2 ? x ? 6 ,∴ ? k 2 ? 2 2k ? 0 2 2 3 2 4 ∴k = 0(舍去) ,k ? 2 3

∴ OH ?

∴M(4,

14 ) 3

②当 M 在第四象限上时,作 MN ? AC 于 N, 过 M 作 MF //y 轴,交 AC 于 G,交 x 轴于 H ∵ tan ?MAN ? tan ?BAO ? 设 MN = k,AN = 2k ∵NG = k,∴AG = k
2 2 3 k , GM ? 2k , HG ? k ? 6 , HM ? ∴ OH ? 2k ? 6 2 2 2

1 2
H G N M

∴M(

2 3 1 k ,? ,代入 y ? ? ( x ? 3)( x ? 6) 2k ? 6 ) 2 2 3
2

1? 2 ? 2 3 2 1 ∴? ? k? ? k ?6?? k ? 6 , ? k 2 ? 2 2k ? 0 ? ? 3? 2 ? 2 2 6
P

∴k = 0(舍去) , k ? 12 2 y ∴M(12,– 30) (3) 如图,直线 AC 为 y ? ? x ? 6 ,设 D(t,– t + 6) ∵直线 AB 为 y ? 2 x ? 6 ,∴M( ? ,– t + 6) ∵ED//AC,∴ kEO ? k AC ? ?1
t 2

E N

M G D

∴直线 EO 为 y ? ?x ,联立 ?
?x ? 2 ,∴N(2,– 2) ? y ? ?2

? y ? ?x ? y ? 2x ? 6

∴?

∴ S重合 ? S?ABO ? S?BNO ? S?AMG ? ? 3 ? 6 ? ? t ? ? ? 3 ? 2
?6? t2 2 1 ? ? ? 6?3 4 9 2

1 2

t 2

1 2

1 2

∴ t ? ?4 ,∴t = 4,D(4,2)
? 1 3 ? 33 ? y? x ?x ? ? 1 ? ? 2 4 ∴直线 OD 为 y ? x ,联立 ? ,解得 ? 1 2 2 3 ? 33 ?y ? ? x ? x ? 6 ?y ? ? ? 3 ? 8 ?
3 ? 33 3 ? 33 3? 3 , ) ( 4 8 4 二.经典例题。

∴P(



3 ? 33 ) 8

(1)直线 AC 的 解析式为 y=2x ? 2;抛物线 L1:y =

1 2 x ? 2 .(4 分) 2

1 2 ? ?y ? x ? 2 (2)由 ? 2 ? ? y ? 2x ? 2

解得 ?

? x1 ? 4 ?x2 ? 0 ,? (舍) , ? y1 ? 6 ? y 2 ? ?2

∴点 D 的坐标为(4,6) ,∴S△OBD=6,∴S△EAD=3, (5 分) 作 DE⊥x 轴于 H,则 OH=4 作 EF//y 轴,交直线 AD 于 F,

1 2t ? 2) 设E (t, t 2 ? 2) , 则F (t, 2
当 E 在直线 AD 下方时(0<t<4), EF ? 2t ?

1 2 t 2
y D

S? EAD ? S? EFA ? S? EFD ?

1 1 EF ? OG ? EF ? GH 2 2 1 1 2 ? EF ? OH ? 2(2t ? t ) ? 3 2 2 3 5 t =1或3. ? E (1,- )或(3,) (6 分) 2 2
1 2 t ? 2t 2

当 E 在直线 AD 上方时(t<0 或 t>4),

EF ?

B E F

O A

F C G E

1 1 当 t<0 时, S? EAD ? S? EFD ? S? EFA ? EF ? OH ? 2( t 2 ? 2t ) ? 3 2 2 1 1 当 t>4 时, S? EAD ? S? EFA ? S? EFD ? EF ? OH ? 2( t 2 ? 2t ) ? 3 2 2 7 7 解得 t =2 ? 7. ? E (2+ 7, +2 7)或(2 ? 7, ? 2 7) 2 2

H

x

综上,E 的坐标为:

3 5 7 7 。 (1,- )或(3,)或 (2+ 7, +2 7)或(2 ? 7, ? 2 7) 2 2 2 2
(3)①抛物线 L2 的解析式为 y =

∴P(0, ?2 ? m ), M (? 2m ? 4, 0)

1 2 x ? 2 ? m, 2

? y ? 2x ? 2 ? 由 ? y ? 1 x2 ? 2 ? m ? ? 2 ∴ Q(2+ 2m ? 4, 0)

, 2+2 2m ? 4) 得 N (2+ 2m ? 4,

∴ MQ ? 2+ 2m ? 4 ? 2m ? 4 ? 2 ? 2 2m ? 4 ? NQ ∴∠NMQ=45°(10 分) ②设直线 MN 交 y 轴于 T,过点 N 作 NH⊥y 轴于点 H。 ∵PN 平分∠MNQ,NQ∥TP ∴∠MNP=∠PNQ=∠TPN, ∴PT=NT, ∵△MOT, △NHT 均为等腰直角三角形, ∴MO=NO,HT=HN, ∴NT= 2 NH,PT=TO+OP=OM+OP ∴ 2(2+ 2m ? 4) ? 2m ? 4 ? m ? 2 M O A P T C H y N

Q x

令 m ? 2 ? t,

则 t 2 ? ( 2 ? 2)t ? 2 2 ? 0

解得 t =2或t ? ? 2(舍)

? m ? 2 ? 2,

? m ? 2 (12 分)

三.中考演练 ⑴AD: y ? x ? 1 ⑵过点 F 作 x 轴的垂线,交直线 AD 于点 M,易证△FGH≌△FGM 故 C△FGH ? C△FGM 设 F (m, ?m2 ? 2m ? 3) 则 FM= ?m2 ? 2m ? 3 ? (m ? 1) ? ?m2 ? m ? 2 则 C= FM ? 2 ? 故最大周长为 ⑶
FM 1 9?9 2 ? (1 ? 2) FM ? ?(1 ? 2)(m ? )2 ? 2 4 2

9+9 2 4

①若 AP 为对角线 如图,由△PMS∽△MAR 可得 P(0, ) 由点的平移可知 Q(?2, ) 故 Q 点关于直线 AM 的对称点 T 为 (0, ? ) ②若 AQ 为对角线
1 2 7 由点的平移可知 Q (2, ) 2
1 2 9 2

1 2

如图,同理可知 P (0, ? )

故 Q 点关于直线 AM 的对称点 T 为 (0, )

9 2


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