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a零点存在定理


函数的零点和方程的根
y = f ( x) ? f ( x) = 0

问题1: 海豚跳跃时的路径 呈现优美的抛物线 形。如果海豚从海面越出的那一刻起, 路程与时间形成的函数关系式是:请 问:根据关系式你会计算海豚在海面 上停留的最长时间吗?

思考:一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的根与二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象有什么关系?

方程 函数 函 数 的 图 象
方程的实数根 函数的图象 与x轴的交点 轴的交点

x2-2x-3=0 x2-2x+1=0 x2-2x+3=0 - y= x2-2x-3 y= x2-2x+1 y= x2-2x+3 .
-1

y
2 1

. .
-1 -2

y

.y
2

. . . 1 .
2

.

.
x
-1

5

0

1

2

3

x
-1

1

0

-3 -4

3 2 1

.

4

.

.

.

. x1=x2=1 (1,0)

0

1 2

3

x

x1=-1,x2=3 - (-1,0)、(3,0)

无实数根 无交点

判别式△ 判别式△ = b2-4ac 方程ax 方程 2 +bx+c=0 (a≠0)的根 的根 函数y= ax2 +bx 函数 +c(a≠0)的图象 的图象

△>0

△=0

△<0 没有实数根
y

两个不相等 有两个相等的 的实数根x1 、x2 实数根 1 = x2 的实数根 实数根x
y y
x1 0 x2 x 0 x1

x

0

x

函数的图象 与 x 轴的交点

(x1,0) , (x2,0)

(x1,0)

没有交点

推广:对于一般方程 f ( x ) = 0 与相应函数 y = f ( x )
① 若 f ( x) = 0 有实数根 c ,即 f (c) = 0 ;
则相应函数 y = f ( x) 图象必经过点 ( c,0 ) 。

则相应的函数 y = f ( x) 图象与 x 轴 ②若方程 f ( x) = 0 没有实数根,

没有交点。

函数零点的定义: 函数零点的定义: 对于函数y=f(x),我们把使 我们把使f(x)=0的实数 叫做函数 的实数x叫做函数 对于函数 我们把使 的实数 y=f(x)的零点。 的零点。 的零点 等价关系 方程f(x)=0有实数根 有实数根 方程 函数y=f(x)的图象与 轴有交点 的图象与x轴有交点 函数 的图象与 函数y=f(x)有零点 有零点 函数

零点: 零点:
对于函数y = f ( x ),我们把使f ( x ) = 0的实数x叫做
函数 y = f ( x )的

零点。

1、不是所有的函数都有零点 2、函数的零点并不是“点”,而是 数 3、方程的根与函数的零点关系密切,方程有 几个根,函数就有几个零点,方程无根,则函 数无零点。

函数零点的意义:
函数y = f ( x)的零点就是方程f ( x) = 0的实数根,
也就是函数y=f ( x )的图象与x轴交点的横坐标。

∴ 方程 f ( x ) = 0有实数根
? 函 数 y = f ( x )的 图 象 与 x 轴 有 交 点
? 函 数 y = f ( x )有 零 点

例题1:求下列函数的零点:

(1) f ( x ) = ln x ? 1
2) f ( x ) = x2 ? 5x + 6 (

( 3) f ( x ) = 2 x ? 1

思考
请观察下图,这是气象局测得的某地特殊的一天的 一张气温变化的模拟函数图(即一个连续不间断的 函数图象),中有一段被墨水污染了,现在有人想 了解一下当天7时到11时之间是否有可能出现温度 是0摄氏度。你能帮助他确定吗?请说明理由。
y

x

结 论

如果函数 y = f ( x) 在区间[ a, b ]上的图象是连续不断的一条曲线,
并且有 f (a ) ? f (b) < 0 , 那么, 函数 y = f ( x ) 在区间 ( a, b ) 内有零点,

即存在 c ∈ ( a, b ) ,使得 f (c) = 0 ,这个 c 也就是方程 f ( x) = 0 的根。


a

b

a

b

a

b

a

b

再思考:
(1)如果函数在区间

( a, b ) 内有零点 , f ( a ) f ( b ) < 0

成立吗?
(2)已知函数的图象是连续不断的,有

F 如下的x, ( x ) 对应值表:

x 1 F(x) -1

2 3 -1.1 2

4 -3

5 0.2

6 4

函数 F ( x ) 在区间[1,6]上的零点至少有几个?

(3)画出一个在区间[1,6]内有且只有一个零 点的函数示意图 (4)归纳求函数 y = f ( x) 零点的方法

求出对应方程的f ( x ) =0的根 代数法:
几何法: 画出函数的图象

例题 2:判定函数 f ( x) = Inx + 2 x ? 6 是否有零点? 若有,则有几个?指出函数零点所在的大致区间

分析:作出x,f ( x )的对应值表,再画函数图象

x
f ( x)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

解 用 算 或 算 作 x 、f (x) 的 应 表 图 : 计 器 计 机 出 对 值 和 象

x
f ( x)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

? 4 ? 1.3

1.1 3.4 5.6 7.8 9.9 12.1
y

由上表和右图可得, f (2) < 0 , f (3) > 0 ,即

14.2

f (2) ? f (3) < 0 , 说明这个函数在区间 ( 2,3)

5 4 3 2 1 -1 0 -1 -2 -3 -4 1 2 3 4 5 x

函数 f ( x) = Inx + 2 x ? 6 内有零点。
是增函数,所以它仅有一个零点。

练习: (1)判断下列方程有没有根?有几个根?
(1) ? x 2 + 3x + 5 = 0 ( 2) x2 = 4x ? 4

(2)判断函数零点的个数,并指出零 所在的大致区间(长度不超过1)

f ( x) = e + 4x ? 4
x?1

小结:
1、 函数 y = f ( x )的零点定义
2、三种等价关系 3、函数零点或方程根的存在性以及根的个数的判定。


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