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高中必修二 第一二章知识点整理。



必修 2 知识点归纳
第一章 空间几何体
1、空间几何体的结构:空间几何体分为多面体和旋转体和简单组合体 ⑴常见的多面体有:棱柱、棱锥、棱台;常见的旋转体有:圆柱、圆锥、圆台、球。简单组合体的构成形 式: 一种是由简单几何体拼接而成,例如课本图 1.1-11 中(1) (2)物体表示的几何体; 一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成,例如课本图 1.1-11

中(3) (4)物体表示的几何体。

简单组合体

⑵棱柱:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些 面所围成的多面体叫做棱柱。 ⑶棱台:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与截面之间的部分,这样的多面体叫做棱台。

1、空间几何体的三视图和直观图
把光由一点向外散射形成的投影叫中心投影,中心投影的投影线交于一点;把在一束平行光线照射下 的投影叫平行投影,平行投影的投影线是平行的。 (1)定义: 正视图:光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图; 侧视图:光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图; 俯视图:光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图。 几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图。 (2)三视图中反应的长、宽、高的特点: “长对正”“高平齐”“宽相等” , , 2、空间几何体的直观图(表示空间图形的平面图). 观察者站在某一点观察几何体,画出的图形.

3、斜二测画法的基本步骤:
①建立适当直角坐标系 xO y (尽可能使更多的点在坐标轴上)
0 0 ②建立斜坐标系 ? x O y ,使 ? x O y =45 (或 135 ) ,注意它们确定的平面表示水平平面;

'

'

'

'

'

'

③画对应图形,在已知图形平行于 X 轴的线段,在直观图中画成平行于 X 轴,且长度保持不变;在已 知图形平行于 Y 轴的线段,在直观图中画成平行于 Y 轴,且长度变为原来的一半; 一般地,原图的面积是其直观图面积的 2 2 倍,即 S 原 图= 2




2S直观

4、空间几何体的表面积与体积
⑴圆柱侧面积; S 侧面 ? 2 ? ? r ? l

r S侧=2πr?l B

l r

l A

AB=2πr

⑵圆锥侧面积: S 侧面 ? ? ? r ? l
A l V θ l r h l B 1 弧长 半径 2 图中:扇形的半径长为l, 圆心角为θ,弧AB 的长 L θ?l(注:扇形的弧长等于 圆心角乘以半径.提醒圆心角 π 为弧度角,例如60° 弧度, 3 π π 45° 弧度,90° 弧度等等) 4 2

圆锥的侧面展开图是扇形, 扇形面积S扇形

⑶圆台侧面积: S 侧面 ? ? ? r ? l ? ? ? R ? l
O1 r h O2 R l

R
⑷体积公式:

O d O1

V 柱体 ? S ? h ; V 锥体 ?

1 3

S ?h;

r

d= R2-r2

V台 体 ?

1 3

h S上 ?

?

S上 ? S下 ? S下

?

⑸球的表面积和体积:

S 球 ? 4? R , V 球 ?
2

4 3

? R .一般地,面积比等于相似比的平方,体积比等于相似比的立方。
3

第二章 点、直线、平面之间的位置关系及其论证
1、公理 1:如果一条直线上两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内。

α

A

B

l

? A ? l, B ? l ? l ?? ? ?A??,B ??

公理 1 的作用:判断直线是否在平面内

2、公理 2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。

α

C A

B

若 A,B,C 不共线,则 A,B,C 确定平面 ?

推论 1:过直线的直线外一点有且只有一个平面

α
α

A
A

l
l
m

若 A ? l ,则点 A 和 l 确定平面 ?

推论 2:过两条相交直线有且只有一个平面

若 m ? n ? A ,则 m , n 确定平面 ?

推论 3:过两条平行直线有且只有一个平面

α

m n

若 m ? n ,则 m , n 确定平面 ? 公理 2 及其推论的作用:确定平面;判定多边形是否为平面图形的依据。

3、公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直 线。
β α
P

·

L

P ? ? , P ? ? ? ? ? ? ? l且 P ? l

公理 3 作用: (1)判定两个平面是否相交的依据; (2)证明点共线、线共点等。

4、公理 4:也叫平行公理,平行于同一条直线的两条直线平行. a ? b , c ? b ? a ? c
公理 4 作用:证明两直线平行。

5、定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补。
a
1 b a' 2 b' a 1 a' 2 b'

a ? a ? , b ? b ?且 ? 1与 ? 2 方 向 相 同 ? ? 1= ? 2

b

方向相同则 ∠1=∠2

方向相反则 a ? a ? , b ? b ?且 ? 1与 ? 2 方 向 相 反 ? ? 1 ? ? 2=180 ? ∠1+∠2=180°

作用:该定理也叫等角定理,可以用来证明空间中的两个角相等。

6、线线位置关系:平行、相交、异面。 a ? b ,
(1)没有任何公共点的两条直线平行 (2)有一个公共点的两条直线相交 (3)不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线

a ? b ? A,

a , b异 面

a ?A
b

7、线面位置关系:

a ?
(2)

a ? A
(3)

?
(1)

a

(1)直线在平面内,直线与平面有无数个公共点; a ? ? (2)直线和平面平行,直线与平面无任何公共点; a ? ? (3)直线与平面相交,直线与平面有唯一一个公共点; a ? ? ? A

8、面面位置关系:平行、相交。

9、线面平行: (即直线与平面无任何公共点)
⑴判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。 (只需在平面内找一条直线和平面外的直线平行就可以)

a??? ? b ? ? ? ? a // ? a // b ? ?
证明两直线平行的主要方法是: ①三角形中位线定理:三角形中位线平行并等于底边的一半; ②平行四边形的性质:平行四边形两组对边分别平行; ③线面平行的性质:如果一条直线平行于一个平面,经过这条直线的平面与这个平面相交,那么这条 直线和它们的交线平行;

? ? a ? ? ? ? a ?b ? ? ? ? ? b?
④平行线的传递性: a ? b , c ? b ? a ? c ⑤面面平行的性质:如果一个平面与两个平行平面相交,那么它们的交线平行;
? ??

a ??

? ? ? ? ? ? a? ? a ?b ? ? ? ? ? b?

⑥垂直于同一平面的两直线平行;

a??? ? ? a ?b b???

⑵直线与平面平行的性质:如果一条直线平行于一个平面,经过这条直线的平面与这个平面相交,那么这 条直线和它们的交线平行; (上面的③)

10、面面平行: (即两平面无任何公共点)
(1)判定定理:一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行。

a ? ? ,b ? ? ? ? a?b? A ?? ? ?? a ? ? ,b ? ? ? ?
判定定理的推论: 一个平面内的两条相交直线与另一个平面上的两条直线分别平行,两平面平行

a,b ? ?

? ? a?b? A ? ?? ? ?? a ? a ?, b ? b ? ? a ?, b ? ? ? ? ?
(2)两平面平行的性质: 性质Ⅰ:如果一个平面与两平行平面都相交,那么它们的交线平行;

? ??

? ? ? ? ? ? a? ? a ?b ? ? ? ? b? ?

性质Ⅱ:平行于同一平面的两平面平行;

? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ?

性质Ⅲ:夹在两平行平面间的平行线段相等;
? ??

? ? A, C ? ? ? ? ? AC ? BD B, D ? ? ? AB ? CD ? ?

性质Ⅳ:两平面平行,一平面上的任一条直线与另一个平面平行;

? ?? ? ? ?? ? ? ? a ? ?或 ? ? a ?? a ? ?? a ? ??

11、线面垂直:
⑴定义:如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线,那么就说这条直线和这个平面垂直。 ⑵判定:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直。

l ? m

? ? l ? n ? ?? l ?? m ? n ? A? m, n ? ? ? ?
⑶性质Ⅰ:垂直于同一个平面的两条直线平行。

a??? ? ? a ?b b???
性质Ⅱ:垂直于同一直线的两平面平行 12、面面垂直: ⑴定义:两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直。

? ? l? ? ? l?

?? ? ??

⑵判定:一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这两个平面垂直。
l ? ?? l ? ??

? ? ? ? ? (只需在一个平面内找到另一个平面的垂线就可证明面面垂直)

⑶性质:两个平面互相垂直,则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。

? ? ?

? ? ? ? ? ? m? ?? l? ? l ? ? ? ? l ? m ?
证明两直线垂直和主要方法: ①利用勾股定理证明两相交直线垂直; ②利用等腰三角形三线合一证明两相交直线垂直; ③利用线面垂直的定义证明(特别是证明异面直线垂直) ; ④利用三垂线定理证明两直线垂直( “三垂”指的是“线面垂” “线影垂”“线斜垂” , )
P 斜 α A 影 O a 线
如 图 : P O ? ? ? O A是 P A 在 平 面 ? 上 的 射 影 ? 又 直 线 a ? ? , 且 a ? OA 即:线影垂直 ? 线斜垂直,反之也成立。

? ?

? a ? PA

④利用圆中直径所对的圆周角是直角,此外还有正方形、菱形对角线互相垂直等结论。

空间角及空间距离的计算
1.异面直线所成角: 使异面直线平移后相交形成的夹角,通常在在两异面直线中的一条上取一点,
过该点作另一条直线平行线,
如 图 : 直 线 a 与 b 异 面 , b / / b ?, 直 线 a 与 直 线 b ?的 夹 角 为 两 异 面 直 线 a 与 b 所 成 的 角 , 异 面 直 线 所 成 角 取 值 范 围 是 ( 0 ?, 9 0 ? ]

2. 斜线与平面成成的角:斜线与它在平面上的射影成的角。如图:PA 是平面 ? 的一条斜线,A
为斜足,O 为垂足,OA 叫斜线 PA 在平面 ? 上射影, ? P A O 为线面角。

3.二面角:从一条直线出发的两个半平面形成的图形,如图为二面角 ? ? l ? ? ,二面角的大小
指的是二面角的平面角的大小。二面角的平面角分别在两个半平面内且角的两边与二面角的棱垂直

如 图 : 在 二 面 角 ? - l - ? 中 , O棱 上 一 点 , O A ? ? , O B ? ? ,

且 O A ? l , O B ? l , 则 ? A O B为 二 面 角 ? - l - ? 的 平 面 角 。 用二面角的平面角的定义求二面角的大小的关键点是:

①明确构成二面角两个半平面和棱; ②明确二面角的平面角是哪个? 而要想明确二面角的平面角,关键是看该角的两边是否都和棱垂直。 (求空间角的三个步骤是“一找”“二证”“三计算” 、 、 )

4.异面直线间的距离:指夹在两异面直线之间的 公垂线段的长度。如图 P Q 是两异面直线间的距离
(异面直线的公垂线是唯一的,指与两异面直线垂直且相交的直线) 5.点到平面的距离:指该点与它在平面上的

射影的连线段的长度。 如图:O 为 P 在平面 ? 上的射影, 线段 OP 的长度为点 P 到平面 ? 的距离 求法通常有:定义法和等体积法 等体积法:就是将点到平面的距离看成是 三棱锥的一个高。如图在三棱锥 V ? A B C 中有: V S ? A B C ? V A ? SB C ? V B ? SA C ? V C ? SA B



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