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【天津市2013届高三数学总复习之模块专题:04 函数与方程(学生版)]



函数与方程 考查内容:函数零点的概念、零点的存在性定理。 补充内容:常见的超越方程模型,二次函数根的分布理论,用数形结合思想研究 超越方程根的问题。 1、函数 f ( x) ? ln A、 (1, 2 )

3? 2 ? 的零点一定位于区间( 2 x
C、 (3,4) D、 (4,5)



B、 (2,3)

1 2、设函数 f ( x) ? x ? ln x( x ? 0), 则 y ? f ( x) ( 3



?1 ? A、在区间 ? ,1? , ?1, e? 内均有零点 ?e ? ?1 ? B、在区间 ? ,1? , ?1, e? 内均无零点 ?e ? ?1 ? C、在区间 ? ,1? 内有零点,在区间 ?1, e? 内无零点 ?e ? ?1 ? D、在区间 ? ,1? 内无零点,在区间 ?1, e? 内有零点 ?e ?

3、若 x0 是方程 lg x ? x ? 2 的解,则 x0 属于区间( A、 ( 0 ,1) B、 (1,1.25) C、 (1.25,1.75)

) D、 (1.75,2) )

4、函数 f ( x) ? cos?x ? log3 x 的零点个数是( A、1 B、2 C、3 D、4 )

5、函数 y ? 2 x ? x 2 的图象大致是(

6、设函数 f ( x) ? 4 sin(2 x ? 1) ? x ,则在下列区间中 f ( x) 不存在零点的是(



A、 [?4,?2]

B、 [?2,0]

C、 [0,2]

D、 [2,4]

7、已知 a ? 0 ,函数 f ( x) ? ax 2 ? bx ? c ,若 x0 满足关于 x 的方程 2ax ? b ? 0 ,则 下列命题中为假命题的是( A、 ?x ? R, f ( x) ? f ( x0 ) C、 ?x ? R, f ( x) ? f ( x0 )
x

) B、 ?x ? R, f ( x) ? f ( x0 ) D、 ?x ? R, f ( x) ? f ( x0 )

?1? 8、已知函数 f ? x ? ? ? ? ? log 2 x ,若实数 x0 是方程 f ? x ? ? 0 的解,且 0 ? x1 ? x0 , ?3?

则 f ? x1 ? 的值为( A、恒为正值

) C、恒为负值 D、不大于 0

B、等于 0

9、已知 f ( x) ? ( x ? a)( x ? b) ? 1 , m, n 是方程 f ( x) ? 0 的两根,且 a ? b , m ? n , 则 a 、 b 、 m 、 n 的大小关系是( A、 m ? a ? b ? n C、 a ? m ? b ? n )

B、 a ? m ? n ? b D、 m ? a ? n ? b

10、若 f ( x) ? (m ? 2) x2 ? mx ? (2m ? 1) ? 0 的两个零点分别在区间 (?1,0) 和区间 (1, 2) 内,则 m 的取值范围是(
? 1 1? A、 ? ? , ? ? 2 4? ? 1 1? B、 ? ? , ? ? 4 2?


?1 1? C、 ? , ? ?4 2? ?1 1? D、 ? , ? ?4 2?

11、方程 x ? log2 x ? 2 和 x ? log3 x ? 2 的根分别是 ? 、 ? ,则有( A、 ? ? ? B、 ? ? ? C、 ? ? ?



D、无法确定 ? 与 ? 的大小 )

12、设 f ( x) ?| 3 x ? 1 | , c ? b ? a 且 f (c) ? f (a) ? f (b) ,则下列一定成立的是( A、 3c ? 3b B、 3b ? 3a C、 3 c ? 3 a ? 2 D、 3 c ? 3 a ? 2

13、已知函数 f ( x) ? x ? 2 x , g ( x) ? x ? ln x , h( x) ? x ? x ? 1 的零点分别为
x1 , x 2 , x3 ,则 x1 , x 2 , x3 的大小关系是(



A、 x1 ? x2 ? x3

B、 x2 ? x1 ? x3

C、 x1 ? x3 ? x2

D、 x3 ? x2 ? x1

14、已知 a ? 1, 若函数f ?x? ? a x ? x ? 4的零点为 m, g ( x) ? loga x ? x ? 4的零点为 n,
则 1 4 ? 的取值范围是( m n

) C、 ?1,???
?7 ? D、 ? ,?? ? ?3 ?

?9 ? A、 ? ,?? ? ?4 ?

?3 ? B、 ? ,?? ? ?2 ?

15、设 a ? 1 ,若对于任意的 x ? [ a, 2a ] ,都有 y ? [a, a 2 ] 满足方程 log a x ? log a y ? 3 , 这时 a 的取值集合为( A、 {a |1 ? a ? 2} ) C、 {a | 2 ? a ? 3} D、 {2,3}

B、 {a | a ? 2}

16、函数 f ? x ? ? ax2 ? bx ? c ? a ? 0? 的图象关于直线 x ? ?

b 对称。据此可推测, 2a
2

对任意的非零实数 a, b, c, m, n, p, 关于 x 的方程 m ? ? f ? x ?? ? ? nf ? x ? ? p ? 0 的解 集都不可能是(
A、 ? 1,2? B、 ? 1,4?


C、 ? 1,2,3,4? D、 ? 1,4,16,64?

17、定义域和值域均为 ?? a , a ?(常数 a ? 0 )的函数 y ? f ?x ? 和 y ? g ?x ? 的图象如图 所示,给出下列四个命题:

p :方程 f ?g ?x ?? ? 0 有且仅有三个解; q :方程 g ? f ?x ?? ? 0 有且仅有三个解;

r :方程 f ? f ?x ?? ? 0 有且仅有九个解; s :方程 g ?g ?x ?? ? 0 有且仅有一个解。
那么,其中正确命题的个数是( A、4 B、3 C、2 ) D、1

18、关于 x 的方程 ( x2 ?1)2 ? x2 ?1 ? k ? 0 ,给出下列四个命题: ①存在实数 k ,使得方程恰有 2 个不同的实根; ②存在实数 k ,使得方程恰有 4 个不同的实根; ③存在实数 k ,使得方程恰有 5 个不同的实根; ④存在实数 k ,使得方程恰有 8 个不同的实根。 其中,假命题的个数是( A、0 B、1 C、2 ) D 、3

19、 (函数零点问题)判断下列函数零点的个数。 ① 函数 f ( x) ? 2 x ? x 2 有 ②函数 f ( x) ? x ? sin x, x ? R 有 ③ 函数 f ( x) ? sin x ? tan x 在区间 (? ④函数 f ( x) ? lg x ? x ? 3 有 ⑤ 函数 f ( x) ? ln x ? 个零点; 个零点;

? ?

, ) 上有 2 2
个零点;

个零点;

x ? k , ( x ? 0) ,其中 k 为正常数,有 e x 思考:当 k ? R 时,函数 f ( x) ? ln x ? ? k , ( x ? 0) ,有几个零点? e

个零点。

解析:利用导函数分析函数零点问题。
x ? k , ( x ? 0) ,有 e x 当 k ? 0 时,函数 f ( x) ? ln x ? ? k , ( x ? 0) ,有 e x 当 k ? 0 时,函数 f ( x) ? ln x ? ? k , ( x ? 0) ,有 e x 函数 f ( x) ? ln x ? ? k , ( x ? 0) 的图象: e

当 k ? 0 时,函数 f ( x) ? ln x ?

个零点; 个零点; 个零点。

20、已知函数 f ( x) ? sin ?x(? ? 0)在?0,1? 内至少有 5 个最小值点,则正整数 ? 的最小值为 。

?log 2 ? x ? 1? , x ? 0 ? 21、已知函数 f ? x ? ? ? 2 ,若函数 g ? x ? ? f ? x ? ? m ,有 3 个零点,则 ? ? ? x ? 2 x, x ? 0

实数 m 的取值范围是



22、 已知定义在 R 上的奇函数 f ( x) , 满足 f ? x ? 4? ? ? f ? x ? , 且在区间 ? ?0, 2? ? 上是增 函数,若方程 f ? x ? ? m ? m ? 0? 在区间 ? ??8,8? ? 上有四个不同的根 x1, x2 , x3, x4 , 则
x1 ? x2 ? x3 ? x4 ?



解析:

23、 (曲线交点问题)直线 y ? 1与曲线 y ? x2 ? x ? a 有四个交点,则实数 a 的取值范围是 解析: 。

24、 (超越方程问题)若方程 3x ? lg(? x) 有两个不等的实根 x1 , x2 ,则 x1 ? x2 的取值 范围是 解析: 。

25、 (超越方程问题)若 x1 满足方程 2 x ? 2 x ? 5 , x2 满足方程 2 x ? 2 log2 ( x ? 1) ? 5 , 则 x1 ? x2 ? 解析: 。

26、 (超越方程问题)设 a ? 1 ,若仅有一个常数 c 使得 ?x ? [a,2a ] ,都有 y ? [a, a 2 ] 满足方程 loga x ? loga y ? c ,则实数 a 的取值范围是 解析: 。

27、已知 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) ,且方程 f ( x) ? x 无实数根。有下列命题: ① 方程 f [ f ( x)] ? x 一定有实数根; ②若 a ? 0 ,则不等式 f [ f ( x)] ? x 对一切实数 x 都成立; ③ 若 a ? 0 ,则必存在实数 x0 ,使 f [ f ( x0 )] ? x0 ; ④若 a ? b ? c ? 0 ,则不等式 f [ f ( x)] ? x 对一切实数 x 都成立。 其中,正确命题的序号是 解析: 。

? ? ?? 28、设函数 f ?x ? ? x 2 ? 2 cos x, x ? ?? , ? ,对于定义域内任意的 x1 , x2 来说,有以 ? 2 2?
2 x1 ? x2 ;② x12 ? x2 下列 4 个命题:① ;③x1 ? x2 ;④ x1 ? x2 。其中,能使不等式

f ( x1 ) ? f ( x2 ) 恒成立的命题序号是



解析:



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