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高二第二学期期中考试理科数学试卷(含答案)



2014—2015 学年第二学期期中考试卷

高二数学理科(满分 150 分,考试时间 120 分钟)
一 选择题:(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.) 1.复数 z ? (2 ? i )i 在复平面内的对应点在( A.第一象限 B.第二象限 ) D.第四象限 )

C.第三象限

2、在线性回归模型 y ? bx ? a ? e 中,下列说法正确的是( A. y ? bx ? a ? e 是一次函数

B.因变量 y 是由自变量 x 唯一确定的 C.因变量 y 除了受自变量 x 的影响外,可能还受到其它因素的影响,这些因素会导 致随机误差 e 的产生 D.随机误差 e 是由于计算不准确造成的,可以通过精确计算避免随机误差 e 的产生 3.物体运动方程为 S ? t 4 ? 3 ,则 t ? 2 时瞬时速度为(

1 4



A.2 B.4 C. 6 D.8 4、在平面几何里,有勾股定理: “设△ABC 的两边 AB,AC 互相垂直,则 AB2+AC2=BC2” 拓展到空间,类比平面几何的勾股定理, “设三棱锥 A—BCD 的三个侧面 ABC、ACD、 ADB 两两相互垂直,则可得” ( ) (A)AB2+AC2+ AD2=BC2+ CD2 + BD2
2 2 2 2 (B) S ΔABC ×S ΔACD ×S ΔADB = S ΔBCD

(C)

2 2 2 2 SΔ ABC + SΔACD + SΔADB = SΔBCD

(D) AB2×AC2×AD2=BC2 ×CD2 ×BD2 5.已知函数 f (x)的导函数 f ?( x) 的图象如右图所示, 那么函数 f (x)的图象最有可能的是(
y y

y

f ?( x )

)
y

O -1

1

2

x y

-2 O 1

2 x -2 O

1 2 x

-2 O

1 2 x

-2 O 1 2 x

A B C D 6.有一段“三段论”推理是这样的: 对于可导函数 f ( x) ,如果 f ?( x0 ) ? 0 ,那么 x ? x0 是函数 f ( x) 的极值点,因为函数

f ( x) ? x3 在 x ? 0 处的导数值 f ?(0) ? 0 ,所以, x ? 0 是函数 f ( x) ? x3 的极值点. 以上推理中( ) A.大前提错误 B. 小前提错误 C.推理形式错误 D.结论正确
第 1 页 共 10 页

7、设 f ( x) ? x ?
3

1 2 x ? 2 x ? 5 ,当 x ? [?1,2] 时, f ( x) ? m 恒成立,则实数 m 的 2
) B、 m >

取值范围为( A、 m > 7

157 27

C、

157 < m< 7 27

D、 m < 7

8、由曲线 y ? x 2 ? 1 ,直线 x ? y ? 3 及 x ? 2 所围成的图形的面积是(



A. 3

B.

13 6

C.

19 6
) D.45

D.

9、 A.-40

的展开式中, B.10

的系数为( C.40

10、若函数 y = f (x ) 在 R 上可导,且满足不等式 满足 a > b ,则下列不等式一定成立的是( A. f (b) ln a < f (a ) ln b C. f (a ) ln a < f (b) ln b

f (x ) < - f ' (x ) ln x 恒成立,且常数 a , b x


B. f (a ) ln a > f (b) ln b D. f (b) ln a > f (a ) ln b

二、填空题 (共 4 小题,每题 4 分,共 20 分) 11.计算

1? i =_____________。 1? i

12、若曲线 y=kx+lnx 在点(1,k)处的切线平行于 x 轴,则 k=________ 13. 有五项工作,四个人来完成且每人至少做一项,共有 14 、 设 函 数 f (x ) =

种分配方法。
x , x+2

x (x > 0) , 观 察 : x+2

f1(x ) = f (x ) =

f2 (x ) = f ( f1(x )) =

x x , f3 (x ) = f ( f2 (x )) = , 3x + 4 7x + 8 x , ??根据以上事实, 由归纳推理可得: 当 n 属于 N*且 n>=2 15x + 16

f4 (x ) = f ( f3 (x )) =

时, fn (x ) = f ( fn - 1(x )) =

第 2 页 共 10 页

三、解答题:共 6 小题,共 80 分 15. (12 分)已知复数 z=(1+i)a2-(7+5i)a+6-6i,试求当实数 a 为何值时,Z 为 (1)实数, (2)纯虚数, (3)Z 表示的点在直线 y+x=0 的右上方区域。

16. (12 分) 若

展开式中第二、三、四项的二项式系数成等差数列.

(1)求 n 的值; (2)此展开式中是否有常数项,为什么? 17(14 分)甲乙两个班级均为 40 人,进行一门考试后,按学生考试成绩及格与不及格进 行统计,甲班及格人数为 36 人,乙班及格人数为 24 人. (1) 根据以上数据建立一个 2 ? 2 的列联表; (2) 画出列联表的等高条形图,并通过图形判断成绩与班级是否有关; (3)试判断是否成绩与班级是否有关? n(ad ? bc)2 参考公式: K 2 ? ;n ? a ?b?c?d (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d ) P(K2>k) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.84 5.024 6.635 7.879 10.83 18. (14 分) 已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? c 在 x ? ? (1)求 a , b 的值与函数 f ( x ) 的单调区间 (2)若对 x ? [?1, 2] ,不等式 f ( x) ? c 恒成立,求 c 的取值范围。
2

2 与 x ? 1 时都取得极值 3

19. (14 分)已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , a1 ? ? , Sn ? (I)求 S2 , S3 , S4 的值; (Ⅱ)猜想 Sn 的表达式;并用数学归纳法加以证明。 20. (14 分)已知 f ( x) ?

2 3

1 ? an ? 2(n ? 2, n ? N ) 。 Sn

ax3 ? (a ? 1) x 2 ? 4 x ? 1?a ? R ? 3

(1)当 a ? ?1 时,求函数的单调区间。 (2)当 a ? R 时,讨论函数的单调增区间。 (3)是否存在负实数 a ,使 x ? ?? 1,0? ,函数有最小值-3?
第 3 页 共 10 页

/////////////////////////不能在密封线内答题///////////////////////// ―――――――――――――――――――――密――――――――――――封―――――――――――线―――――――――――――――――

2014—2015 学年第二学期期中考试卷
高二数学(理科)答题卷
一、选择题:(每小题 5 分,共 50 分。) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

准考证号

二.填空题:(每小题 5 分,共 20 分。)
11.___________________ 12. ___________________

13. ___________________ 三.解答题: (共 80 分。) 15.(12 分)

14. ___________________

学校

班级

姓名

第 4 页 共 10 页

16.(12 分)

17.(14 分)

(1)

(2) 不及格 及格

甲班

乙班

(3)

第 5 页 共 10 页

18.(14 分)

19.(14 分)

第 6 页 共 10 页

20(14 分)

第 7 页 共 10 页

2011—2012 学年第二学期期中考试卷
高二数学(理)答题卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。 1 B 2 C 3 D 4 C 5 A 6 A 7 A 8 D 9 D 10 C

第Ⅱ 卷

非选择题(共 90 分)

二、填空题 共 4 小题,每题 4 分,共 16 分,只要求直接把你认为正确的答案填入答 .
案卷 中的相应位置,不必写出计算或推证过程,答在本试卷上无效 . .. ........

11. i,

14、-1

15. 240

16、

x , (2n - 1)x + 2n

三、解答题:共 6 小题,共 74 分,应写出文字说明、演算步骤或推证过程,并把你的
解答过程写在答案卷中的相应位置。

15.z=(1+i)a2-(7+5i)a+6-6i=(a2-7a+6)+(a2-5a-6)i………………….1 分 (1)a=-1 或 a=6, ………………….4 分 (2) a=-1 或 a=6 ………………….8 分 (3) a<0 或 a>6………………….12 分 16.解析: (1)n = 7 ;………………….6 分 (2)无常数项。………………….12 分 17. 解: (1)2× 2 列联表如下: 不及格 甲班 乙班 总计 4 (a) 16 (c ) 20 及格 36 (b ) 24 ( d ) 60 总计 40 40 80

。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。4 分 (2) 甲班不及格率 0.1,合格率 0.9;乙班不及格 0.4,及格率 0.6(图略) 。 。 。8 分 通过图形可以判断成绩与班级有关。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。9 分 n(ad ? bc)2 80 ? (4 ? 24 ? 16 ? 36) 2 ? ? 9.6 。 (3) K 2 ? 。 。 。 。 。 。12 分 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d ) 40 ? 40 ? 20 ? 60 由 P( K 2 ? 7.879) ? 0.005 ,所以有 99.5%的把握认为“成绩与班级有关系”…..14 分 18、解: (1) f ( x) ? x ? ax ? bx ? c, f ( x) ? 3x ? 2ax ? b
3 2 ' 2

1分

第 8 页 共 10 页

由 f (? ) ?
'

2 12 4 1 ? a ? b ? 0 , f ' (1) ? 3 ? 2a ? b ? 0 得 a ? ? , b ? ?2 3 9 3 2 ' 2 f ( x) ? 3x ? x ? 2 ? (3x ? 2)( x ?1) ,函数 f ( x) 的单调区间如下表: 2 2 2 (??, ? ) ? ( ? ,1) 1 x (1, ??) 3 3 3 ? ? ? 0 0 f ' ( x)

4分

f ( x)

极大值

极小值

2 ,1) ; 7 分 3 1 2 2 2 22 3 ?c (2) f ( x) ? x ? x ? 2 x ? c, x ? [ ?1, 2] ,当 x ? ? 时, f ( ? ) ? 2 3 3 27 1 为极大值,而 f (2) ? 2 ? c , f ( ?1) ? ? c 则 f (2) ? 2 ? c 为最大值, 10 分 2
所以函数 f ( x ) 的递增区间是 (??, ? ) 与 (1, ??) ,递减区间是 ( ? 要使 f ( x) ? c2 , x ?[?1, 2] 恒成立,则只需要 c2 ? f (2) ? 2 ? c , 得 c ? ?1, 或c ? 2 19.解: (I) S1 ? ? 14 分 13 分

2 3

2 3 4 5 , S2 ? ? , S3 ? ? , S4 ? ? ………………….4 分 3 4 5 6 n ?1 (n ? N ? ) ………………….5 分 (Ⅱ)猜想 S n ? ? n?2 2 数学归纳法证明: (1)当 n ? 1 时, S1 ? a1 ? ? 猜想成立;…………….6 分 3 k ?1 (2)假设 n ? k (k ? 2, k ? N ) 时猜想成立,即有: S k ? ? ,………….7 分 k?2
则 n ? k ? 1 时,因为 Sk ?1 ?

1 ? ak ?1 ? 2 , Sk ?1

即: ( Sk ? ak ?1 ) ?

1 1 ? ak ?1 ? 2,? ? ?2 ? Sk ;………………….9 分 Sk ?1 Sk ?1

? 由假设可知;


1 k ? 1 ?2(k ? 2) ? (k ? 1) k ?3 ? ?2 ? ? ?? , …………….12 Sk ?1 k ?2 k ?2 k ?2

k ?2 , n ? k ? 1 时,猜想成立; k ?3 n ?1 (n ? N ? ) 成立 ………………….14 分 由(1) (2)可知, S n ? ? n?2
从而有 S k ?1 ? ?
。 。 。 。 。

。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。… ……… ……… ……… ……… ….

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20. (1) x ? ?? ?,?2?, 或 x ? ?2,???, f ( x ) 递减; x ? ?? 2,2?, f ( x ) 递增; ……………….3 分 (2)1、当 a ? 0, x ? ?? ?,?2?, f ( x ) 递增; ………………….4 分
2 ? 2、当 a ? 0, x ? ? ? ,2 ?, f ( x ) 递增; ………………….5 分 ?a ? 2 ? 3 、 当 0 ? a ? 1, x ? ?? ?,2?, 或 x ? ? ? ,?? ?, f ( x ) 递 增 ; 当 a ? 1, x ? ?? ?,???, f ( x ) 递 增 ; 当 ?a ? 2? a ? 1, x ? ? ? ? ?, ?, 或 x ? ?2,???, f ( x ) 递增; ………………….8 分 a ? ? (3)因 a ? 0, 由②分两类(依据:单调性,极小值点是否在区间[-1,0]上是分类“契机” : 3 2 ? 1、当 2 ? ?1, ? a ? ?2, x ? ?? 1,0? ? ? ? ,2 ?, f ( x ) 递增, f ( x) min ? f (?1) ? ?3 ,解得 a ? ? ? ?2, 4 a ?a ?

2、当 2 ? ?1, ? a ? ?2, 由单调性知: f ( x ) min ? f ( ) ? ?3 ,化简得: 3a 2 ? 3a ? 1 ? 0 ,解得 a a
a? ? 3 ? 21 ? ?2, 不合要求; 6

2

综上, a ? ?

3 为所求。…………………14 分 4

第 10 页 共 10 页



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