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数学版人教A必修三第二章统计小结2013。6.4



第二章 统计小结
阳谷三中 高一数学组 2013.6.4

本章回顾 本章介绍了从总体中抽取样本的常用方法,并通过 实例,研究了如何利用样本对总体的分布规律、整体 水平、稳定程度及相关关系等特性进行估计和预测. 总体 抽样 分析 分 层 抽 样 样 本 分 布 样 本 特 征 数

估计 总 体 分 布
总 体 特 征 数

简 单 随 机 抽 样

系 统 抽 样

当总体容量大或检测具有一定的破坏性时,可以从总体 中抽取适当的样本,通过对样本的分析、研究,得到对总体 的估计,这就是统计分析的基本过程.而用样本估计总体就 是统计思想的本质. 要准确估计总体,必须合理地选择样本,我们学习的是 最常用的三种抽样方法.获取样本数据后,将其用频率分布 表、频率直方图、频率折线图或茎叶图表示后,蕴含于数据 之中的规律得到直观的揭示.运用样本的平均数可以对总体 水平作出估计,用样本的极差、方差(标准差)可以估计总 体的稳定程度. 对两个变量的样本数据进行相关性分析,可发现存在于 现实世界中的回归现象.用最小二乘法研究回归现象,得到 的线性回归方程可用于预测和估计,为决策提供依据. 总之,统计的基本思想是从样本数据中发现统计规律, 实现对总体的估计.

2.1 抽样方法 1.简单随机抽样

(1)抽签法 1.将总体中的所有个体编号(号码可以从1到 N); 2.将1到N 这N 个号码写在形状、大小相同的号签上 (号签可以用小球、卡片、纸条等制作); 3.将号签放在同一箱中,并搅拌均匀; 4.从箱中每次抽出1个号签,并记录其编号,连续抽 取k次; 5.从总体中将与抽到的签的编号相一致的个体取出.

说明: 1.抽样公平性原则—等概率—随机性;
2.抽签法适用与总体中个数N不大的情形.

例题——1 系统抽样(等距抽样) 例子. 为了解高一年级500名同学的视力情况,试用系 统抽样从中抽取50名同学进行检查。 编号 分段
S1:把500人从1到500编号;
500 S2:计算分段间隔为 k= 50 =10 人。把编号从小

到大依次分成

50 段,每段 10 人;

定首号 S3:在第一段1~10号中用的 简单随机抽样 的方法
抽取一个号码,比如3;

取余号 S4:依次抽取 3,13,23,33,

??这50个号码。

这样就得到了一个容量为50的样本。

2.1 抽样方法
(2).随机数表法:

将总体中的N个个体编号时可以从0开始,例如当N=100时, 编号可以是00,01,02, …,99.这样,总体中的所有个体均可用两位 数字号码表示,便于使用随机数表. 当随机地选定开始的数后,读数的方向可以向右,也可以向 左、向上、向下等.由此可见,用随机数表法抽取样本的步骤是:

(1)对总体中的个体进行编号(每个号码位数一致); (2)在随机数表中任选一个数作为开始; (3)从选定的数开始按一定的方向读下去,得到的数码 若不在编号中,则跳过;若在编号中,则取出;如果得到 的号码前面已经取出,也跳过;如此继续下去,直到取满 为止; (4)根据选定的号码抽取样本.

将总体中的N个个体编号时可以从0开始,例如当N=100时, 编号可以是00,01,02, …,99.这样,总体中的所有个体均可用两位 数字号码表示,便于使用随机数表. 当随机地选定开始的数后,读数的方向可以向右,也可以向 左、向上、向下等.由此可见,用随机数表法抽取样本的步骤是:

(1)对总体中的个体进行编号(每个号码位数一致); (2)在随机数表中任选一个数作为开始; (3)从选定的数开始按一定的方向读下去,得到的数码 若不在编号中,则跳过;若在编号中,则取出;如果得到 的号码前面已经取出,也跳过;如此继续下去,直到取满 为止; (4)根据选定的号码抽取样本.

例子:
下面我们用随机数表法求解本节开头的问题. (1)对50个同学进行编号,编号分别为01,02,03,…,50; (2)在随机数表中随机地确定一个数作为开始,如第8行第29列的 数7开始.为便于说明,我们将附表中的第6行至第10行摘录如下: 第29列
16 22 77 94 39 84 42 17 53 31 63 01 63 78 59 33 21 12 34 29 57 60 86 32 44 49 54 43 54 82 57 24 55 06 88 16 95 55 67 19 78 64 56 07 82 09 47 27 96 54 17 37 93 23 78 77 04 74 47 67 98 10 50 71 75 52 42 07 44 38 49 17 46 09 62 87 35 20 96 43 21 76 33 50 25 12 86 73 58 07 15 51 00 13 42 90 52 84 77 27 84 26 34 91 64 83 92 12 06 76 44 39 52 38 79 99 66 02 79 54 08 02 73 43 28

第8行

(3)从数7开始向右读下去,每次读两位,凡不在01到50中的数跳过 去不读,遇到已经读过的数也跳过去,便可依次得到

12,07,44,39,38,33,21,34,29,42
这10个号码,就是所要抽取的10个样本个体的号码.

小结:
1.抽样无放回; 2.抽样公平性; 3.抽签法,随机数表法—简单的随机抽样.

2.系统抽样:

系统抽样的步骤为: (1)采用随机的方式将总体中的个体编号; (2)将整个的编号按一定的间隔(设为k)分段, N 当 n (N为总体中的个体数,n为样本容量)是整数 N N 时,k= n ;当 n 不是整数时,从总体中剔除一些个 体,使剩下的总体中个体的个数N′能被n 整除,这 N 时k= n ,并将剩下的总体重新编号; (3)在第一段中用简单随机抽样确定起始的个体编 号l ; (4)将编号为l , l +k,l +2k,…, l +(n-1)k的个 体抽出.
1

例; 某单位在岗职工共624人,为了调查工人用于上班途 中的时间,决定抽取10%的工人进行调查.如何采用系统 抽样方法完成这一抽样?

解: 因为624的10%约为62,624不能被62整除,为 分析: 第一步 将624名职工用随机方式进行编号; 第二步 从总体中剔除4人(剔除方法可用随机数 了保证“等距”分段,应先剔除4人. 表法),将剩下的620名职工重新编号(分别为000, 001,002,…,619),并分成62段; 第三步 在第一段000,001,002,…,009这十 个编号中用简单随机抽样确定起始号码 i0 ; 第四步 将编号为 i0 , i0 +10, i0 +20, …, i +610 0 的个体抽出,组成样本.

小结:
1.适用与总体中个体无明显的层次差异; 2.系统抽样—等距抽样.

一般地,当总体由差异明显的几个部分组成时, 为了使样本更客观地反映总体情况,我们常常将总体 中的个体按不同的特点分成层次比较分明的几部分, 然后按各部分在总体中所占的比实施抽样,这种抽样 方法叫分层抽样(stratified sampling),其中所分 成的各个部分称为“层”. 分层抽样的步骤是: (1)将总体按一定标准分层; (2)计算各层的个体数与总体的个体数的比; (3)按各层个体数占总体的个体数的比确定 各层应抽取的样本容量; (4)在每一层进行抽样(可用简单随机抽样 或系统抽样).

3.分层抽样

例 某电视台在因特网上就观众对某一节目的喜爱 程度进行调查,参加调查的总人数为1200人,其中 持各种态度的人数如下表所示:
很喜爱 2435 喜爱 4567 一般 3926 不喜爱 1072

电视台为进一步了解观众的具体想法和意见,打算从 中抽取60人进行更为详细的调查,应怎样进行抽样? 分析:因为总体中人数较多,所以不宜采用简单随机 抽样.又由于持不同态度的人数差异较大,故也不宜 用系统抽样方法,而以分层抽样为妥.

说明:
1.适用与总体中个体有明显的层次差异,层次 分明的特点; 2.总体中个体数 N较大时,系统抽样,分层抽样 二者选其一.

以上我们学习了三种抽样方法,这些抽样方法 的特点及适用范围可归纳如下:
类别 特 点 相互联系 适用范围 共同点
简单随 ?从总体中逐个 机抽样 抽取 ?总体中 ?抽样 的个体个 过程中 数较少 每个个 ? 在起始部 ?总体中 体被抽 的 个体 到的可 分抽样时, 采用 简 单随 个数较多 能性相 同 机抽样

系统 抽样

?将总体平均分 成几部分,按事 先确定的规则分 别在各部分中抽 取

分层 抽样

?将总体分成几 ?各层抽样时 ?总体由 差 异明 层,按各层个体 采用简单随 数之比抽取 显的 几 机抽样或系 统抽样 部分组成

1.现有以下两项调查:①某装订厂平均每 小时大约装订图书362册,要求检验员每 小时抽取40册图书, 检查其装订质量状况; ②某市有大型、中型与小型的商店共1500 家, 三者数量之比为1∶5∶9.为了调查全 市商店每日零售额情况,抽取其中15家进 行调查. 完成①、②这两项调查宜采用的 抽样方法依次是 ( D) A、简单随机抽样法,分层抽样法 B、分层抽样法,简单随机抽样法 C、分层抽样法,系统抽样法 D、系统抽样法,分层抽样法

2.要从已编号(1~60)的60枚最新 研制的某型导弹中随机抽取6枚来进 行发射试验, 用每部分选取的号码间 隔一样的系统抽样方法确定所选取 的6枚导弹的编号可能是 ( B) A.5,10,15,20,25,30 B.3,13,23,33,43,53 C.1,2,3,4,5,6 D.2,8,14,20,26,32

3.某校有行政人员、教学人员和教辅 人员共200人,其中教学人员与教辅 人员的比为10?1,行政人员有24人, 现采取分层抽样容量为50的样本,那 么行政人员应抽取的人数为 ( C ) A3 B4 C6 D8

教学人员和教辅人员应抽取的人数 40 4 分别为_____和_____.

用样本估计总体

1.作样本频率分布直方图的步骤:
(1)求极差; (2)决定组距与组数; (组数=极差/组距) (3)将数据分组;

(4)列频率分布表(分组,频数,频率);
(5)画频率分布直方图。

例子: 2009年义乌小商品博览会共设国际标准展位 5000个。为了解展览期间成交状况,现从中抽取100展 位的成交额(万元),制成如下频率分布表和频率分布 直方图: 频 频率 频率/ 数 组距 [150,170) 4 0.04 0.002 分组
0.026

频率/组距

0.50

0.022
0.018 0.36

[170,190) 5 0.05 0.0025 0.014 [190,210) 36 0.36 0.018 [210,230) 50 0.50 0.025 [230,250] 5
0.006
0.002

0.010

0.05 0.0025 1

0.04 0.05

0.05

合计 100

150 170 190 210 230 250 万元

例子: 2009年义乌小商品博览会共设国际标准展位 5000个。为了解展览期间成交状况,现从中抽取若干展 位的成交额(万元),制成如下频率分布表和频率分布 直方图: 试通过直方图估计: 频率/组距 0.50 0.026 (1)众数; 220万元 最高矩形区间中点 212万元 (2)中位数; 面积相等(概率0.5)
0.022
0.018 0.014 0.36

(3)平均数; 209.4万元 0.010 区间中点与相应概率 之积的和
0.006
0.002 0.04 0.05 0.05

150 170 190 210 230 250 万元

小结:
频率 1.频率直方图中矩形条的面积= 组距 组距=频率;
2.频率分布表 频率直方图 后者更直观 形象地反映样本的分布规律.

?

2.3 总体特征数的估计

a1 ? a2 ? ? ? an 1.平均数 a ? n

2.方差,标准差
设一组样本数据 x1 , x2 ,?, xn , ,其平均数为 x ,则称
s
2

1 ? n

( xi ? x ) 2 ?
i ?1

n

为这个样本的方差,其算术平方根

s?

1 n ( xi ? x) 2 ? n i ?1

为样本的标准差,分别简称样本方差、样本标准差.

小结:1.方差,标准差是用来刻画样本的稳定性;
2.比较的标准——越小越好。

例:甲、乙两种冬水稻试验品种连续5年的平均单位 面积产量如下(单位:t/hm2 ),试根据这组数据 估计哪一种水稻品种的产量比较稳定.
品种 甲 乙 第1年 9.8 9.4 第2年 9.9 10.3 第3年 10.1 10.8 第4年 10 9.7 第5年 10.2 9.8

2.4线性相关关系: ? 能用直线方程 y ? bx ? a 近似表示的相关关系叫做线性相关关系.

线性回归方程: 一般地,设有n个观察数据如下:

x x1 x2 x3
y y1 y2 y3

… …

xn
yn
当a,b使

? 取得最小值时,就称 y ? bx ? a 为拟合 这n对数据的线性回归方程,该方程所表 示的直线称为回归直线
.

Q ? ( y1 ? bx1 ? a)2 ? ( y2 ? bx2 ? a)2 ? ... ? ( yn ? bxn ? a)2

1.已 知 回 归 方 程 ? 0.5x ? 0.81 则x ? 25 y ,

^

11.69 . 时 ,y的 估 计 值 为 ______
2.用 最 小 二 乘 法 求 回 归 数 系
? n ?? n ? n ? x i y i ? ? ? x i ?? ? y i ? ? ?? ? i ?1 ? i ? 1 ?? i ? 1 ? 2 n n ? ? 2 n? x i ? ? ? x i ? ? ? i ?1 1 ? i ?_______, __________ ? a
n

b?

y ? bx . ? ________

7.小王记录了产量x(吨)和能耗y(吨标准煤)对应 的四组数据,用最小二乘法求出了 y ? 0.7 x ? 0.35 , ? 不慎将一滴墨水滴于表内,表中第二行第四列的数据 已无法看清,据您判断这个数据应该是多少?

x y

3 2.5

4 3

5 4

6 4.5

思考:您如何判断 x 与 y 成线性相关关系? 思考:您认为小王求出的线性回归直线方程对吗? 思考:如果原来100吨产品的能耗为90吨煤;试预 测现在的能耗比技术改造前降低了多少吨煤?

x y

3 2.5

4 3

5 4

6 4.5

解:

x ? 4.5, y ? 3.5
由系数公式可知,

66.5 ? 4 ? 4.5 ? 3.5 b? ? 0.7 2 86 ? 4 ? 4.5
9 a ? 3.5 ? 0.7 ? ? 0.35 2
所以线性回归方程为 y =0.7x+0.35

C 3.下 列 说 法 不 正 确 的 是 ()
A.在 线 性 回 归 分 析 中 , y都 是 变 量 ; x和 B.变 量 之 间 的 关 系 若 是 确 定 关 系 , 那 非 么x不 能 由 唯 一 确 定 ; y C.由 两 个 变 量 所 对 应 的 点 图 , 可 判 断 散 变 量 之 间 有 无 相 关 关; 系 D.相 关 关 系 是 一 种 非 确 性 关 系 定 .

4.三点(3,10),(7,20),(11,24)的 线性回归方程是 ( D )

? A. y ? 5.75 ? 1.75x
? B. y ? 1.75 ? 5.75x

? C. y ? 1.75 ? 5.75x ? D. y ? 5.75 ? 1.75x



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