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3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式(3)



3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
一、选择题(共 5 小题;共 25 分) 1. 设 △ ABC 的三个内角为 A, B, C ,向量 m = cos A + B ,则 C = ( A. 6
π π 6 7 1

3sinA, sinB , n = cosB, 3cosA ,若 m ? n = 1 + C.
2π 3

/>
) B. 3
π

D.

5π 6

2. 若 sin A. ? 9 A.
4 7

? α = 3,则 cos

2π 3

+ 2α = (
1

) C. 3 ) C.
1 2 1

B. ? 3 B. ?
? ? 4 7

D. 9 D. ?
1 2

7

3. 若 tan α + β = 3,tan α ? β = 5,则 tan2α = (

4. 4cos50 ? tan40 = ( A. 2

) B.
2+ 3 2 1

C. 3
1

D. 2 2 ? 1 ) D.
3π 4

5. 已知 α,β ∈ 0, π ,且 tan α ? β = 2,tanβ = ? 7,则 2α ? β 的值是 ( A. ? 4
π

B. 4

π

C. ?

3π 4

二、填空题(共 5 小题;共 25 分) 6.
3 ?sin 70 ? 2 ?cos 2 10 ?

=


1

7. 已知 0 < y < x < π,且 tanxtany = 2,sinxsiny = 3,则 x ? y = 8. 如果 sin
π 4



? x = 5,那么 sin2x 的值是
π 6

3


π 12

9. 设 α 为锐角,若 cos α +
π 4 3 5

= ,则 sin 2α +
5

4

的值为



10. 已知 P1 x1 , y1 , P2 x2 , y2 是以原点 O 为圆心的单位圆上的两点, ∠P1 OP2 = θ ( θ 为钝角 ) .若 sin θ + = ,则 x1 x2 + y1 y2 的值为 .

三、解答题(共 2 小题;共 26 分) 11. 已知函数 f x = cos2 x + cos 2 x + α + cos 2 x + β ,其中 α,β 为常数,且满足 0 < α < β < π, 对于任意实数 x,是否存在 α,β,使得 f x 为定值?若存在,求出 α,β 的值;若不存在,请说 明理由. 12. 已知向量 m = cosθ, sinθ 和 n =
π 8 8 2 5 θ 2

2 ? sinθ, cosθ ,θ ∈ π, 2π ,且 ∣ m + n ∣=

,求 cos

+

的值.

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答案
第一部分 1. C 2. A 3. B 4. C 5. C

第二部分 6. 2 7. 8. 9.
π 3 7 25 17 2 50 2

10. ? 10

第三部分 11. 设存在满足条件的 α,β,使得 f x 为定值. 1 + cos2x 1 + cos 2x + 2α 1 + cos 2x + 2β + + 2 2 2 3 1 1 = + 1 + cos2α + cos2β cos2x ? sin2α + sin2β sin2x, 2 2 2 1 + cos2α + cos2β = 0, 故 消去 β,得 sin2α + sin2β = 0, f x = 1 + cos2α 解得 cos2α = ? 2,cos2β = ? 2. 又 0 < α < β < π,故 α = ,β =
3 π 2π 3 1 1 2

+ sin2 2α = 1,



即存在 α = ,β =
3

π

2π 3

,使得 f x 为定值.

12. 由题可得, m + n = cosθ + 2 ? sinθ, sinθ + cosθ , 所以 ∣m + n∣ = = cosθ ? sinθ + 2
2

+ cosθ + sinθ

2

4 + 2 2 cosθ ? sinθ π . 4

= 2 1 + cos θ + 由 ∣m + n∣ =
8 2 5

,解得 cos θ + π 7 = , 4 25

由二倍角公式,得 2cos2 解得 θ π 7 + ?1= , 2 8 25

第 2 页(共 3 页)

cos2 由 θ ∈ π, 2π ,得

θ π 16 + = . 2 8 25

5π θ π 9π < + < , 8 2 8 8 则 cos 因此, cos θ π 4 + =? . 2 8 5 θ π + < 0, 2 8

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