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天津市武清区2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(文科) Word版含解析



天津市武清区 2014-2015 学年高二上学期期中数学试卷(文科)
一、填空题(共 14 题,每题 5 分,共 70 分) 1. (5 分)设集合 A={x|﹣1≤x≤2},B={x|0≤x≤4},则 A∩B=. 2. (5 分)已知 z=(a﹣i) (1+2i) (a∈R,i 为虚数单位) ,若复数 z 在复平面内对应的点在实 轴上,则 a=. 3. (5 分)若命

题“?x∈R,x +2mx+m≤0”是假命题,则实数 m 的取值范围是.
2

4. (5 分)已知向量 =(2,1) , =(0,﹣1) ,若( ﹣λ )∥ ,则实数 λ=.

5. (5 分)若等差数列{an}的前 5 项和 S5=25,且 a2=3,则 a7=. 6. (5 分)若直线 y=x+b 是曲线 y=xlnx 的一条切线,则实数 b=. 7. (5 分)已知函数 f(x)是奇函数,当 x<0 时,f(x)=x ﹣3asin
3

,且 f(3)=6,则 a=.

8. (5 分)在△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 则△ ABC 的面积是.

,B=30°,b=2,

9. (5 分)如图,△ ABC 中,AC=3,BC=4,∠C=90°,D 是 BC 的中点,则

的值为.

10. (5 分)已知{an}是公比为 q 的正项等比数列,不等式 x ﹣a3x+a4≤0 的解集是{x|a1≤x≤a2}, 则 q=. 11. (5 分)在平面直角坐标系中,已知角 α+
x

2

的终边经过点 P(3,4) ,则 cosα=.
x

12. (5 分)已知点 A、B 分别在函数 f(x)=e 和 g(x)=3e 的图象上,连接 A,B 两点, 当 AB 平行于 x 轴时,A、B 两点间的距离为.

13. (5 分)已知三个实数 a,b,c,当 c>0 时满足:b≤2a+3c 且 bc=a ,则 是.

2

的取值范围

14. (5 分)已知函数 f(x)=x|x ﹣3|,x∈,其中 m∈R,当函数 f(x)的值域为时,则实数 m 的取值范围.

2

二、解答题(共 6 小题,共 90 分) 15. (14 分)已知在△ ABC 中,sin(A+B)=2sin(A﹣B) . (1)若 B= ,求 A;

(2)若 tanA=2,求 tanB 的值. 16. (14 分)已知集合 A={y|y=﹣2 ,x∈},B={x|x +3x﹣a ﹣3a>0}. (1)当 a=4 时,求 A∩B; (2)若命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围. 17. (14 分)在平面直角坐标系中,已知三点 A(4,0) ,B(t,2) ,C(6,t) ,t∈R,O 为坐 标原点. (1)若△ ABC 是直角三角形,求 t 的值; (2)若四边形 ABCD 是平行四边形,求| |的最小值.
x 2 2

18. (16 分) 如图, P 为某湖中观光岛屿, AB 是沿湖岸南北方向道路, Q 为停车场, PQ=

km. 某

旅游团游览完岛屿后, 乘游 船回停车场 Q. 已知游船以 13km/h 的速度沿方位角 θ 的方向行驶, sinθ= ,游船离开观光岛屿 3 分钟后,因事耽误没有来得及登上游船的游客甲为了及时赶到

停车地点 Q 与旅游团会合,立即决定租用小船先到达湖岸南北大道 M 处,然后乘出租车到停 车场 Q 处(设游客甲到达湖滨大道后能立即乘到出租车) .假设游客甲乘小船行驶的方位角是 α,出租车的速度为 66km/h. (Ⅰ)设 sinα= ,问小船的速度为多少 km/h,游客甲才能和游船同时到达点 Q; (Ⅱ)设小船速度为 10km/h,请你替该游客设计小船行驶的方位角 α,当角 α 余弦值的大小 是多少时,游客甲能按计划以最短时间到达 Q.

19. (16 分)已知二次函数 h(x)=ax +bx+c( 其中 c<3) ,其导函数 y=h′(x)的图象如图, f(x)=6lnx+h(x) . (1)求函数 f(x)在 x=3 处的切线斜率; (2)若函数 f(x)在区间 上是单调函数,求实数 m 的取值范围;

2

(3)若函数 y=﹣x,x∈(0,6]的图象总在函数 y=f(x)图象的上方,求 c 的取值范围.

20. (16 分)已知等比数列{an}的首项为 a1=2,公比为 q(q 为正整数) ,且满足 3a3 是 8a1 与 a5 的等差中项;数列{bn}满足 2n ﹣(t+bn)n+ bn=0(t∈R,n∈N ) . (1)求数列{an}的通项公式; (2)试确定 t 的值,使得数列{bn}为等差数列; (3)当{bn}为等差数列时,对任意正整数 k,在 ak 与 ak+1 之间插入 2 共 bk 个,得到一个新数 列{cn}.设 Tn 是数列{cn}的前 n 项和,试求满足 Tn=2cm+1 的所有正整数 m 的值.
2 *

天津市武清区 2014-2015 学年高二上学期期中数学试卷 (文科)
参考答案与试题解析

一、填空题(共 14 题,每题 5 分,共 70 分) 1. (5 分)设集合 A={x|﹣1≤x≤2},B={x|0≤x≤4},则 A∩B={x|0≤x≤2}. 考点: 交集及其运算. 专题: 计算题. 分析: 由题意通过数轴直接求出 A 和 B 两个集合的公共部分, 通过数轴求出就是 A∩B 即可. 解答: 解:集合 A={x|﹣1≤x≤2},B={x|0≤x≤4}, 所以 A∩B={x|﹣1≤x≤2}∩{x|0≤x≤4}={x|0≤x≤2} 故答案为:{x|0≤x≤2}

点评: 本题是基础题,考查集合间的交集及其运算,考查观察能力,计算能力. 2. (5 分)已知 z=(a﹣i) (1+2i) (a∈R,i 为虚数单位) ,若复数 z 在复平面内对应的点在实 轴上,则 a= .

考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 利用复数的运算法则、几何意义即可得出. 解答: 解:∵z=(a﹣i) (1+2i)=a+2+(2a﹣1)i 在复平面内对应的点在实轴上, ∴2a﹣1=0, 解得 a= . 故答案为: . 点评: 本题考查了复数的运算法则、几何意义,属于基础题. 3. (5 分)若命题“?x∈R,x +2mx+m≤0”是假命题,则实数 m 的取值范围是(0,1) . 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 简易逻辑. 分析: 本题先利用原命题是假命题,则命题的否定是真命题,得到一个恒成立问题,再利 用函数图象的特征得到一元二次方程根的判别式小于或等于 0,解不等式,得到本题结论. 解答: 解:∵命题“?x∈R,使得 x +2mx+m≤0”, 2 2 ∴命题“?x∈R,使得 x +2mx+m≤0”的否定是“?x∈R,使得 x +2mx+m>0”. 2 ∵命题“?x∈R,使得 x +2mx+m≤0”是假命题, 2 ∴命题“?x∈R,使得 x +2mx+m>0”是真命题. 2 2 ∴方程 x +2mx+m=0 的判别式:△ =4m ﹣4m<0. ∴0<m<1. 故答案为: (0,1) . 点评: 本题考查了命题的否定、二次函数的图象,本题难度不大,属于基础题.
2 2

4. (5 分)已知向量 =(2,1) , =(0,﹣1) ,若( ﹣λ )∥ ,则实数 λ=0. 考点: 平面向量共线(平行)的坐标表示. 专题: 平面向量及应用. 分析: 由已知结合向量的坐标加法运算与数乘运算求得 ﹣λ 的坐标, 然后直接利用向量共 线的坐标表示列式得答案. 解答: 解:∵ =(2,1) , =(0,﹣1) , ∴ ﹣λ =(2,1+λ) , 由( ﹣λ )∥ ,得 2(1+λ)﹣2=0,即 λ=0. 故答案为:0. 点评: 平行问题是一个重要的知识点,在高考题中常常出现,常与向量的模、向量的坐标 表示等联系在一起,要特别注意垂直与平行的区别.若 =(a1,a2) , =(b1,b2) ,则 ⊥ ?a1a2+b1b2=0, ∥ ?a1b2﹣a2b1=0,是基础题. 5. (5 分)若等差数列{an}的前 5 项和 S5=25,且 a2=3,则 a7=13. 考点: 等差数列的性质. 专题: 计算题. 分析: 根据等差数列的求和公式和通项公式分别表示出 S5 和 a2,联立方程求得 d 和 a1,最 后根据等差数列的通项公式求得答案. 解答: 解:依题意可得 ,

d=2,a1=1 ∴a7=1+6×2=13 故答案为:13 点评: 本题主要考查了等差数列的性质.考查了学生对等差数列基础知识的综合运用. 6. (5 分)若直线 y=x+b 是曲线 y=xlnx 的一条切线,则实数 b=﹣1. 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 计算题;导数的概念及应用. 分析: 设切点为 (x0, x0lnx0) , 对 y=xlnx 求导数得 y′=lnx+1, 从而得到切线的斜率 k=lnx0+1, 结合直线方程的点斜式化简得切线方程为 y=(lnx0+1)x﹣x0,对照已知直线列出关于 x0、b 的方程组,解之即可得到实数 b 的值. 解答: 解:设切点为(x0,x0lnx0) ,

对 y=xlnx 求导数,得 y′=lnx+1, ∴切线的斜率 k=lnx0+1, 故切线方程为 y﹣x0lnx0=(lnx0+1) (x﹣x0) , 整理得 y=(lnx0+1)x﹣x0, 与 y=x+b 比较得 ,

解得 x0=1,故 b=﹣1. 故答案为:﹣1. 点评: 本题给出曲线 y=xlnx 的一条切线的斜率,求切线在 y 轴上的截距值,着重考查了导 数的运算法则和利用导数研究曲线上某点切线方程等知识,属于中档题.
3

7. (5 分)已知函数 f(x)是奇函数,当 x<0 时,f(x)=x ﹣3asin ﹣7.

,且 f(3)=6,则 a=

考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 根据奇函数的性质,得 f(﹣3)=﹣6,代入解析式即可得到答案. 解答: 解:∵f(x)是奇函数,f(3)=6 ∴f(﹣3)=﹣6, ∵当 x<0 时,f(x)=x ﹣3asin ∴(﹣3) ﹣3asin(﹣
3 3



)=﹣6,

∴﹣27﹣3a=﹣6, a=﹣7 故答案为:﹣7 点评: 本题考查了函数的概念,性质,属于计算题. 8. (5 分)在△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 则△ ABC 的面积是 . 考点: 解三角形. 专题: 计算题. 分析: 根据正弦定理化简 ,得到 a 与 c 的关系式,由余弦定理表示出 b ,把 b 和 cosB 以及 a 与 c 的关系式的值代入,得到关于 c 的方程,求出方程的解即可得到 c 的值, 进而得到 a 的值,利用三角形的面积公式,由 a,c 和 sinB 的值,即可求出△ ABC 的面积. 解答: 解:由 ,根据正弦定理得:a= c, 2 2 2 由余弦定理得:b =a +c ﹣2accosB, 2 2 2 即 4=4c ﹣3c =c ,解得 c=2,所以 a=2 , 则△ ABC 的面积 S= acsinB= ×2 故答案为: ×2× = .
2

,B=30°,b=2,

点评: 此题考查学生灵活运用正弦、余弦定理化简求值,灵活运用三角形的面积公式化简 求值,是一道中档题.

9. (5 分)如图,△ ABC 中,AC=3,BC=4,∠C=90°,D 是 BC 的中点,则 17.

的值为﹣

考点: 专题: 分析: 解答: 则 ∴

平面向量数量积的运算. 平面向量及应用. 通过建立直角坐标系,求出向量的坐标,再利用数量积的坐标计算即可得出. 解:建立直角坐标系,则 C(0,0) ,A(3,0) ,B(0,4) ,D(0,2) . =(﹣3,2) .

=(3,﹣4) ,

=3×(﹣3)﹣4×2=﹣17.

故答案为﹣17.

点评: 熟练掌握向量的数量积的坐标计算公式是解题的关键. 10. (5 分)已知{an}是公比为 q 的正项等比数列,不等式 x ﹣a3x+a4≤0 的解集是{x|a1≤x≤a2}, 则 q= .
2

考点: 等比数列的性质. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: 利用韦达定理,可得 a1+a2=a3,结合等比数列的通项公式,即可得 出结论. 2 解答: 解:∵不等式 x ﹣a3x+a4≤0 的解集是{x|a1≤x≤a2}, 2 ∴a1+a2=a3,∴1+q=q , ∵q>0,

∴q=



故答案为: 点评: 本题考查等比数列的性质,考查学生的计算能力,比较基础.

11. (5 分)在平面直角坐标系中,已知角 α+

的终边经过点 P(3,4) ,则 cosα=



考点: 任意角的三角函数的定义. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 直接利用任意角的三角函数的定义,列出关系式,然后求解 cosα 即可. 解答: 解:角 α+ 所以 sin(α+ 即 解得 cosα= 故答案为: . . 的终边经过点 P(3,4) , )= , ,

)= ,cos(α+ ,

点评: 本题考查三角函数的定义的应用,两角和与差的三角函数,考查计算能力. 12. (5 分)已知点 A、B 分别在函数 f(x)=e 和 g(x)=3e 的图象上,连接 A, B 两点, 当 AB 平行于 x 轴时,A、B 两点间的距离为 ln3. 考点: 指数函数的图像与性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据题意,由 y=e 求出 x=lny;由 y=3?e (k>0)求出 x=ln ,作差等于 ln3 解答: 解:根据题意, x ∵y=f(x)=e , ∴x=lny; x 又∵y=g(x)=3e , ∴x=ln ; ∴A、B 两点之间的距离为 lny﹣ln =ln(y÷ )=ln3, 故答案为:ln3 点评: 本题考查了函数的性质与应用问题,解题时应根据题意,转化条件,从而求出解答, 是基础题.
x x x x

13. (5 分)已知三个实数 a,b,c,当 c>0 时满足:b≤2a+3c 且 bc=a ,则 是(﹣∞,0]∪ f′(t)+ 0 ﹣ ﹣ f(t) 单调递增 极大值 单调递减 单调递减 又 f(﹣1)=﹣ ,f(0)=0,f(3)=9.

2

的取值范围

由表格可知:f(t)∈(﹣∞,0]∪∪,其中 m∈R,当函数 f(x)的值域为时,则实数 m 的取 值范围. 考点: 函数的值域. 专题: 函数的性质及应用;导数的综合应用. 分析: 先去绝对值将函数 f(x)变成:f(x)=
3 3

,通过求导判断函数

x ﹣3x 在 单调递增, 并且令 x ﹣3x=2 得, x=2, 因为 f (x) 的值域是, 所以 x≤2; 3 同样的办法可判断函数 3x﹣x 在单调递增,在(1, )单调递减,所以 x=1 时该函数取最 大值 2,x=0 时取最小值 0,所以函数 f(x)在上的值域是,并且 x∈时 f(x)的值域也是,所 以 m∈. 解答: 解:f(x)=x|x ﹣3|=
3 2 3 2


3

(1) (x ﹣3x)′=3x ﹣3,∴x ﹣3x 在 上单调递增,令 x ﹣3x=2 得,x=2, ∴x ; 3 2 3 (2) (3x﹣x )′=3﹣3x ,∴3x﹣x 在,∴x ,且 x∈时 f(x)的值域为; ∴x∈f(x)值域是,x∈时 f(x)的值域也是; ∴m∈; 即实数 m 的取值范围为. 故答案为: . 点评: 考查处理含绝对值函数的方法,通过求导判断函数单调性的方法,以及函数单调性 定义的应用,函数的值域的概念及函数最值的求法. 二、解答题(共 6 小题,共 90 分) 15. (14 分)已知在△ ABC 中,sin(A+B)=2sin(A﹣B) . (1)若 B= ,求 A ;

(2)若 tanA=2,求 tanB 的值. 考点: 两角和与差的正弦函数. 专题: 三角函数的求值;解三角形. 分析: (1)利用已知条件通过两角和与差的三角函数,结合 B= ,通过三角形内角即可

求 A; (2)利用已知条件化简求出 tanA=3tanB,通过 tanA=2,即可求 tanB 的值.

解答: 解: (1)由条件 sin(A+B)=2sin(A﹣B) ,B= 得 sin(A+ ∴ 化简,得 sinA= ∴tanA= . cosA. . )=2sin(A﹣ ) . .



又 A∈(0,π) ,∴A=

(2)∵sin(A+B)=2sin(A﹣B) . ∴sinAcosB+cosAsinB=2(sinAcosB﹣cosAsinB) . 化简,得 3cosAsinB=sinAcosB. 又 cosAcosB≠0, ∴tanA=3tanB.又 tanA=2,∴tanB= . 点评: 本题考查两角和与差的三角函数,同角三角函数的基本关系式的应用,三角形的解 法,考查计算能力. 16. (14 分)已知集合 A={y|y=﹣2 ,x∈},B={x|x +3x﹣a ﹣3a>0}. (1)当 a=4 时,求 A∩B; (2)若命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围. 考点: 交集及其运算;必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 集合. 分析: (1)求出集合 A,B 的元素,利用集合的基本运算即可得到结论. (2)根据充分条件和必要条件的定义结合集合之间的关系即可得到结论. 解答: 解: (1)当 a=4 时,B={x|x +3x﹣a ﹣3a>0}={x|x +3x﹣28>0}={x|x>4 或 x<﹣7}. x A={y|y=﹣2 ,x∈}={y|﹣8<y<﹣4}, 则 A∩B={x|﹣8<x<﹣7}. (2)若命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件,则 A?B, 2 2 B={x|x +3x﹣a ﹣3a>0}={x|(x﹣a) (x+a+3)>0}. 对应方程的两个根为 x=a 或 x=﹣a﹣3, ①若 a=﹣a﹣3,即 a=﹣ ,此时 B={x|x≠﹣ },满足 A?B, ②若 a<﹣a﹣3,即 a<﹣ ,此时 B ={x|x>﹣a﹣3 或 x<a}}, 若满足 A?B,则 a>﹣4 或﹣a﹣3<﹣8,解得 a>﹣4 或 a>5(舍去) , 此时﹣1<a<﹣ . ③若 a>﹣a﹣3,即 a>﹣ ,此时 B={x|x>a 或 x<﹣a﹣3}}, 若满足 A?B,则﹣a﹣3>﹣4 或 a<﹣8(舍) ,解得﹣ <a<1.
2 2 2 x 2 2

综上﹣4<a<1. 点评: 本题主要考查集合的基本运算以及充分条件和必要条件的应用,注意要进行分类讨 论. 17. (14 分)在平面直角坐标系中,已知三点 A(4,0) ,B(t,2) ,C(6,t) ,t∈R,O 为坐 标原点. (1)若△ ABC 是直角三角形,求 t 的值; (2)若四边形 ABCD 是平行四边形,求| |的最小值 .

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: (1)利用向量垂直的条件,分∠A=90°,∠B=90°,∠C=90°解得即可; (2)由题意得 = ,求得 D 的坐标 D(10﹣t,t﹣2) ,利用求模公式即可得出结论. =(t﹣4,2) , =(2,t) , =(6﹣t,t﹣2) ,

解答: 解: (1)由题意得 若∠A=90°,则 若∠B=90°,则 若∠C=90°,则

=0,即 2(t﹣4)+2t=0,∴t=2; =0,即(t﹣4) (6﹣t)+2(t﹣2)=0,∴t=6±2 =0,即 2(6﹣t)+t(t﹣2)=0,无解, . = ,设 D 的坐标为(x,y) , 即 D(10﹣t,t﹣2) , ;

∴满足条件的 t 的值为 2 或 6

(2)若四边形 ABCD 是平行四边形,则 即(x﹣4,y)=(6﹣t,t﹣2) ,∴



= |的最小值为 4 .

=



∴当 t=6 时,|

点评: 本题主要考查向量垂直的充要条件的应用及向量相等等知识,属于中档题.

18. (16 分) 如图, P 为某湖中观光岛屿, AB 是沿湖岸南北方向道路, Q 为停车场, PQ=

km. 某

旅游团游览完岛屿后, 乘游船回停车场 Q. 已知游船以 13km/h 的速度沿方位角 θ 的方向行驶, sinθ= ,游船离开观光岛屿 3 分钟后,因事耽误没有来得及登上游船的游客甲为了及时赶到

停车地点 Q 与旅游团会合,立即决定租用小船先到达湖岸南北大道 M 处,然后乘出租车到停 车场 Q 处(设游客甲到达湖滨大道后能立即乘到出租车) .假设游客甲乘小船行驶的方位角是 α,出租车的速度为 66km/h.

(Ⅰ)设 sinα= ,问小船的速度为多少 km/h,游客甲才能和游船同时到达点 Q; (Ⅱ)设小船速度为 10km/h,请你替该游客设计小船行驶的方位角 α,当角 α 余弦值的大小 是多少时,游客甲能按计划以最短时间到达 Q.

考点: 解三角形的实际应用. 专题: 应用题;解三角形. 分析: (I)作 PN⊥AB,N 为垂足,由 sinθ= ,sinα= ,解 Rt△ PNQ 和 Rt△ PNM,得到

PQ 和 PM 及 MQ 的长,构造方程可得满足条件的船速 (II)当小船行驶的方位角为 α 时,解三角形分别求出 PM,MQ 长,进而求出时间 t 的解析 式,利用导数法,求出函数的最小值,可得答案. 解答: 解: (Ⅰ) 如图,作 PN⊥AB,N 为垂足. sinθ= ,sinα= , =2(km) ,

在 Rt△ PNQ 中,PN=PQsinθ=5.2× QN=PQcosθ=5.2× =4.8(km) .

在 Rt△ PNM 中,MN=

=1.5(km) .

设游船从 P 到 Q 所用时间为 t1h,游客甲从 P 经 M 到 Q 所用时间为 t2h, 小船的速度为 v1km/h,则 t1= 由已知得:t2+ ∴v1= . km/h 时,游客甲才能和游船同时到达 Q. = (km) . (km) ,MN= (km) . = t1, =0.4(h) ,t2= =0.4, = (h) .

∴小船的速度为

(Ⅱ)在 Rt△ PMN 中,PM= ∴QM=QN﹣MN=4.8﹣

∴t=

=



∵t′=



∴令 t'=0 得:cosα= 当 cosα<

. 时,t'<0.

时,t'>0;当 cosα>

∵cosα 在 α∈(0,

)上是减函数, 时,t 最小,

∴当方位角 α 满足 cosα=

即游客甲能按计划以最短时间到达 Q.

点评: 本题考查的知识点是函数模型的选择与应用,根据已知构造出恰当的函数是解答本 题的关键. 19. (16 分)已知二次函数 h(x)=ax +bx+c(其中 c<3) ,其导函数 y=h′(x)的图象如图, f(x)=6lnx+h(x) . (1)求函数 f(x)在 x=3 处的切线斜率; (2)若函数 f(x)在区间 上是单调函数,求实数 m 的取值范围;
2

(3)若函数 y=﹣x,x∈(0,6]的图象总在函数 y=f(x)图象的上方,求 c 的取值范围.

考点: 导数在最大值、最小值问题中的应 用;利用导数研究函数的单调性;利用导数研究 曲线上某点切线方程. 专题: 综合题;压轴题. 分析: (1)求出 h′(x) ,根据图象可知导函数过(0,﹣8) , (4,0)两点,则把两点坐标 代入 h'(x)=2ax+b 中求出 a 和 b 的值,把 a 和 b 的值代入 h(x)中求出解析式,然后把 h(x) 代入到 f(x)中化简后求出 f′(x) ,把 x=3 代入 f′(x)中算出 f′(3)即可得到切线的斜率; (2)在定义域 x 大于 0 上,令 f′(x)=0 求出 x 的值,利用 x 的值分区间讨论导函数的正负 得到函数的单调区间单调递增区间为(0,1)和(3,+∞) ,单调递减区间为(1,3) ,要使函 数 f(x)在区间 上是单调函数,根据函数的单调区间可得 大于 1 且小于等

于 3,列出不等式求出解集即可到得到 m 的取值范围; (3)函数 y=﹣x 的图象总在函数 y=f(x)图象的上方得到﹣x 大于等于 f(x) ,列出不等式 2 2 解出 c≤﹣x ﹣6lnx+7x 恒成立,求出 g(x)=﹣x ﹣6lnx+7x 的最小值方法是令导函数=0 求出 x 的值,分区间讨论导函数的正负得到函数的单调区间,根据函数的增减性得到函数的最小 值.根据 c 小于等于 g(x)的最小值列出不等式,求出解集即可得到 c 的范围. 解答: 解: (1)由已知,h'(x)=2ax+b, 其图象为直线,且过(0,﹣8) , (4,0)两点,把两点坐标代入 h'(x)=2ax+b ∴ ∴f(x)=6lnx+x ﹣8x+c ∴ ∴f'(3)=0,所以函数 f(x)在点(3,f(3) )处的切线斜率为 0; (2) ∵x>0
2

,h'(x)=2x﹣8,

∴f(x)的单调递增区间为(0,1)和(3,+∞)∴f(x)的单调递减区间为(1,3) 要使函数 f(x)在区间 上是单调函数,



,解得
2

(3)由题意,﹣x≥f(x)在 x∈(0,6]恒成立,得﹣x≥6lnx+x ﹣8x+c 在 x∈(0,6]恒成立, 2 即 c≤﹣x ﹣6lnx+7x 在 x∈(0,6]恒成立, 2 设 g(x)=﹣x ﹣6lnx+7x,x∈(0,6],则 c≤g(x)min

因为 x>0,∴当 当

时,∴g'(x)>0,g(x)为增函数 和(2,+∞)时,∴g'(x)<0,g(x)为减函数 和 g(6)的较小者. ,

∴g(x)的最小值为

g(6)=﹣36﹣6ln6+42=6﹣6ln6, , ∴g(x)min=g(6)=6﹣6ln6. 又已知 c<3, ∴c≤6﹣6ln6 点评: 考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率,会利用导数研究函数的单调 区间以及根据函数的增减性得到函数的最值.掌握不等式恒 成立时所取的条件. 20. (16 分)已知等比数列{an}的首项为 a1=2,公比为 q(q 为正整数) ,且满足 3a3 是 8a1 与 a5 的等差中项;数列{bn}满足 2n ﹣(t+bn)n+ bn=0(t∈R,n∈N ) . (1)求数列{an}的通项公式; (2)试确定 t 的值,使得数列{bn}为等差数列; (3)当{bn}为等差数列时,对任意正整数 k,在 ak 与 ak+1 之间插入 2 共 bk 个,得到一个新数 列{cn}.设 Tn 是数列{cn}的前 n 项和,试求满足 Tn=2cm+1 的所有正整数 m 的值. 考点: 等比数列的通项公式;数列的应用. 专题: 综合题;压轴题. 分析: (1)由 3a3 是 8a1 与 a5 的等差中项得到 6a3=8a1+a5,根据首项 2 和公比 q,利用等比 数列的通项公式化简这个式子即可求出 q 的值,利用首项和公比即可得到通项公式; (2)由 2n ﹣(t+bn)n+ bn=0 解出 bn,列举出 b1,b2 和 b3,要使数列{bn}为等差数列, 根 据等差数列的性质可知 b1+b3=2b2,把 b1,b2 和 b3 的值代入即可求出 t 的值; (3)显然 c1=c2=c3=2,容易判断 m=1 时不合题意,m=2 适合题意,当 m 大于等于 3 时,得 到 cm+1 必是数列{an}中的某一项 ak+1,然后根据 Tn=2cm+1 列举出各项,利用等差、等比数列 k 2 的求和公式化简后得到 2 =k +k﹣1,把 k=1,2,3,4,代入等式得到不是等式的解,利用数 学归纳法证明得到 k 大于等于 5 时方程没有正整数解, 所以得到满足题意的 m 仅有一个解 m=2. 2 4 解答: 解: (1)因为 6a3=8a1+a5,所以 6q =8+q , 2 2 解得 q =4 或 q =2(舍) ,则 q=2 n 又 a1=2,所以 an=2 (2)由 2n ﹣(t+bn)n+ bn=0,得 bn= 所以 b1=2t﹣4,b2=16﹣4t,b3=12﹣2t, 则由 b1+b3=2b2,得 t=3
2 2 2 *



而当 t=3 时,bn=2n,由 bn+1﹣bn=2(常数)知此时数列{bn}为等差数列; (3)因为 c1=c2=c3=2,易知 m=1 不合题意,m=2 适合题意 当 m≥3 时,若后添入的数 2 等于 cm+1 个,则一定不适合题意, 从而 cm+1 必是数列{an}中的某一项 ak+1, 2 3 k k+1 则(2+2 +2 +…+2 )+2(b1+b2+b3+…+bk)=2×2 , 即
k 2

,即 2

k+1

﹣2k ﹣2k+2=0.

2

也就是 2 =k +k﹣1, n 2 易证 k=1,2,3,4 不是该方程的解,而当 n≥5 时,2 >n +n﹣1 成立,证明如下: 5 2 1°当 n=5 时,2 =32,k +k﹣1=29,左边>右边成立; k 2 2°假设 n=k 时,2 >k +k﹣1 成立, k+1 2 2 2 当 n=k+1 时,2 >2k +2k﹣2=(k+1) +(k+1)﹣1+k ﹣k﹣3 2 2 2 ≥(k+1) +(k+1)﹣1+5k﹣k﹣3=(k+1) +(k+1)﹣1+k+3(k﹣1)>(k+1) +(k+1)﹣ 1 这就是说,当 n=k+1 时,结论成立. n 2 k 2 由 1°,2°可知,2 >n +n﹣1(n≥5)时恒成立,故 2 =k +k﹣1 无正整数解. 综上可 知,满足题意的正整数仅有 m=2. 点评: 此题考查学生灵活运用等差数列的性质及等比数列的通项公式化简求值,灵活运用 数列解决实际问题,以及会利用数学归纳法进行证明,是一道比较难的题.



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