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江西省奉新一中2013-2014学年高一下学期期末考试 数学(理)



奉新一中 2013-2014 学年高一下学期期末考试 理科数学
一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的) 1.设计下列函数求值算法程序时需要运用条件语句的函数为( ) A. f ( x) ? x 2 ? 1 C. f ( x) ? ? B. f ( x) ? log 2 x D. f (

x) ? 3
x

? x ? 1( x ? ?1) ?? x ? 2 x( x ? ?1)
2

2. 设{ an }为等差数列,公差 d ? ?2 , S n 为其前 n 项和.若 S10 ? S11 ,则 a1 =( A. 18 3.不等式 B. 20 C. 22 D. 24



2 ) ? ?3 的解集是( x 2 2 A. (??,? ) B. (??,? ) ? (0,??) 3 3

C. ( ?

2 ,0) ? (0,??) 3
)

D. (?

2 ,0) 3

4. 下图是由几个相同的小正方体搭成的一个几何体,它的俯视图是(

A

B

C

D

5. 在 ?ABC 中, AB ? 5 , BC ? 7 , AC ? 8 ,则 AB ? BC 的值为 ( ) A. - 5 B. 5 C. 69 D. 79 6. 一组数据共有 7 个数,记得其中有 10 , 2 , 5 , 2 , 4 , 2 ,还有一个数没记清,但知道这组数的平均 数、中位数、众数依次成等比数列,这个数的所有可能值的和为( ) A. - 11 B. 3 C. 9 D. 20 7. 在平行四边形 ABCD 中, E 、 F 分别是 BC 、 CD 的中点, DE 交 AF 于 H ,记 AB 、 BC 分 别为 a 、 b ,则 AH =( )

2 4 A. a - b 5 5 2 a 4b C.+ 5 5

2 4 B. a + b 5 5 2 a 4b D.5 5

A H F B E C

D

·1 ·

? x ? y ≥ ?, ?2 x ? y ≤ 2, ? 8.若不等式组 ? 表示的平面区域是一个三角形,则 a 的取值范围是( ) ? y ≥ 0, ? ?x ? y ≤ a 4 4 4 A. a ≥ B. 0 ? a ≤ 1 C. 1 ≤ a ≤ D. 0 ? a ≤ 1 或 a ≥ 3 3 3
9. 两个不共线向量 OA , OB 的夹角为 ? , M , N 分别为 OA 与 OB 的中点,点 C 在直线 MN 上, 且 OC ? xOA ? yOB ( x, y ? R ) ,则 x 2 ? y 2 的最小值为( )

A.

2 4

B.

1 8

C.

2 2

D.

1 2
Sn ? 2(n ? 1), (n ? N * ) , 若 n

10. 设 数 列 {an } 的 前 n 项 和 为 S n , a1 ? 1 , an ?

S1 ?

S S 2 S3 ? ? ? ? n ? (n ? 1) 2 ? 2015 ,则 n 的值为( ) 2 3 n A. 1008 B. 1007 C. 2014 D. 2015

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11. Δ ABC 利用斜二测画法得到的水平放置的直观图Δ A’B’C’, 其中 A’B’∥y’轴, B’C’∥x’ 轴,若Δ A’B’C’的面积是 3,则Δ ABC 的面积是____________. 12. 在△ ABC 中,若

13. 程序框图如下:如果下述程序运行的结果为 s ? 1320 ,那么判断框中横线上应填入的数字 是 .
k ? 12, S ? 1

sin A cos B cos C ? ? a b c

则△ ABC 的形状为

开始

k? 是

?



S ? S ?k
结束

k ? k ?1

输出S

14. 某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格进行试销,得到如 下数据: 单价 x (元) 8 销量 y (件) 90 8.2 84 8.4 83 8.6 80 8.8 75 9 68

由表中数据,求得线性回归方程为 y ? ?20 x ? a 。若在这些样本点中任取一点,则它在回归直 线左下方的概率为_____________。 15. 在数列 ?an ? 中,若对任意的 n ? N* ,都有
an ? 2 an ?1 ,则称数列 ?an ? 为比等差数 ? ? t ( t 为常数) an ?1 an
·2 ·

列, t 称为比公差.现给出以下命题: ①若 ?an ? 是等差数列, ?bn ? 是等比数列,则数列 ?an bn ? 是比等差数列.

2n ?1 1 ,则数列 ?an ? 是比等差数列,且比公差 t ? ; 2 n 2 ③等比数列一定是比等差数列,等差数列不一定是比等差数列; ④若数列 ?cn ? 满足 c1 ? 1 , c2 ? 1 , cn ? cn ?1 ? cn ? 2 ( n ≥ 3 ) ,则该数列不是比等差数列;
②若数列 ?an ? 满足 an ? 其中所有真命题的序号是 三、解答题: (本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 ) 16.已知向量 OA = ?3,?4 ? , OB = ?6,?3? , OC = ?5 ? m,?3 ? m ? , (1)若点 A 、 B 、 C 能构成三角形,求实数 m 应满足的条件; (2)若△ ABC 为直角三角形,且∠ A 为直角,求实数 m 的值.

17. 在 ?ABC 中 ,角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,若 AB ? AC ? BA ? BC ? 1 (1)求边长 c 的值 ; (2)若 AB ? AC ?

6 , 求 ?ABC 的面积

18. 某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽取 60 名学生,将其数学成绩(均为整数)分成六段 [40, 50),[50, 60),…,[90, 100] 后得到如下部分频率分布直方图.观察图形的信息,回 答下列问题:

(1)求分数在 [70,80)内的频率,并补全这个频率分布直方图; (2)统计方法中,同一组数据常用该组区间的中点值作为代表,据此估计本次考试的平均分; (3)用分层抽样的方法在分数在[60,80)内学生中抽取一个容量为 6 的样本,将该样本看成 一个总体,从中任取 2 人,求至多有 1 人的分数在[70,80)内的概率。

·3 ·

?x ? y ? 1 ? 19. 若 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? ?1 , ?2 x ? y ? 2 ?
(1)求目标函数 z ?

1 1 x ? y ? 的最值. 2 2

(2)若目标函数 z ? ax ? 2 y 仅在点 ?1,0 ? 处取得最小值,求 a 的取值范围. (3)求点 p ( x, y ) 到直线 y ? ? x ? 2 的距离的最大值.

20. 甲、乙两地相距s千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过c千米/时。已知汽车每小 时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成:可变部分与速度 v (千米/时)的平 方成正比,比例系数为 b ;固定部分为 a 元. (1)把全程运输成本 y (元)表示为速度 v (千米/时)的函数,并指出这个函数的定义域; (2)为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶?

21.根据如图所示的程序框图,将输出的 x 、 y 值依次分别记为 x1 , x 2 , ? , x n , ? , x 2007 ;

y1 , y 2 ,…, y n ,…, y 2007 ;
(1)求数列 {x n } 的通项公式 x n ; (2)写出 y1 , y 2 , y 3 , y 4 ,由此猜想出数列 ?y n ? 的一个通项公式 y n ,并证明你的结论。 (3)若 z n ? x1 y1 ? x 2 y 2 ? ? ? x n y n ,求 z n 的值

(所有答案写在答题卡上)
·4 ·

2016 届高一下学期期末考试数学(理)参考答案

三、解答题:(本大题 6 小题,共 75 分,解答写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16. 解: (1)已知向量 OA ? (3,?4), OB ? (6,?3), OC ? (5 ? m,?(3 ? m)) 若点 A、B、C 能构成三角形,则这三点不共线,
[]

? AB ? (3,1), AC ? (2 ? m,1 ? m), 故知 3(1 ? m) ? 2 ? m .
∴实数 m ?

1 时,满足的条件. 2

(2)若△ABC 为直角三角形,且∠A 为直角,则 AB ? AC , ∴ 3(2 ? m) ? (1 ? m) ? 0 ,解得 m ?

7 . 4

17. 解: (1)由题意可得: cb cos A ? ca cos B ? 1

18.
·5 ·

解: (1)1-(0.05+0.1+0.15+0.15+0.25) = 0.30

(补全直方图略 )

(2)45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05 = 71 (3)由题意知[60, 70)中抽 2 人,设为 A1A2 ,[70, 80)中抽取 4 人,设为 B1B2B3B4 则任取两人共有 15 种取法 (A1, A2) (A1, B1)(A1, B2)(A1, B3) (A1, B4)(A2, B1) (A2, B2)(A2, B3) (A2, B4)(B1, B2)(B1, B3)(B1, B4)(B2, B3)(B2, B4)(B3, B4) 至多有一人在[70, 80) 总有 9 种情况

? p ( A) ?

9 3 ? 15 5

19. 解: (1)作出可行域,可求得:直线 x ? y ? 1 , x ? y ? ?1 , 2 x ? y ? 2 的交点分别 为 A(3,4) , B (0,1) , C (1,0) ,平移直线

1 1 x? y? ? 0, 2 2

观察图像可得:过 A(3,4) 取得最小值 - 2 ,过 C (1,0) 取得最大值 1 。

·6 ·

(2)依题意知 s , a , b , v 都为正数,故有

a s ( ? bv) ? 2 s ab v
a 时等号成立。 b a 时, y 取得最小值; b

当且仅当

a ? bv ,即 v ? v

① 若

a ? c ,则当 v ? b

② 若

a ? c ,则 a ? bc 2 , b

a a a v s ( ? bv) ? s ( ? bc) ? s[( ? ) ? (bv ? bc)] v c v c s ? (c ? v)(a ? bcv) vc
因为 c ? v ? 0 ,且 a ? bc ,故有 a ? bcv ? a ? bc ? 0 ,
2 2

?

s (c ? v)(a ? bcv) ? 0 , vc a a ? bv) ? s ( ? bc) ,当仅且当 v ? c 时等号成立。 v c
a ? c ,则当 v ? b a 时,全程运输成本最小; b

故: s (

综上可知,若



a ? c ,则当 v ? c 时,全程运输成本 y 最小. b

·7 ·

21.解: (1)由框图知数列 {x n }中,x1 ? 1, x n ?1 ? x n ? 2 ∴ x n ? 1 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 1(n ? N ?, n ? 2007) (2) 可求: y1 ? 2, y 2 ? 8, y 3 ? 26, y 4 ? 80. 由此,猜想 y n ? 3 n ? 1(n ? N ?, n ? 2007). 证明:由框图,知数列 ?y n ?中, y n ?1 ? 3 y n ? 2 ∴ y n ?1 ? 1 ? 3( y n ? 1) ∴

y n ?1 ? 1 ? 3, y1 ? 3. yn ? 1

∴数列 ?y n ? 1? 是以 3 为首项, 3 为公比的等比数列。 ∴ y n ? 1 ? 3 ? 3 n ?1 ? 3 n (3) z n = x1 y1 ? x 2 y 2 ? ? ? x n y n =1×(3-1)+3×(3 -1)+…+(2n-1) (3 -1) =1×3+3×3 +…+(2n-1) ·3 -[1+3+…+(2n-1)] 记 s n =1×3+3×3 +…+(2n-1) ·3
2 2 3 n 2 n 2 n

∴ y n ? 3 n ? 1 ( n ? N ?, n ? 2007 )

[]



则 3Sn=1×3 +3×3 +…+(2n-1)×3
[]

n+1


n n+1

①-②,得-2Sn=3+2·3 +2·3 +…+2·3 -(2n-1) ·3 =2(3+3 +…+3 )-3-(2n-1) ·3 =2×
2 n n+1

2

3

3(1 ? 3 n ) ? 3 ? (2n ? 1)· 3 n ?1 1? 3

=3

n ?1

? 6 ? (2n ? 1)· 3 n ?1

? 2(1 ? n)· 3 n ?1 ? 6
∴ S n ? (n ? 1)· 3 n ?1 ? 3. 又 1+3+…+(2n-1)=n
2

∴ z n ? (n ? 1)· 3 n ?1 ? 3 ? n 2 (n ? N ?, n ? 2007)
·8 ·

·9 ·



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