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江西省赣州市2016-2017学年高一数学下学期期末考试试题



赣州市2014~2015学年度第二学期期末考试
高一数学试题 (考试时间120分钟,试卷满分150分) 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每一小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的,答案填写在答题卷上. 1.在等比数列 ?an ?中,若 a3 ? 2, a5 ? 16 ,则 a4 ? A. ?4 2 B. ?4 2 C. 4 2 D. 4<

br />
2.若直线 ax ? 2 y ? 6 ? 0 和直线 x ? a (a ? 1) y ? (a 2 ? 1) ? 0 互相垂直,则 a 的值为 A. 1 B. ?
3 2 3 C. ? 或 0 2

D. 0

u r u r u r u r u r u r 3.已知 e1 , e2 , e3 均为单位向量,其中任何两个向量的夹角均为 120o ,则 | e1 ? e2 ? e3 |?
A. 3 B. 3 C. 2 D. 0

4.在 ?ABC 中,若 a sin A ? b sin B ,则 ?ABC 的形状为 A.等腰三角形 5.不等式 x ? B.锐角三角形 C.直角三角形 D.等边三角形

4 ? 1 的解集是 x ?1

A. (??, ?1) ? (3, ??)

B. (?1,1) ? (3, ??)

C. (??, ?1) ? (1,3)

D. (?1,3)

6.设等差数列 ?an ?的前 n 项和为 S n ,若 a1 ? ?11 , a4 ? a6 ? ?6 ,则当 S n 取最小值时,
n?

A. 6

B. 7

C. 8

D. 9

7.等比数列 ?an ?的各项均为正数,且 a5 a6 ? a4 a7 ? 18 , 则 log 3 a1 ? log 3 a2 ? ? ? log 3 a10 ? A. 5 B. 9 C. log 3 45 D. 10

8.已知点 M (?1, 2), N (3,3) ,若直线 l : kx ? y ? 2k ? 1 ? 0 与线段 MN 相交,则 k 的取值范 围是. A. [4, ??) B. (??, ?1] C. (??, ?1] ? [4, ??) 1 D. [?1, 4]

9.在 ?ABC 中, AB ? 3, AC ? 1, ?B ? 30? ,则 ?ABC 的面积为 A.
3 2

B.

3 4

C.

3 或 3 2

D.

3 3 或 2 4

10.数列 ?an ?的通项公式 an ? n cos A. 1008 B. 2015

n? ,其前 n 项和为 S n ,则 S 2015 ? 2

C. ?1008

D. ?504

11.已知圆 C1 : ( x ? 2) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 5 与圆 C2 相交于 A(0, 2), B (?1,1) 两点,且四边形

C1 AC2 B 为平行四形,则圆 C2 的方程为:
A. ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 5
1 1 C. ( x ? ) 2 ? ( y ? ) 2 ? 5 2 2

B. ( x ? 1) 2 ? y 2 ?

9 2

1 1 9 D. ( x ? ) 2 ? ( y ? ) 2 ? 2 2 2

? ??? ? ??? ??? ? ??? ? 3 1 12.已知向量 AB ? (1, x ? 2), CD ? (2, ?6 y )( x, y ? R ? ) ,且 AB ∥ CD ,则 ? 的最小值等 x y

于 A. 4 B. 6 C. 8 D. 12

二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,答案填写在答题卷上. 13.若不等式 x 2 ? (a ? 1) x ? 1 ? 0 的解集为全体实数,则 a 的取值范围是 .

14.已知直线 l : 3 x ? 4 y ? 12 ? 0 , l ? 与 l 垂直,且 l ? 与两坐标轴围成的三角形面积为4,则
l ? 的方程是

.

?x ? 2 y ? 4 ? 15.在约束条件 ? x ? y ? 1 下,目标函数 z ? 3 x ? 2 y ? 1 取最大值时的最优解为_______. ?x ? 2 ? 0 ?
16.使方程 8 x ? x 2 ? x ? m ? 0 有两个不等的实数解,则实数 m 的取值范围是______. 三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分10分) 已知定点 M (0,2), N (?2,0) ,直线 l : kx ? y ? 2k ? 2 ? 0 ( k 为常数). (Ⅰ)若点 M , N 到直线 l 的距离相等,求实数 k 的值; 2

(Ⅱ)以 M , N 为直径的圆与直线 l 相交所得的弦长为 2 ,求实数 k 的值.

18.(本小题满分12分) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,且满足 cos (Ⅰ)求 ?ABC 的面积; (Ⅱ)若 b ? c ? 6 ,求 a 的值.

??? ? ???? A 2 5 , AB ? AC ? 3 . ? 2 5

19.(本小题满分12分) 某投资商到一开发区投资 72 万元建起一座蔬菜加工厂,第一年共支出 12 万元,以 后每年支出增加 4 万元,从第一年起每年蔬菜销售收入 50 万元.设 f (n) 表示前 n 年的纯 利润总和( f (n) =前 n 年的总收入-前 n 年的总支出-投资额). (Ⅰ)该厂从第几年开始盈利? (Ⅱ)若干年后,投资商为开发新项目,对该厂有两种处理方案:①年平均纯利润达到最大 时,以 48 万元出售该厂;②纯利润总和达到最大时,以 16 万元出售该厂,问哪种方案更 合算?

3

20. (本小题满分12分)
?? ? 1 ?? ? 已知向量 m ? (cos x, ?1) , n ? ( 3 sin x, cos 2 x) ,设函数 f ( x) ? m ? n ? . 2

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期和单调递增区间;
? (Ⅱ)当 x ? (0, ) 时,求函数 f ( x) 的值域. 2

21. (本小题满分12分) 已知等差数列 ?an ?的前 n 项和为 S n ,且 S n ?
3 2 1 n ? n .递增的等比数列 {bn } 满足: 2 2

b1 ? b4 ? 18 , b2 ? b3 ? 32 .
(Ⅰ)求数列 ?an ?、 ?bn ?的通项公式; (Ⅱ)若 cn ? an ? bn , n ? N* ,求数列 ?cn ?的前 n 项和 Tn .

22.(本小题满分12分) 在直角坐标系 xOy 中,已知圆 C 的方程: x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 4 ? 0 ,点 P 是直线 l : x ? 2 y ? 2 ? 0 上的任意点,过 P 作圆的两条切线 PA, PB ,切点为 A 、 B ,当 ?APB 取最大值时. (Ⅰ)求点 P 的坐标及过点 P 的切线方程;

4

(Ⅱ)在 ?APB 的外接圆上是否存在这样的点 Q ,使 | OQ |? 存在,求出 Q 点的坐标,如果不存在,请说明理由.

7 ( O 为坐标原点),如果 2

5

赣州市2014~2015学年度第二学期期末考试 高一数学答案 一、选择题: 1~5. ACDAC; 6~10. ADBDC; 11~12. AB.

二、填空题 13. ?1 ? a ? 3 ; 14. 4 x ? 3 y ? 4 6 ? 0 ; 15. (2,1) ; 16. 0 ? m ? 4 2 ? 4

三、解答题 17.解:(Ⅰ)直线 l 与 M , N 平行时, k ? 1 ………………………………………………3 分
1 直线 l 经过 M , N 的中点时, k ? …………………………………………………………5 3

分 另解:用点到直线的距离来求
| ?2 ? 2k ? 2 | k 2 ?1 ? | ?2k ? 2k ? 2 | k 2 ?1

……………………………3分

1 解得: k ? 1 或 k ? …………………………………………………………………………5 3

分 (Ⅱ)以 M , N 为直径的圆,圆心 C (?1,1) ,半径 r ? 2 ………………………………7分 因此圆心到直线的距离等于1
d? | ? k ? 1 ? 2k ? 2 | k 2 ?1 ? 1 ……………………………………………………………………8分

解得 k ? 0, k ? 分

3 ……………………………………………………………………………10 4

18.解:(Ⅰ)因为 cos

A 3 A 2 5 ,所以 cos A ? 2 cos 2 ? 1 ? ………………………2分 ? 2 5 2 5

6

又 0 ? A ? ? ,所以 sin A ?

??? ? ???? 4 ,由 AB ? AC ? 3 , 5

得 bc cos A ? 3 ,所以 bc ? 5 …………………………………………………………………4 分
1 故 ?ABC 的面积 S ?ABC ? bc sin A ? 2 ……………………………………………………6分 2

?b ? 5 ?b ? 1 (Ⅱ)由 bc ? 5 ,且 b ? c ? 6 得 ? 或? …………………………………………9分 ?c ? 1 ?c ? 5
由余弦定理得 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 20 ,故 a ? 2 5 ………………………………12分 19.解:由题意知 f (n) ? 50n ? [12n ?
n(n ? 1) ? 4] ? 72 ? ?2n 2 ? 40n ? 72 ……………4分 2

(Ⅰ)由 f (n) ? 0 ,即 ?2n 2 ? 40n ? 72 ? 0 ,解得 2 ? n ? 18 ……………………………3分 由 n ? ? * 知,该厂从第三年开始盈利………………………………………………………6 分 (Ⅱ)方案①:年平均纯利润 ?2n ? 40 ? 当且仅当 n ? 6 时等号成立. 故方案①共获利 6 ? 16 ? 48 ? 144 (万元),此时 n ? 6 ………………………………………9 分 方案②: f (n) ? ?2(n ? 10) 2 ? 128 . 当 n ? 10, f (n) max ? 128 ……………………………………………………………………10分 故方案②共获利 128 ? 16 ? 144 (万元) ……………………………………………………11分 比较两种方案,获利都是144万元,但由于第①种方案只需6年,而第②种方案需10年, 故选择第①种方案更合算……………………………………………………………………1 2分
? 20.解:(Ⅰ)依题意得 f ( x) ? sin(2 x ? ) …………………………………………………3 6
72 72 ? 40 ? 2 2n ? ? 16 …………………8分 n n

分 7

? f ( x) 的最小正周期是: T ? ? ……………………………………………………………4
分 由 2k ? ?
? ? ? ? ? ? 2 x ? ? 2k ? ? 解得 k ? ? ? x ? k ? ? , 2 6 2 6 3

? ? 从而可得函数 f ( x) 的单调递增区间是: [k ? ? , k ? ? ], k ? Z ………………………6分 6 3

(Ⅱ)由 0 ? x ?

? ? ? 5? ,可得 ? ? 2 x ? ? ……………………………………………9分 2 6 6 6

1 从而可得函数 f ( x) 的值域是: (? ,1] ……………………………………………………12 2

分 21.解 :(Ⅰ)当 n ? 2 时, an ? S n ? S n ?1 ?
3 2 1 1 2 ?3 ? n ? n ? ? ?n ? 1? ? ?n ? 1?? 2 2 2 ?2 ?

? 3n ? 1 …………………………………………………………………………………………2



又时符合 Q n ? 1 , a1 ? S1 ? 2

,所以 an ? 3n ? 1 …………………………………………3分

Q b2b3 ? b1b4 ,? b1 , b4 方程 x 2 ? 18 x ? 32 ? 0 的两根, 又 Q b4 ? b1 ,所以解得 b1 ? 2, b4 ? 16 ? q 3 ?
b4 ? 8 ? q ? 2 …………………………5分 b1

? bn ? b1 ? q n ?1 ? 2n …………………………………………………………………………6分
(Ⅱ) Q an ? 3n ? 1, bn ? 2n ,则 Cn ? (3n ? 1) ? 2n

?Tn ? 2 ? 21 ? 5 ? 22 ? 8 ? 23 ? 11 ? 24 ? L ? (3n ? 1) ? 2n 2Tn ? 2 ? 22 ? 5 ? 23 ? 8 ? 24 ? 11 ? 25 ? L ? (3n ? 1) ? 2n ?1 …………………………………7分
将两式相减得: - Tn =2 ? 21 +3 (22 +23 +24 + L 2n ) ? (3n ? 1) ? 2n ?1 ……………………………… …………8分

? 22 (1 ? 2n ?1 ) ? ? 4 ? 3? ? (3n ? 1) ? 2n ?1 ………………………………………………………9分 ? ? 1? 2 ?

8

? (?3n ? 4) ? 2n ?1 ? 8 …………………………………………………………………………10
分 所以 Tn =(3n ? 4) ? 2n ?1 ? 8 ……………………………………………………………………12 分 22.(Ⅰ)圆方程可化为: ( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 1 ,圆心 C (1, 2), r ? 1 当 ?APB 取最大值时,即圆心到点 P 的距离最小…………………………………………1 分 所求的点 P 是过圆心与直线 l 垂直的直线与直线 l 的交点. 过圆心与直线 l 垂直的直线的方程是: 2 x ? y ? 4 ? 0 ………………………………………2 分

?2 x ? y ? 4 ? 0 由? ,解得 P (2, 0) ……………………………………………………………3分 ?x ? 2 y ? 2 ? 0
过点 P 的切线方程: 3 x ? 4 y ? 6 ? 0 ………………………………………………………5分 或 x ? 2 ………………………………………………………………………………………6 分 (Ⅱ) ?APB 的外接圆是以 PC 为直径的圆……………………………………………7分
3 PC 的中点坐标是 ( ,1) , | PC |? 5 ……………………………………………………8分 2 3 5 因此 ?APB 外接圆方程是: ( x ? ) 2 ? ( y ? 1) 2 ? ……………………………………9分 2 4
3 5 13 5 4 3 7 ? ? ? ? ? ………11分 圆上的点到点 O 的最大距离是: ( ) 2 ? 12 ? 2 2 2 2 2 2 2

因此这样的点 Q 不存在………………………………………………………………………1 2分

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