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2 命题及其关系、充分条件与必要条件练习题



§1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件
一、选择题 1.设集合 A={x∈R|x-2>0},B={x∈R|x<0},C={x∈R|x(x-2)>0},则“x∈A∪B” 是“x∈C”的( )

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:A∪B={x∈R|x<0 或 x>2},C={x∈R|x<0

或 x>2}, ∵A∪B=C,∴x∈A∪B 是 x∈C 的充分必要条件. 答案:C 2.已知命题 p:? n∈N,2 >1 000,则綈 p 为( A.? n∈N,2 ≤1 000 C.? n∈N,2 ≤1 000
n n n

). B.? n∈N,2 >1 000 D.? n∈N,2 <1 000
n n

解析 特称命题的否定是全称命题.即 p:? x∈M,p(x),则綈 p:? x∈M,綈 p(x).故选 A. 答案 A 3.命题“若-1<x<1,则 x <1”的逆否命题是( A.若 x≥1 或 x≤-1,则 x ≥1 B.若 x <1,则-1<x<1 C.若 x >1,则 x>1 或 x<-1 D.若 x ≥1,则 x≥1 或 x≤-1 解析:若原命题是“若 p,则 q”,则逆否命题为“若綈 q 则綈 p”,故此命题的逆否命题 是“若 x ≥1,则 x≥1 或 x≤-1”. 答案:D 4.已知 α ,β 角的终边均在第一象限,则“α >β ”是“sin α >sin β ”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ).
2 2 2 2 2 2

)

1 解析 (特例法)当 α >β 时,令 α =390°,β =60°,则 sin 390°=sin 30°= <sin 2 60°= 3 ,故 sin α >sin β 不成立;当 sin α >sin β 时,令 α =60°,β =390°满 2

足上式,此时 α <β ,故“α >β ”是“sin α >sin β ”的既不充分也不必要条件.

答案 D 【点评】 本题采用了特例法,所谓特例法,就是用特殊值? 特殊图形、特殊位置? 代替题

设普遍条件,得出特殊结论,对各个选项进行检验,从而作出正确的判断.特例法的理论依 据是:命题的一般性结论为真的先决条件是它的特殊情况为真,即普通性寓于特殊性之中. 常用的特例有取特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等.这种方 法实际是一种“小题小做”的解题策略,对解答某些选择题有时往往十分奏效. 5.命题“若 f(x)是奇函数,则 f(-x)是奇函数”的否命题是( A.若 f(x)是偶函数,则 f(-x)是偶函数 B.若 f(x)不是奇函数,则 f(-x)不是奇函数 C.若 f(-x)是奇函数,则 f(x)是奇函数 D.若 f(-x)不是奇函数,则 f(x)不是奇函数 解析:否命题是既否定题设又否定结论. 答案:B 6.设集合 M={1,2},N={a },则“a=1”是“N? M”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 解析:当 a=1 时,N={1},此时有 N? M,则条件具有充分性;当 N? M 时,有 a =1 或 a
2 2 2

)

)

=2 得到 a1=1,a2=-1,a3= 2,a4=- 2,故不具有必要性,所以“a=1”是“N? M” 的充分不必要条件. 答案:A 7.若实数 a,b 满足 a≥0,b≥0,且 ab=0,则称 a 与 b 互补.记 φ (a,b)= a +b -a -b,那么 φ (a,b)=0 是 a 与 b 互补的( A.必要而不充分的条件 C.充要条件
2 2 2 2

). B.充分而不必要的条件 D.既不充分也不必要的条件

解析 若 φ (a, )=0, a +b =a+b, b 即 两边平方得 ab=0, 故具备充分性. a≥0, ≥0, 若 b

ab=0,则不妨设 a=0.φ (a,b)= a2+b2-a-b= b2-b=0.故具备必要性.故选 C.
答案 C 二、填空题

8.若不等式

成立的充分不必要条件是

, 则实数

的取值范围是______

? 1 4? ?? , ? 答案: ? 2 3 ?
9.有三个命题:(1)“若 x+y=0,则 x,y 互为相反数”的逆命题; (2)“若 a>b,则 a >b ”的逆否命题; (3)“若 x≤-3,则 x +x-6>0”的否命题. 其中真命题的个数为________(填序号). 解析 (1)真,(2)原命题假,所以逆否命题也假,(3)易判断原命题的逆命题假,则原命题 的否命题假. 答案 1 10.定义:若对定义域 D 上的任意实数 x 都有 f(x)=0,则称函数 f(x)为 D 上的零函数. 根据以上定义,“f(x)是 D 上的零函数或 g(x)是 D 上的零函数”为“f(x)与 g(x)的积函数 是 D 上的零函数”的________条件.
?0,x∈? ? 解析 设 D=(-1,1),f(x)=? ? ?x,x∈? ?x,x∈? -1,0], ? g(x)=? ? ?0,x∈? 0,1? ,
2 2 2

-1,0], 0,1? ,

显然 F(x)=f(x)·g(x)是定义域 D 上的零函数,但 f(x)与

g(x)都不是 D 上的零函数.
答案 充分不必要 11.p:“向量 a 与向量 b 的夹角 θ 为锐角”是 q:“a·b>0”的________条件. 解析:若向量 a 与向量 b 的夹角 θ 为锐角,则 cos θ = 可得 cos θ =

a·b >0,即 a·b>0;由 a·b>0 |a|·|b|

a·b >0,故 θ 为锐角或 θ =0°,故 p 是 q 的充分不必要条件. |a|·|b|

答案:充分不必要 12.已知 a 与 b 均为单位向量,其夹角为 θ ,有下列四个命题

p1:|a+b|>1?θ ∈?0, p2:|a+b|>1?θ ∈?

? ?

2π ? ? 3 ?

?2π ,π ? ? ? 3 ? ? ? ?
π?

p3:|a-b|>1?θ ∈?0, ? 3

? ?

? ? p4:|a-b|>1?θ ∈? ,π ? 3
π 其中真命题的个数是____________.

1 2 2 解析 由|a+b|>1 可得 a +2a·b+b >1,因为|a|=1,|b|=1,所以 a·b>- ,故 θ 2 1 ? 2π ? ? 2π ? 2 2 2 ∈?0, ?.当 θ ∈?0, ?时,a·b>- ,|a+b| =a +2a·b+b >1,即|a+b|>1, 3 ? 3 ? 2 ? ? 1 2 2 故 p1 正确.由|a-b|>1 可得 a -2a·b+b >1,因为|a|=1,|b|=1,所以 a·b< ,故 2

?π ? θ ∈? ,π ?,反之也成立,p4 正确. ?3 ?
答案 2 三、解答题 13.设

p :函数 f ( x) ? 2|x?a| 在区间(4,+∞)上单调递增; q : log a 2 ? 1 ,如果“ ? p ”

是真命题, “

p 或 q ”也是真命题,求实数 a 的取值范围。
| x ?a|

? 解析: p : f ( x) ? 2

在区间(4,+∞)上递增,

? u ?| x ? a | 在(4,+∞)上递增,故 a ? 4. ????(3 分)
q : 由 loga 2 ? 1 ? loga a ? 0 ? a ? 1或a ? 2.
如果“ ????(6 分)

? p ”为真命题,则 p 为假命题,即 a ? 4. ????(8 分)

q 又因为 p或q 为真,则 为真,即 0 ? a ? 1或a ? 2

?0 ? a ? 1或a ? 2 ? a?4 由? 可得实数 a 的取值范围是 a ? 4.

????(12 分)

14.已知函数 f(x)是(-∞,+∞)上的增函数,a、b∈R,对命题“若 a+b≥0,则 f(a)+

f(b)≥f(-a)+f(-b)”.
(1)写出其逆命题,判断其真假,并证明你的结论; (2)写出其逆否命题,判断其真假,并证明你的结论. 解 (1)逆命题是:若 f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b), 则 a+b≥0 为真命题. 用反证法证明:假设 a+b<0,则 a<-b,b<-a. ∵f(x)是(-∞,+∞)上的增函数, 则 f(a)<f(-b),f(b)<f(-a), ∴f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b),这与题设相矛盾,所以逆命题为真. (2)逆否命题:若 f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b),

则 a+b<0 为真命题. 因为原命题?它的逆否命题,所以证明原命题为真命题即可. ∵a+b≥0, ∴a≥-b,b≥-a.

又∵f(x)在(-∞,+∞)上是增函数, ∴f(a)≥f(-b),f(b)≥f(-a), ∴f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b). 所以逆否命题为真. 15.判断命题“若 a≥0,则 x +x-a=0 有实根”的逆否命题的真假. 解 法一 写出逆否命题,再判断其真假. 原命题:若 a≥0,则 x +x-a=0 有实根. 逆否命题:若 x +x-a=0 无实根,则 a<0. 判断如下: ∵x +x-a=0 无实根, 1 ∴Δ =1+4a<0,∴a<- <0, 4 ∴“若 x +x-a=0 无实根,则 a<0”为真命题. 法二 利用原命题与逆否命题同真同假(即等价关系)判断 ∵a≥0,∴4a≥0,∴4a+1>0, ∴方程 x +x-a=0 的判别式 Δ =4a+1>0, ∴方程 x +x-a=0 有实根, 故原命题“若 a≥0,则 x +x-a=0 有实根”为真. 又∵原命题与其逆否命题等价, ∴“若 a≥0,则 x +x-a=0 有实根”的逆否命题为真命题. 法三 利用充要条件与集合关系判断. 命题 p:a≥0,q:x +x-a=0 有实根, ∴p:A={a∈R|a≥0},
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

q:B={a∈R|方程 x2+x-a=0 有实根}=?a∈R|a≥- ?.
?

?

1? 4?

即 A? B,∴“若 p,则 q”为真, ∴“若 p,则 q”的逆否命题“若綈 q,则綈 p”为真. ∴“若 a≥0,则 x +x-a=0 有实根”的逆否命题为真. 16.设 p:实数 x 满足 x -4ax+3a <0,其中 a≠0,q:实数 x 满足? (1)若 a=1,且 p∧q 为真,求实数 x 的取值范围;
2 2 2

? ?x -x-6≤0, ?x +2x-8>0. ?
2

2

(2)若 p 是 q 的必要不充分条件,求实数 a 的取值范围. 解:(1)由 x -4ax+3a <0,得(x-3a)(x-a)<0, 当 a=1 时,解得 1<x<3,即 p 为真时实数 x 的取值范围是 1<x<3. 由?
? ?x -x-6≤0 ?x +2x-8>0 ?
2 2 2 2

,得 2<x≤3,即 q 为真时实数 x 的取值范围是 2<x≤3.

若 p∧q 为真,则 p 真且 q 真,所以实数 x 的取值范围是 2<x<3. (2)p 是 q 的必要不充分条件,即 q? p 且 p 又 B=(2,3],当 a>0 时,A=(a,3a);

q,设 A={x|p(x)},B={x|q(x)},则 A

B,

a<0 时,A=(3a,a).
? ?a≤2, 所以当 a>0 时,有? ?3<3a, ?

解得 1<a≤2;

当 a<0 时,显然 A∩B=?,不合题意. 综上所述,实数 a 的取值范围是 1<a≤2.



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