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圆锥曲线(高考二轮专题经典)


第二讲 圆锥曲线的概念及性质

1.圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质 名 称 椭 圆 双曲线 ||PF1|-|PF2||= 2a(2a<|F1F2|) x2 y2 - =1 a2 b2 (a>0,b>0) 抛物线 |PF|=|PM|点 F 不在 直线 l 上, PM⊥l 于 M y2=2px (p>0)

定义 标准 方程 图象

|PF1|+|PF2|= 2a(2a>|F1F2|) x2 y2 + =1 a2 b2 (a>b>0)

范围 顶点 对称 性 焦点 几 何 性 质 离心 率

|x|≤a,|y|≤b (±a,0),(0,±b)

|x|≥a (±a,0)

x≥0 (0,0) 关于 x 轴对称

关于 x 轴,y 轴和原点对称

(±c,0) 长轴长 2a, 短轴长 2b c e= a = b2 1- 2 a (0<e<1) a2 x=± c b y=± x a = 实轴长 2a, 虚轴长 2b c e= a b2 1+ 2 a (e>1)

?p,0? ?2 ?



e=1

准线 渐近 线 2.椭圆中的最值

p x=- 2

x2 y2 F1,F2 为椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点,P 为椭圆的任意 a b 一点,B 为短轴的一个端点,O 为坐标原点,则有 (1)|OP|∈[b,a]. (2)|PF1|∈[a-c,a+c].

(3)|PF1|·|PF2|∈[b2,a2]. (4)∠F1PF2≤∠F1BF2. θ (5)S△F1PF2=b2tan (θ=∠F1PF2). 2 (6)焦点弦以通径为最短. 3.双曲线中的最值 x2 y2 F1,F2 为双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,P 为双曲线 a b 上的任一点,O 为坐标原点,则有 (1)|OP|≥a. (2)|PF1|≥c-a. b2 (3)S△F1PF2= (θ=∠F1PF2). θ tan 2 4.抛物线中的最值 点 P 为抛物线 y2=2px(p>0)上的任一点,F 为焦点,则有: p (1)|PF|≥ . 2 (2)焦点弦 AB 以通径为最值,即|AB|≥2p. (3)A(m,n)为一定点,则|PA|+|PF|有最小值. 5.双曲线的渐近线 (1)求法:令双曲线标准方程的左边为零,分解因式可得. b a (2)用法:①可得 或 的值. a b ②利用渐近线方程设所求双曲线的方程.

题型一 圆锥曲线的概念及性质
x2 y2 【例 1】 (2010·四川)椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的右焦点为 F,其 a b 右准线与 x 轴的交点为 A.在椭圆上存在点 P 满足线段 AP 的垂直平分线过点 F,则椭圆离心率的取值范围是( A.?0, )

?

2? 2?

1 B.?0,2? ? ?

C.[ 2-1,1)

1 D.?2,1? ? ?

a2 解析:依题意,|PF|=|FA|,而|FA|= -c, c |PF|≤a+c,

a2 ∴ -c≤a+c,∴a2≤ac+2c2. c

c 又 e= ,∴2e2+e≥1,∴2e2+e-1≥0, a 即(2e-1)(e+1)≥0,又 0<e<1, 1 ∴ ≤e<1,故选 D. 2 答案:D 拓展提升——开阔思路 提炼方法 圆锥曲线的性质是高考的必考内容,常以选择、填空形式考查,也 在大题中考查,重点考查椭圆、双曲线的离心率及双曲线的渐近线.

1.已知 F1、F2 是椭圆的两个焦点,P 为椭圆上一点,∠F1PF2=60°. (1)求椭圆离心率的范围; (2)求证:△F1PF2 的面积只与椭圆的短轴长有关. x2 y2 解:(1)设椭圆方程为 2+ 2=1(a>b>0), a b |PF1|=m,|PF2|=n. 在△PF1F2 中,由余弦定理可知, 4c2=m2+n2-2mncos 60°. ∵m+n=2a, ∴m2+n2=(m+n)2-2mn=4a2-2mn, ∴4c2=4a2-3mn,即 3mn=4a2-4c2.

又 mn≤?

m+n?2 2 ? 2 ? =a (当且仅当 m=n 时取等号),

c2 1 1 ∴4a2-4c2≤3a2,∴ 2≥ ,即 e≥ , a 4 2 1 ∴e 的取值范围是?2,1?. ? ? 4 (2)证明:由(1)知 mn= b2, 3

1 3 ∴S△PF1F2= mnsin 60°= b2, 2 3 即△PF1F2 的面积只与短轴长有关.

题型二 圆锥曲线的方程

(1)求椭圆 C 的离心率; (2)如果|AB|= 15 ,求椭圆 C 的方程. 4

解:设 A(x1,y1),B(x2,y2),由题意知 y1<0,y2>0. (1)直线 l 的方程为 y= 3(x-c),其中 c= a2-b2.

?y= 3(x-c), ? 联立?x2 y2 得(3a2+b2)y2+2 3b2cy-3b4=0. ? ?a2+b2=1
- 3b2(c+2a) 解得 y1= , 3a2+b2 y2= - 3b2(c-2a) . 3a2+b2

→ → 因为FA=2FB,所以-y1=2y2. 即 3b2(c+2a) - 3b2(c-2a) =2· 2 2 3a +b 3a2+b2

c 2 得离心率 e= = . a 3 (2)因为|AB|= 所以 1 1+ |y2-y1|, 3

2 4 3ab2 15 · 2 . 2= 4 3 3a +b

c 2 5 5 15 由 = 得 b= a,所以 a= , a 3 3 4 4 得 a=3,b= 5. x2 y2 椭圆 C 的方程为 + =1. 9 5 拓展提升——开阔思路 提炼方法 求圆锥曲线的方程常利用圆锥曲线的定义或待定系数法求解,但要注意焦点所在 坐标轴,避免漏解.

x2 y2 2.如图所示,椭圆 2+ 2=1 上的点 M 与椭圆右焦点 F1 的连线 a b MF1 与 x 轴垂直,且 OM(O 是坐标原点)与椭圆长轴和短轴端 点的连线 AB 平行. (1)求椭圆的离心率; π (2)F2 是椭圆的左焦点,C 是椭圆上的任一点,证明:∠F1CF2≤ ; 2 (3)过 F1 且与 AB 垂直的直线交椭圆于 P、Q,若△PF2Q 的面积是 20 3,求此时椭圆的方程. x2 y2 (1)解:设椭圆方程为 2+ 2=1(a>b>0), a b b b b 则 M?c, a ?,kOM= ,kAB= , ? ? ac a b2 b 2 c ∴ = ?b=c?a= 2c,∴e= = . ac a a 2 (2)证明:由椭圆定义得:|F1C|+|F2C|=2a, |F1C|2+|F2C|2-|F1F2|2 cos∠F1CF2= 2|F1C||F2C| = 4a2-4c2-2|F1C||F2C| 2b2 = -1. 2|F1C||F2C| |F1C||F2C| |F1C|+|F2C|?2 2 2 ? ? =a ,
2 2

|F1C||F2C|≤?

2b2 2c2 π ∴cos∠F1CF2≥ 2 -1= 2-1=0,∴∠F1CF2≤ . a 2c 2 a (3)解:设直线 PQ 的方程为 y=- (x-c), b 即 y=- 2(x-c). 1 1 y2 代入椭圆方程消去 x 得: 2?c- y?2+ 2=1, a? 2 ? b 整理得:5y2-2 2cy-2c2=0, 2 2c 2c2 ∴y1+y2= ,y1y2=- . 5 5 ∴(y1-y2)2=?
2 2 2 2c?2 8c 48c + = . 5 25 ? 5 ?

1 4 3c2 S△PF2Q= ·2c·|y1-y2|= =20 3,c2=25, 5 2 x2 y2 因此 a2=50,b2=25,所以椭圆方程为 + =1. 50 25

题型三 热点交汇
【例 3】 (2009·福建卷改编)已知直线 x-2y+2=0 经过椭圆 x2 y2 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左顶点 A 和上顶点 D,椭圆 C 的 a b 右顶点为 B,点 S 是椭圆 C 上位于 x 轴上方的动点,直线 10 AS,BS 与直线 l:x= 分别交于 M,N 两点. 3 (1)求椭圆 C 的方程; (2)求线段 MN 的长度的最小值. (1)解:如图,由题意得椭圆 C 的左顶点为 A(-2,0), 上顶点为 D(0,1),即 a=2,b=1. x2 故椭圆 C 的方程为 +y2=1. 4 (2)直线 AS 的斜率显然存在且不为 0,设直线 AS 的方程为 10 16k y=k(x+2)(k>0),解得 M? 3 , 3 ?,且将直线方程代入椭圆 C ? ? 的方程,得(1+4k2)x2+16k2x+16k2-4=0. 16k2-4 设 S(x1,y1),由根与系数的关系得(-2)·x1= . 1+4k2
2 2-8k2 4k ?2-8k , 4k ?. 由此得 x1= ,y1= ,即 S? ? 1+4k2 1+4k2 ?1+4k2 1+4k2?

1 又 B(2,0),则直线 BS 的方程为 y=- (x-2), 4k 10 1 联立直线 BS 与 l 的方程解得 N? 3 ,-3k?. ? ? 16k 1 16k 1 ∴|MN|=? 3 +3k?= + ≥2 ? ? 3 3k 16k 1 8 · = . 3 3k 3

16k 1 1 1 8 当且仅当 = ,即 k= 时等号成立,故当 k= 时,线段 MN 的长度的最小值是 . 3 3k 4 4 3 拓展提升——开阔思路 提炼方法 (1)以直线与圆锥曲线的位置关系为载体,以不等式或导数为工具,考 查圆锥曲线的最值、参数范围、不等式论证等问题,是近年高考的热点 内容.这类问题综合性强、能力要求高、解法灵活,值得关注. (2)本题涉及到最值问题时,可先建立问题(即面积)的函数关系式,然 后根据其结构特征,运用函数的单调性或基本不等式去获解.求解时应 掌握消元技巧,尽量利用根与系数的关系去简化解题过程,提高运算速 度和准确度.

3.已知菱形 ABCD 的顶点 A,C 在椭圆 x2+3y2=4 上,对角线 BD 所在直线的斜率为 1. (1)当直线 BD 过点(0,1)时,求直线 AC 的方程; (2)当∠ABC=60°时,求菱形 ABCD 面积的最大值. 解:(1)由题意得直线 BD 的方程为 y=x+1.因为四边形 ABCD 为菱形,所以 AC⊥BD. 于是可设直线 AC 的方程为 y=-x+n.
?x2+3y2=4, ? 由? 得 4x2-6nx+3n2-4=0. ? ?y=-x+n,

因为 A,C 在椭圆上, 4 3 4 3 所以 ?=-12n2+64>0, 解得- <n< . 3 3 设 A,C 两点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2), 3n2-4 3n , 则 x1+x2= ,x1x2= 2 4 n y1=-x1+n,y2=-x2+n.所以 y1+y2= . 2 3n n 所以 AC 的中点坐标为? 4 ,4?. ? ? 3n n 由四边形 ABCD 为菱形可知,点? 4 ,4?在直线 ? ? n 3n y=x+1 上,所以 = +1,解得 n=-2. 4 4 所以直线 AC 的方程为 y=-x-2,即 x+y+2=0. (2)因为四边形 ABCD 为菱形,且∠ABC=60°, 所以|AB|=|BC|=|CA|. 所以菱形 ABCD 的面积 S= 3 |AC|2. 2

-3n2+16 由(1)可得|AC|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2= , 2 所以 S= 3 4 3 4 3? (-3n2+16)?- . 4 ? 3 <n< 3 ?

所以当 n=0 时,菱形 ABCD 的面积取得最大值 4 3.

第二讲
一、选择题

圆锥曲线的概念及性质
( )

1.(2010·安徽)双曲线方程为 x2-2y2=1,则它的右焦点坐标为 A.? 2 ? 2 ? ,0? B.? 5 ? 2 ? ,0? C.? 6 ? 2 ? ,0? D.( 3,0)

x2 y2 2.(2010·天津)已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是 y= 3x,它的一个 a b 焦点在抛物线 y2=24x 的准线上,则双曲线的方程为 x y A. - =1 36 108 x2 y2 C. - =1 108 36
2 2

(

)

x y B. - =1 9 27 x2 y2 D. - =1 27 9

2

2

4.(2010·辽宁)设抛物线 y2=8x 的焦点为 F,准线为 l,P 为抛物线上一点,PA⊥l, A 为垂足.如果直线 AF 的斜率为- 3,那么|PF|= A.4 3 B.8 C.8 3 D.16 ( )

5.高 8 m 和 4 m 的两根旗杆笔直竖在水平地面上,且相距 10 m,则地面上观察两旗杆 顶端仰角相等的点的轨迹为 A.圆 二、填空题 B.椭圆 C. 双曲线 D.抛物线 ( )

7.(2010·浙江)设抛物线 y2=2px(p>0)的焦点为 F,点 A(0,2).若线段 FA 的中点 B 在 抛物线上,则 B 到该抛物线准线的距离为________. x2 y2 x2 y2 8.(2010·北京)已知双曲线 2- 2=1 的离心率为 2,焦点与椭圆 + =1 的焦点相同, a b 25 9 那么双曲线的焦点坐标为________;渐近线方程为________.

三、解答题 4 2 10.已知 P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上,点 P 到两焦点的距离分别为 5和 5, 3 3 过 P 作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点,求此椭圆的方程.

11.(2010·湖北)已知一条曲线 C 在 y 轴右边,C 上每一点到点 F(1,0)的距离减去它到 y 轴距离的差都是 1. (1)求曲线 C 的方程; (2)是否存在正数 m,对于过点 M(m,0)且与曲线 C 有两个交点 A、B 的任一直线, →→ 都有FA·FB<0?若存在,求出 m 的取值范围;若不存在,请说明理由.
[来源:学*科*网]

y2 x2 5 12.(2009·陕西,21)已知双曲线 C 的方程为 2- 2=1(a>0,b>0),离心率 e= ,顶点 a b 2 2 5 到渐近线的距离为 . 5 (1)求双曲线 C 的方程; (2)如图,P 是双曲线 C 上一点,A,B 两点在双曲线 C 的两 → → 条渐近线上,且分别位于第一、二象限.若AP= λPB,λ∈

?1,2?,求△AOB 面积的取值范围. ?3 ?

第三讲 直线与圆锥曲线的位置关系

1.判断直线 l 与圆锥曲线 r 的位置关系时,通常将直线 l 的方程 Ax+ By+C=0(A、B 不同时为 0)代入圆锥曲线 r 的方程 F(x,y)=0.消去 y(也可以消去 x)得到一个关于变量 x(或变量 y)的一元二次方程,即
?Ax+By+C=0, ? ? 消去 y 后得 ax2+bx+c=0. ? ?F(x,y)=0,

(1)当 a≠0 时,则当 ?>0 时,直线 l 与曲线 r 相交:?=0 时,直线 l 与曲线 r 相切;?<0 时,直线 l 与曲线 r 相离. (2)当 a=0 时,即得到一个一次方程,则 l 与 r 相交,且只有一个交 点,此时,若 r 为双曲线,则直线 l 与双曲线的渐近线平行;若 r 为 抛物线,则直线 l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行. 2.连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦 直线 l:f(x,y)=0,曲线 r:F(x,y)=0,l 与 r 的两个不同的交 点 A、B,A(x1,y1)、B(x2,y2),则(x1,y1)、(x2,y2)是方程组
?f(x,y)=0, ? ? 的两组解.方程组消元后化为关于 x(或 y)的一元二 ? ?F(x,y)=0

次方程 Ax2+Bx+C=0(A≠0).判别式 ?=B2-4AC,应用 ?>0, 所以 x1、x2 是方程 Ax2+Bx+C=0 的解.由根与系数的关系(韦达 B C 定理)求出 x1+x2=- ,x1x2= ,所以 A、B 两点间距离为|AB|= A A B2-4AC (1+k ) (其中 k 为 l 的斜率),即弦长公式.也可以写成 A2
2

关于 y 的形式,其弦长公式为|AB|=

?1+ 12?[(y1+y2)2-4y1y2]. ? k?

3.已知弦 AB 的中点,研究 AB 的斜率和方程 x2 y2 (1)AB 是椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的一条弦,中点 M 坐标为(x0,y0), a b b2x0 则 AB 的斜率为- 2 .运用点差法求 AB 的斜率,设 A(x1,y1), a y0

?a B(x ,y ).A、B 都在椭圆上,∴? x ?a
2 2

x1 2 y1 2 2 + 2 =1, b
2 y2 2 2 2 + 2 =1,

两式相减得

b

x1 2-x2 2 y1 2-y2 2 (x1-x2)(x1+x2) (y1-y2)(y1+y2) + =0,∴ + =0, a2 b2 a2 b2 即 y1-y2 b2(x1+x2) b2x0 b2x0 =- 2 =- 2 .故 kAB=- 2 . a y0 a y0 x1-x2 a (y1+y2)

x2 y2 (2)运用类比的方法可以推出:已知 AB 是双曲线 2- 2=1 的弦, a b 中点 M(x0,y0),则 kAB= b2x0 ; a2y0

p 已知抛物线 y2=2px(p>0)的弦 AB 的中点 M(x0,y0),则 kAB= . y0

题型一 直线与圆锥曲线的位置关系
x2 y2 6 【例 1】 已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 ,短轴 a b 3 一个端点到右焦点的距离为 3. (1)求椭圆 C 的方程; (2)设直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点,坐标原点 O 到直线 l 的 距离为 3 ,求△AOB 面积的最大值. 2

?c= 6, ? 解:(1)设椭圆的半焦距为 c,依题意?a 3 ?a= 3, ?
x2 ∴b=1,∴所求椭圆方程为 +y2=1. 3 (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2). 设 , . ①当 AB⊥x 轴时,|AB|= 3. ⊥ 轴时, = 轴不垂直时, ②当 AB 与 x 轴不垂直时,设直线 AB 的方程为 y=kx+m. = + 由已知 |m| 3 3 2 2 . 2= 2 ,得 m =4(k +1). 1+k +

把 y=kx+m 代入椭圆方程,整理得(3k2+1)x2+6kmx+3m2-3=0, -6km 3(m2-1) ∴x1+x2= 2 ,x1x2= 2 . 3k +1 3k +1 ∴|AB|2=(1+k2)(x2-x1)2=(1+k2)·

? 36k m -12(m -1)?=12(k +1)(3k +1-m ) ?(3k2+1)2 3k2+1 ? (3k2+1)2 ? ?
2 2 2 2 2 2



3(k2+1)(9k2+1) 12k2 =3+ 4 2 2 (3k +1) 9k +6k2+1 12 12 ≤3+ =4(k≠0). 1 2×3+6 9k2+ 2+6 k

=3+

1 3 当且仅当 9k2= 2,即 k=± 时等号成立.当 k=0 时, k 3 |AB|= 3,综上所述|AB|max=2. 3 3 1 ∴当|AB|最大时,△AOB 面积取最大值 S= ×|AB|max× = . 2 2 2 拓展提升——开阔思路 提炼方法 解决直线与圆锥曲线的位置关系问题对于直线与圆锥曲线的交 点可利用“设而不求”的办法,可利用一元二次方程的判别式和根 与系数之间的关系进行过渡,解决的常见问题有:弦长、弦的中点、 垂直、三点共线等等.

1.(2009·湖南)已知椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,以两个焦点 和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为 8 的正方形(记为 Q). (1)求椭圆的方程; (2)设点 P 是椭圆 C 的左准线与 x 轴的交点、过点 P 的直线 l 与椭圆 C 相交于 M,N 两点,当线段 MN 的中点落在正方形 Q 内(包括边界) 时,求直线 l 的斜率的取值范围.

题型二 圆锥曲线中的探索性问题
【例 2】 (2010·福建)已知中心在坐标原点 O 的椭圆 C 经过点 A(2,3),且点 F(2,0)为其右焦点. (1)求椭圆 C 的方程; (2)是否存在平行于 OA 的直线 l,使得直线 l 与椭圆 C 有 公共点,且直线 OA 与 l 的距离等于 4?若存在,求出直 线 l 的方程;若不存在,说明理由.

x2 y2 解:解法一:(1)依题意,可设椭圆 C 的方程为 2+ 2=1 a b (a>b>0),且可知左焦点为 F′(-2,0).
?c=2, ? 从而有? ? ?2a=|AF|+|AF′|=3+5=8, ? ?c=2, 解得? ? ?a=4.

x2 y2 又 a2=b2+c2,所以 b2=12,故椭圆 C 的方程为 + =1. 16 12 3 (2)假设存在符合题意的直线 l,其方程为 y= x+t. 2

?y=2x+t, 由? x y ?16+12=1
2 2

3

得 3x2+3tx+t2-12=0.

因为直线 l 与椭圆 C 有公共点,所以 ?=(3t)2-4×3(t2-12)≥0, 解得-4 3≤t≤4 3. 另一方面,由直线 OA 与 l 的距离 d=4 可得 |t| =4,从而 t=±2 13. 9 +1 4

由于±2 13?[-4 3,4 3],所以符合题意的直线 l 不存在. 解法二:(1)依题意,可设椭圆 C 的方程为

? 42+ 92=1, ?a b x2 y2 2+ 2=1(a>b>0),且有:? a b ? ?a2-b2=4.
x2 y2 解得 b2=12 或 b2=-3(舍去),从而 a2=16.所以椭圆 C 的方程为 + =1. 16 12 (2)同解法一. 拓展提升——开阔思路 提炼方法 圆锥曲线与探索型问题包含两类题型,一是无明确结论,探索结论问 题;二是给定明确结论,探索结论是否存在问题.设置此类问题,旨在考 查创新意识和探究能力. 探究性问题的处理方法一般采用先假设存在或成立,再以此为条件推 证,若结论与题设(或已知结论)矛盾,则不存在:若满足条件(或结论)则 存在.

x2 y2 2.(2010·陕西)如图,椭圆 C: 2+ 2=1 的顶点为 A1,A2,B1, a b B2,焦点为 F1,F2,|A1B1|= 7,S?A1B1A2B2=2S?B1F1B2F2. (1)求椭圆 C 的方程;

题型三 热点交汇
【例 3】已知两点 M(-2,0) ,N(2,0) ,动点 P 在 y 轴上的射影是 → → → → H,如果PH·PH,PM·PN分别是公比 q=2 的等比数列的第三、第 四项. (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2)已知过点 N 的直线 l 交曲线 C 于 x 轴下方两个不同的点 A,B, 设 R 为 AB 的中点,若过点 R 与定点 Q(0,-2)的直线交 x 轴于 点 D(x0,0),求 x0 的取值范围. ∴点 P 的轨迹方程为 y2-x2=4(x≠0).

(2)当 k=±1 时,不成立.设直线 AB 的方程为:y=k(x-2),A(x1,y1), x1+x2 y1+y2 B(x2,y2),R(x3,y3),其中 x3= ,y3= . 2 2

?y=k(x-2), ? 由? 2 2 化简得(k2-1)x2-4k2x+4(k2-1)=0, ? ?y -x =4,

y+2 y3+2 y3 1 ∴ = ,∴DQ 的方程为 = . x3 k x x3 2 y3+2 1 2 = + , 令 y=0,得 = k x3 x0 x3 2 2 ∴x0= = . 1 1?2 5 k2-1 1 -?k -2? + +2· 2 ? 4 k 2k 又由 ?=16k4-16(k2-1)2=32k2-16>0,y1+y2<0, y1·y2>0,可得 1 ∴1< < 2, k 1 1 5 ∴ 2-1<-? k-2?2+ <1, ? ? 4 ∴2<x0<2+2 2. 故所求的 x0 的取值范围为(2,2+2 2). 拓展提升——开阔思路 提炼方法 解析几何与平面向量结合的参数问题,往往是高考的热点之一,解 此类题有三种处理方法. 1.不作任何变换,直接由向量概念向点的坐标转化. 2.把平面几何语言转化为向量语言,然后用向量知识来解决. 3.转换为平面几何语言,化为代数运算,其转化途径主要有两种: (1)利用向量平行或垂直的充要条件; (2)利用向量数量积的公式和性质. 2 <k<1, 2

3.如图,在直角坐标系 xOy 中,有一组对角线长为 an 的正方形 AnBn CnDn(n=1,2,…),其对角线 BnDn 依次放置在 x 轴上(相邻顶点重 合).设{an}是首项为 a,公差为 d(d>0)的等差数列,点 B1 的坐标 为(d,0).

(1)当 a=8,d=4 时,证明:顶点 A1、A2、A3 不在同一条直线上; (2)在(1)的条件下,证明:所有顶点 An 均落在抛物线 y2=2x 上. (3)为使所有顶点 An 均落在抛物线 y2=2px(p>0)上,求 a 与 d 之间所 应满足的关系式.

第三讲 直线与圆锥曲线的位置关系
一、选择题 1.已知以 F1(-2,0),F2(2,0)为焦点的椭圆与直线 x+ 3y+4=0 有且仅有一个交点, 则椭圆的长轴长为 A.3 2 B.2 6 C.2 7 D.4 2 ( )

2. (2009·山东)设斜率为 2 的直线 l 过抛物线 y2=ax(a≠0)的焦点 F, 且和 y 轴交于点 A, 若△OAF(O 为坐标原点)的面积为 4,则抛物线方程为 A.y2=±4x B.y2=±8x C.y2=4x D.y2=8x ( )

3.已知抛物线 C:y2=8x 的焦点为 F,准线与 x 轴的交点为 K,点 A 在 C 上且|AK|= 2|AF|,则△AFK 的面积为 A.4 B.8 C.16 D.32 ( )

A.1

B. 2

C. 3

D.2

5.(2010·安徽蚌埠)若直线 y=kx+2 与双曲线 x2-y2=6 的右支交于不同的两点,则 k 的取值范围是 A.?- ( B.?0, )

?

15 15? , 3 3 ? 15 ? ,0 3 ?

?

15? 3 ?

C.?-

?

D.?-

?

15 ? ,-1 3 ?

二、填空题 6.(2009·海南)已知抛物线 C 的顶点为坐标原点,焦点在 x 轴上,直线 y=x 与抛物线 C 交于 A,B 两点,若 P(2,2)为 AB 的中点,则抛物线 C 的方 程为________.
2
[来源:Z|xx|k.Com]

7.(2009·福建)过抛物线 y =2px( p>0)的焦点 F 作倾斜角为 45°的直线交抛物线于 A、B 两点,若线段 AB 的长为 8,则 p=________.

三、解答题 x2 10.在平面直角坐标系 xOy 中,经过点(0, 2)且斜率为 k 的直线 l 与椭圆 +y2=1 有 2 两个不同的交点 P 和 Q. (1)求 k 的取值范围; (2)设椭圆与 x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为 A、B,是否存在常数 k,使得向 → → → 量OP+OQ与AB共线?如果存在,求 k 值;如果不存在,请说明理由.

(1)若|k|≤2 6,求离心率 e 的取值范围; 200 (2)若|k|=2 6,并且弦 AB 的中点到右准线的距离为 ,求椭圆的方程. 33

专题达标检测四
一、选择题 1.(2010·山东潍坊)直线 xcos α+ 3y+2=0 的倾斜角的范围是 π π π 5π A.?6,2?∪?2, 6 ? ? ? ? ? 5π C.?0, 6 ? ? ? π 5π B.?0,6?∪? 6 ,π? ? ? ? ? π 5π D.?6, 6 ? ? ? ( )

2.若圆 x2+y2-4x-4y-10=0 上至少有三个不同的点到直线 l:ax+by=0 的距离为 2 2, 则直线 l 的倾斜角的取值范围是 π π A.?12,4? ? ? π π C.?6,3? ? ? π 5π B.?12,12? ? ? π D.?0,2? ? ? ( )

3.(2010·陕西)已知抛物线 y2=2px(p>0)的准线与圆 x2+y2-6x-7=0 相切,则 p 的值 为 ( 1 A. 2
科&网 Z&X&X&K]

)

B.1

C.2

D.4

A.0

B.2

C.4

D.-2

x2 y2 5.已知 F1、F2 是双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的两焦点,以线段 F1F2 为边作正三角形 a b MF1F2,若边 MF1 的中点在双曲线上,则双曲线的离心率是 A.4+2 3 C. 3+1 2 B. 3-1 D. 3+1 ( )

二、填空题 7.(2010·辽宁沈阳)若直线 l 经过点(a-2,-1)和(-a-2,1)且与经过点(-2,1),斜率为

2 - 的直线垂直,则实数 a 的值为________. 3 x2 16y2 8.若双曲线 - 2 =1 的左焦点在抛物线 y2=2px 的准线上,则 p 的值为________. 3 p
源:学科网 ZXXK] [来

9.(2010·上海)圆 C:x2+y2-2x-4y+4=0 的圆心到直线 3x+4y+4=0 的距离 d= ________. x2 y2 10.(2009·湖南)过双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)的一个焦点作圆 x2+y2=a2 的两条切 a b 线,切点分别为 A、B.若∠AOB=120°(O 是坐标原点),则双曲线 C 的离心率为 ________. 三、解答题 11.(2010·宁夏银川)设直线 l 的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a∈R). (1)若 l 在两坐标轴上截距相等,求 l 的方程; (2)若 l 不经过第二象限,求实数 a 的取值范围.

x2 y2 12.P 为椭圆 + =1 上任意一点,F1、F2 为左、右焦点,如图所示. 25 16 1 (1)若 PF1 的中点为 M,求证:|M O|=5- |PF1|; 2 (2)若∠F1PF2=60°,求|PF1|·|PF2|之值; → → (3)椭圆上是否存在点 P,使PF1·PF2=0,若存在,求出 P 点的坐标,若不存在, 试说明理由.
[来源:学科网]

(2)设△AMB 的面积为 S,写出 S=f(λ)的表达式,并求 S 的最小值.


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