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山西省太原市第五中学2015届高三五月月考数学(理)试卷



太原五中 2014—2015 学年度第二学期阶段检测







学(理)
(2015.5.7)

命题人、校题人:吕兆鹏 刘锦屏

一.选择题(本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一选项是 符合题目

要求的) 1. 已知集合错误!未找到引用源。, 错误!未找到引用源。, 则错误!未找到引用源。= ( A. 错误!未找到引用源。 D. 错误!未找到引用源。 2. 在复平面内,复数错误!未找到引用源。的共轭复数的虚部为 ( A .2 5 B. 2 5 2 C. i 5 D.2 i 5 ) B. 错误!未找到引用源。 )

C. 错误!未找到引用源。

3.将函数错误!未找到引用源。的图象沿错误!未找到引用源。轴向左平移错误!未找到引用源。个 单位后,得到一个偶函数的图象,则错误!未找到引用源。的一个可能取 值为( ) C. 0 D. - 错误!未找到引用源。

A. 错误!未找到引用源。 B. 错误!未找到引用源。 4.阅读程序框图,若输入错误!未找到引用源。, 则输出错误!未找到引用源。分别是( ) A.错误!未找到引用源。 B.错误!未找到引用源。 C.错误!未找到引用源。 D.错误!未找到引用源。

5.某校在一次期中考试结束后,把全校文、 理科 理科总分前 10 名学生的数学成绩(满分 150 分) 8 6 6 14 抽出来进行对比分析,得到如图所示的茎叶图. 13 9 8 8 若从数学成绩高于 120 分的学生中抽取 3 人, 12 9 8 分别到三个班级进行数学学习方法交流, 11 9 8 10 则满足理科人数多于文科人数的情况有( )种 A. 3081 B. 1512 第(5)题 C. 1848 D. 2014 6.某四面体的三视图如图所示,正视图、侧视图、 俯视图都是边长为 1 的正方形,则此四面体的外接球的体积为 ( A.错误!未找到引用源。 B.错误!未找到引用源。 C.错误!未找到引用源。 D.错误!未找到引用源。
正视图 侧视图

文科
0 2 6 6 1 6 9 8 8 9





俯视图

7.下列说法正确的是(



A.命题“若错误!未找到引用源。 , 则 错误!未找到引用源。”的逆否命题是“若错误!未找到引
用源。, 则错误!未找到引用源。或错误!未找到引用源。”;

B.命题“错误!未找到引用源。, 错误!未找到引用源。”的否定是“错误!未找到引用源。, 错误!
未找到引用源。”;

C.“错误!未找到引用源。”是“函数错误!未找到引用源。在区间错误!未找到引用源。上单调递 减”的充要条件; D.已知命题错误!未找到引用源。;命题错误!未找到引用源。 , 则 “错误!未找到引用源。为真 命题”. 8. 已知点 M 是?ABC 的重心,若 A=60° ,错误!未找到引用源。,则错误!未找到引用源。的最小值 为( ) A.错误!未找到引用源。 源。 D.2 B.错误!未找到引用源。 C.错误!未找到引用

9.设错误!未找到引用源。分别是方程错误!未找到引用源。和错误!未找到引用源。的根(其中错误!
未找到引用源。), 则错误!未找到引用源。的取值范围是(

A. 错误!未找到引用源。

B. 错误!未找到引用源。

) C. 错误!未找到引用源。

D. 错

误!未找到引用源。 10.已知数列错误!未找到引用源。的前错误!未找到引用源。项和为错误!未找到引用源。,且错误! 未找到引用源。,在等差数列错误!未找到引用源。中,错误!未找到引用源。,且公差错误!未找到 引用源。.使得错误!未找到引用源。成立的最小正整数错误!未找到引用源。为( )

A.2 B.3 C.4 D.5 11.已知错误!未找到引用源。为抛物线错误!未找到引用源。的焦点,点 A、B 在该抛物线上且位 于错误!未找到引用源。轴两侧,且 错误!未找到引用源。(O 为坐标原点) ,则错误!未找到引用源。与错误!未找到引用源。面积之和 的最小值为( ) A. 4 B. 3 13 2 C. 17 2 4 D. 10

12.已知函数错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。设函数错误!未找到引用源。且函数错误!未找到引用源。的零点均在区间错误! 未找到引用源。内,则错误!未找到引用源。的最小值为( )
错误!未找到引用源。 引用源。 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 错误!未找到

二.填空题(本题共 4 个小题,每小 5 分,满分 20 分)

13.已知错误!未找到引用源。 ,则错误!未找到引用源。展开式中的常数项为_____ 14.任取错误!未找到引用源。,直线错误!未找到引用源。与圆错误!未找到引用源。相交于错误! 未找到引用源。两点,则错误!未找到引用源。的概率是 15. 已知数列错误!未找到引用源。的前错误!未找到引用源。项和为错误!未找到引用源。, 满足
错误!未找到引用源。,

则错误!未找到引用源。 16.已知错误!未找到引用源。, 若错误!未找到引用源。 且错误!未找到引用源。(a,b,c?R), 则实数错误!未找到引用源。的取值范围是 三.解答题(本大题共 6 小题,满分 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.( 本小题满分 12 分) 在错误!未找到引用源。中,若错误!未找到引用源。, 且错误!未找到引用源。 (1)求角错误!未找到引用源。的大小; (2)求错误!未找到引用源。的面积错误!未找到引用源。. 18. ( 本小题满分 12 分) 某高校在上学期依次举行了“法律、环保、交通”三次知识竞赛活动,要 求每位同学至少参加一次活动.该高校 2014 级某班 50 名学生在上学期参加该项活动的次数统计如图 所示. (1)从该班中任意选两名学生,求他们参加活动次数不相等的概率. (2)从该班中任意选两名学生,用错误!未找到引用源。表示这两人参加活动次数之差的绝对值, 求随机变量错误!未找到引用源。的分布列及数学期望错误!未找到引用源。. (3)从该班中任意选两名学生,用错误!未找到引用 源。表示 参加人数 这两人参加活动次数之和,记“函数 25 错误!未找到引用源。在区间(3,5)上有且 20 只有一个零点”为事件 A,求事件 A 发生的概率.
15 10

19.(本题满分 12 分)已知四棱锥错误!未找到引用源。 中, 错误!未找 到引用源。 ,错误!未找到引用源。 ,且底面错误!未 2 3 1 活动次数 找到引用源。 第 18 题图 是边长为 1 的正方形,错误!未找到引用源。是侧棱错误!未找到引用源。上的一点(如图所示). (1)如果点错误!未找到引用源。在线段错误!未找到引用源。上,错误!未找到引用源。,且错误! 未找到引用源。,求错误!未找到引用源。的值; (2)在(1)的条件下,求二面角错误!未找到引用源。的余弦值. P E

5

D F

C

20.(本题满分 12 分)已知椭圆错误!未找到引用源。的离心率为错误!未找到引用源。,且过点错误! 未找到引用源。,抛物线错误!未找到引用源。的焦点坐标为错误!未找到引用源。. (1)求椭圆错误!未找到引用源。和抛物线错误!未找到引用源。的方程; (2)若点错误!未找到引用源。是直线错误!未找到引用源。上的动点,过点错误!未找到引用源。 作 抛物线错误!未找到引用源。的两条切线,切点分别是错误!未找到引用源。,直线错误!未找到引用 源。交椭圆错误!未找到引用源。于错误!未找到引用源。两点. (i)求证:直线错误!未找到引用源。过定点,并求出该定点的坐标; (ii)当错误!未找到引用源。的面积取最大值时,求直线错误!未找到引用源。的方程. y L M
O

Q B x

A

P
第 20 题图

21.(本小题满分 12 分)已知函数错误!未找到引用源。 (1)若直线错误!未找到引用源。是曲线错误!未找到引用源。的切线,求错误!未找到引用源。 的 值; (2)若直线错误!未找到引用源。是曲线错误!未找到引用源。的切线,求错误!未找到引用源。 的 最大值; (3)设错误!未找到引用源。是曲线错误!未找到引用源。上相异三点,其中错误!未找到引用源。 求证:错误!未找到引用源。 选做题:请考生在 22,23,24 题中任选一题作答,如果多选则按所做的第一题记分,作答时,请涂明 题号. E 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,⊙ O 的直径 AB 的延长线与弦 CD 的延长线相交于点 P ,
A C F B D O P

E 为⊙ O 上一点,AE=AC , DE 交 AB 于点 F ,且 AB ? 2 BP ? 4 , (I)求 PF 的长度.
(II)若圆 F 与圆 O 内切,直线 PT 与圆 F 切于点 T,求线段 PT 的长度 23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知直线错误!未找到引用源。的参数方程是错误!未找到引用源。,圆 C 的极坐标方程为错误!

未找到引用源。. (1)求圆心 C 的直角坐标; (2)由直线错误!未找到引用源。上的点向圆 C 引切线,求切线长的最小值. 24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数错误!未找到引用源。 (1) 解关于错误!未找到引用源。的不等式错误!未找到引用源。; (2) 若函数错误!未找到引用源。的图象恒在函数错误!未找到引用源。图象的上方,求错误!未
找到引用源。的取值范围.

太原五中 2014—2015 年度高三年级阶段性检测
高三数学参考答案
一.CBBAC BDBAC BC n+1 -3- 21 -3+ 21 3 ;15.;16. [ , ] 3 n+2 2 2 二.13. __-20___ ;14. 三.解答题 17. 解: (1)由题可知:在 ?ABC 中,?错误!未找到引用源。? = 2 3 , 错误!未找到引用源。?cosC + 错误!未找到引用源。?cosA = 错误!未找到引用源。?sinB, 因为: 错误!未找到引用源。 = 错误!未找到引用源。 + 错误!未找到引用源。 ,错误!未找到

引用源。?cosC + 错误!未找到引用源。?cosA = (错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。 ) ?sinB, 即: (cosC - sinB)错误!未找到引用源。 + (cosA - sinB)错误!未找到引用源。 = 错误! 未找到引用源。-------2 分 而错误!未找到引用源。 、错误!未找到引用源。是两不共线向量,所以:错误!未找到引用源。? cosC = cosA, 0 < A,C < ? , ? A = C , ?ABC 为等腰三角形.在等腰 ?ABC 中,A + B + C = ? , ? 2A + B = ?, A = B ? B ? B - ;由上知:cosA = cos( )= sin 2 2 2 2 2 0 < B ? < , 2 2 2? ,-------------6 分 3 ?错误!未找到引用源。? ?错误!未找到引用源。? ? , 由正弦定理得: = , 6 2? ? sin sin 6 3 1 ? ?错误!未找到引用源。???错误!未找到引用源。?sin 2 6 B B B = sinB, ?sin = 2sin cos , ? cos 2 2 2

B 1 = , 2 2 ? B ? = , 2 3

B =

(2) 由 (1) 知: 则A=C=

??错误!未找到引用源。? = 2 , S?ABC = = 1 1 ×2 3 ×2 × = 2 2 3 --12 分

18.解: (1)从该班任取两名学生,他们参加活动的次数恰好相等的概率: P = 错误!未找到引用源。 = 20 20 29 ,故 P = 1 = .-----4 分 49 49 49

(2) 从该班中任选两名学生,用 ? 表示这两学生参加活动次数之差的绝对值,则 ? 的可能取值分别 为:0 ,1,2, 于是 P(? = 0)= 20 25 , P(? = 1)= 错误!未找到引用源。= , 49 49 4 , 从而 ? 的分布列为: 49 1 25 49 4 49 2

P(? = 2)= 错误!未找到引用源。 = ? P 0 20 49

20 25 4 33 E? = 0? + 1? + 2? = .---------------8 分 49 49 49 49 (3) 因为函数 f(x) = x - ?x – 1 在区间(3,5)上有且只有一个零点,则
2

8 24 f(3)?f(5) < 0 , 即:(8 - 3?)(24- 5?) < 0 , 错误!未找到引用源。 < ? < -------10 分 3 5 又由于 ? 的取值分别为:2,3,4,5,6,故 ? = 3 或 4, 故所求的概率为:P(A)= 错误!未找到引用源。 = 3 .------------------12 分 7

19.解:(1)连接 CF 并延长交 AB 于 K,连接 PK, 因为:EF//平面 PAB ,EF? 平面 PCK,平面 PCK? 平面 PAB = PK,

? EF// PK,因为 DF=3FB,AB//CD ,? CF=3KF, 又因为:EF// PK,? CE= 3PE, ? PE 1 = -----4 分 EC 3

(2) 以 C 为原点,CD,CB,CP 所在直线为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间坐标系 (如图所示)则有: C(0,0,0) , D(1,0,0),A(1,1,0) B(0,1,0),P(0,0,2), E(0,0, 3 1 3 ),F( , ,0) 2 4 4 P

z

1 3 3 1 1 E 故错误!未找到引用源。= ( , ,),错误!未找到引用源。= ( ,- ,0) 4 4 2 4 4 1 3 错误!未找到引用源。= ( , ,0)-----------6 分 4 4 设错误!未找到引用源。= (x1 ,y1 ,z1)是平面 x BEF 的一个法向量 D C 2 F 则有:错误!未找到引用源。,取 x=1 得:错误!未找到引用源。= (1,1, ) 3 A K B ----------------------------------8 分 第 19 题图 同理:平面 CEF 的一个法向量为:错误!未找到引用源。= (3,-1,0) -----------------10 分 cos< 错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。 , 错 误 ! 未 找 y 到 引 用 源 。 > 错误!未找到引用源。?错误!未找到引用源。 3 55 = ?错误!未找到引用源。???错误!未找到引用源。? 55 所以:二面角 B—EF—C 的余弦值为:2

=

3 55 .-----------12 分 55

x 2 2 20.解:(1)椭圆 C1: + y =1;C2:x =-2y ----4 分 4 x (2)(i)设点 M(x0,y0),且满足 2x0-4y0+3=0,点 A(x1,y1) ,B(x2 ,y2), 对于抛物线 y= ,y? = - x , 则 2 切线 MA 的斜率为-x1 ,从而切线 MA 的方程为:y–y1=-x1(x-x1),即:x1x+y+y1=0 ,同理:切线 MB 的方 程为:x2x+y+y2=0 , 又因为同时过 M 点,所以分别有:x1x0+y0+y1=0 和 x2x0+y0+y2=0,因此 A,B 同时在直线 x0x+y+y0=0 上, 又因为:2x0-4y0+3=0,所以:AB 方程可写成:y0(4x+2)+(2y-3x)= 0,显然直线 AB 过定点:(3 ).---------6 分 4 (ii)直线 AB 的方程为:x0x+y+y0=0,代入椭圆方程中得:(1+4x0 )x +8x0y0x+4y0 -4=0 2 2 令 P(x3,y3),Q(x4,y4) , ? = 16(4x0 - y0 +1)>0, 8x0y0 4y0 -4 x3+x4 = ;x3x4 = 2 2 4x0 +1 4x0 +1 ?PQ? = 1+x0 · (x3+x4) -4x3x4 = ?y0? 1+x0
2 2 2 2 2 2 2 2

1 ,2

1+x0

2

16(4x0 -y0 +1) · -------8 分 2 1+4x0

2

2

点 O 到 PQ 的距离为:d=

从而 S?OPQ =
2

1 1 16(4x0 -y0 +1) ?y0? 2 ·?PQ?·d = × 1+x0 · × 2 2 2 2 1+4x0 1+x0
2 2 2 2 2 2 2

= 2×

y0 (4x0 -y0 +1) y0 +(4x0 - y0 +1) ? =1 ---------10 分 2 2 1+4x0 1+4x0
2 2 2

当且仅当 y0 = 4x0 - y0 +1 时等号成立,又 2x0-4y0+3=0 联立解得:x0=

1 1 5 ,y0= 1 或 x0= ,y0= ; 2 14 7

从而所求直线 AB 的方程为:x+2y+2=0 或 x-14y-10=0------------12 分 21.解:(1)设切点为(x0,lnx0), k=f?(x)= 代入 y= 1 1 = ,x0 = 2 ,?切点为(2,ln2), x0 2

1 x + m 得:m = ln2-1.----------------4 分 2 1 1 , ? f?(t)= , x t

(2)设 y = ax+b 切 f(x)于(t,lnt)(t>0), f?(x)= 则切线方程为:y = ?ab=

1 1 1 (x-t)+lnt ,y = x+lnx-1 , a= ,b= lnt-1 t t t

1 1 1 1 2-lnt (lnt-1), 令 g(t)= (lnt-1), g?(t)= - 2 (lnt-1)+ 2 = 2 t t t t t
2 2 2 2

若 t?(0,e )时,g?(t)>0,? g(t)在(0,e )上单调增;t?(e ,??)时,g?(t)<0, ? g(t)在(e ,+?)上 2 单调递减;所以,当 t= e 时,ab 的最大值为: g(e )=
2

1 1 2 2 (lne -1)= 2 ------------------------8 分 e e

1 f(x2)-f(x1) 1 1 lnx2-lnx1 1 (3)先证: < < ,即证: < < , x2 x2-x1 x1 x2 x2-x1 x1 只证:1h?(m)= x1 x2 x2 x2 <ln < - 1 , 令 = t >1, 设 h(m) =lnt–t +1 , x2 x1 x1 x1

1 - 1<0 , 所以:h(t)在(1,+ ?)上单调递减,则 h(t)<h(1)=ln1-1+1=0, t

x2 x2 x1 x2 即证:ln < – 1. 以下证明:1<ln x1 x1 x2 x1 令 p(t)= lnt+ 1 1 1 1 -1 , p?(t)= - 2 >0 , 所以: p(t)= lnt+ -1 在 (1,+ ?) 上单调递增,即: t t t t 1 x1 x2 -1>0, ?1<ln 获证. t x2 x1

p(t)>p(1)= 0 ,即有:lnt+ 故

1 f(x2)-f(x1) 1 1 f(x3)-f(x2) 1 f(x2)-f(x1) < < 成立 , 同 理可证: < < ,综 上可 知: : > x2 x2-x1 x1 x3 x3-x2 x2 x2-x1

f(x3)-f(x2) 成立------------12 分 x3-x2 选做题:请考生在 22,23,24 题中任选一题作答,如果多选则按所做的第一题记分,作答时,请涂明 题号. 22.

解: (I)连结 OC , OD, OE ,由同弧对应的圆周角与圆心角之间的关系 结合题中条件弧长 AE 等于弧长 AC 可得

?CDE ? ?AOC , 又 ?CDE ? ?P ? ?PFD , ?AOC ? ?P ? ?OCP , 从而 ?PFD ? ?OCP ,故 ?PFD ∽ ?PCO ,


E A C O F B D P

PF PD ? , PC PO

????4 分

PC ? PD 12 ? ?3. ????6 分 PO 4 (II)若圆 F 与圆 O 内切,设圆 F 的半径为 r,因为 OF ? 2 ? r ? 1 即 r ? 1
由割线定理知 PC ? PD ? PA ? PB ? 12 ,故 PF ? 所以 OB 是圆 F 的直径,且过 P 点圆 F 的切线为 PT
2 则 PT ? PB ? PO ? 2 ? 4 ? 8 ,即 PT ? 2 2

????10 分

23.解: (I)错误!未找到引用源。 , 错误!未找到引用源。 , ???(2 分) 错误!未找到引用源。 , ????(3 分) 即错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。 .????(5 分) (II) :直线错误!未找到引用源。上的点向圆 C 引切线长是 错误!未找到引用源。 , ????(8 分) ∴直线错误! 未找到引用源。 上的点向圆 C 引的切线长的最小值是错误! 未找到引用源。 ??? (10 分) 24.解:(1)不等式错误!未找到引用源。 ,即错误!未找到引用源。 。 当错误!未找到引用源。时,不等式的解集是错误!未找到引用源。 ; 当错误!未找到引用源。时,不等式的解集为错误!未找到引用源。 ; 当错误!未找到引用源。时,即错误!未找到引用源。 ,即错误!未找到引用源。或错误!未找到引 用源。 , 即错误! 未找到引用源。 或者错误! 未找到引用源。 , 解集为错误! 未找到引用源。 。 ???????? 5分 (Ⅱ)函数错误!未找到引用源。的图象恒在函数错误!未找到引用源。图象的上方,即错误!未 找到引用源。对任意实数错误!未找到引用源。恒成立。即错误!未找到引用源。对任意实数错误! 未找到引用源。恒成立。 由于错误!未找到引用源。 ,故只要错误!未找到引用源。. 所 以 错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。 的 取 值 范 围 是 错 误 ! 未 找 到 引 用 源。. ????????10 分



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