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高二(下)学案4-2矩阵5



2014 级高二数学(下)(理科)

数学学案 4-2 矩阵 NO.5 班级

学号

姓名

编写:张红兵

审校:王美利

§5 投影变换与切变变换
【学习目标】掌握平面变换中的投影变换和切变变换几何意义、会进行其矩阵表示。 【预习导引】

>1. (1)投影变换: (2)常见的投影变换矩阵有 2.(1)切变变换 (2)常见的切变变换矩阵 .

例 2、已知直线 l : x+y=5. (1) 求直线 l : 在矩阵 M ? ?

?0 0 ? ? 对应的变换作用下得到的图形. ?1 1 ?

(2) 是否存在矩阵 N,使直线 l 在矩阵 N 对应的变换作用下得到点(5,0); (3) 是否存在矩阵 P,使直线 l 在矩阵 P 对应的变换作用下得到点(5,5);

例 3、(1)若矩阵 M 对应的变换将平面上的点沿垂直于直线 y ? x 的方向投影到直线 y ? x 上,求矩阵 M. (2)设 l 是过原点的直线,且直线 l 的倾斜角为 60°,A 是到直线 l 的垂直投影变换,求投影变换 A 的矩阵, 并求点 P(2,-1)在 A 下的象点 P′的坐标.

3、设 A 是到 ox 轴的正投影变换,A 把点 P(x,y)变成点 P′(x,0),B 是到 oy 轴的正投影变换 B 把 点 P(x,y)变成点 P″(0,y),变换 A 和 B 的矩阵分别为______、_______. 4、研究直线 x ? y ? 2 在矩阵 ?

?1 1? ? 对应的变换下所得到的几何图形. ?0 1?

【典例练讲】
? 1 ?1 0 ? ?1 1 ? ? 2 例 1、考察矩阵 ? ? 、 ?0 0 ? 、 ? 1 0 0 ? ? ? ? ?? ? ? 2 1? ? ? 2 ? ,把 点 A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1) 1 ? 2 ? ?
例 4、(1)求出曲线 y= x 在矩阵 ?

? 1 0? ? 对应的变换作用下变成的图形. ? ?1 1 ?

(2)已知矩阵 M ? ?

各变成的像点的坐标,并回答以下问题,画出示意图: (1)上面三个矩阵把正方形 ABCD 变成什么图形? (2)上面三个矩阵把直线 AB 变成什么图形? (3)该矩阵把线段 AC 变成什么图形?

?1 ?1? 1 求出点 A(2,0)在矩阵 M 对应的变换作用下所得点的坐标; ?○ ?0 1 ?

2 求出直线 x=2 在矩阵 M 对应的变换作用下变成的图形的方程. ○ 3 求出直线 x ? y ? 2 在矩阵 M 对应的变换作用下变成的图形的方程. ○ (3)设α =45°,求在 ox 方向上切变角为α 的切变变换 A 的矩阵,并求 点 P(2,-1)在 A 下的象点 P′的坐标.

1

2014 级高二数学(下)(理科)

数学学案 4-2 矩阵 NO.5 班级

学号

姓名

编写:张红兵

审校:王美利

投影变换与切变变换【课后检测】
1、(1)若曲线 y=sinx 在矩阵 M 对应的投影变换作用下变成直线 y=0,则矩阵 M=_______. (2) 若曲线 y=sinx 在矩阵 N 对应的投影变换作用下变成直线 x=0,则矩阵 N=_______. 2、已知矩阵 N ? ?

8、在矩阵变换下,下列各图中的△ABO 变成了△A′B′O,其中点 A 的象点为点 A′,点 B 的象点为点 B′,求变换对应的矩阵. y y B′ A A′ B B′ 1 2 (1) x A′ -2 -1 O (2) 1 A 2 x B

? 1 0? ? :(1)直线 y ? x 在矩阵 N 作用下所得图形的方程为______________; ??1 1?

(2)直线_________在矩阵 N 作用下所得图形的方程为 y ? x ; (3)直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 在矩阵 N 作用下方程为____________; (4)直线_________在矩阵 N 作用下所得图形的方程为 x ? 2 y ? 2 ? 0 . 3、求曲线 y2=x 在矩阵 ?

?1 0 ? ? 对应的变换作用下得到的图形是_____________. ?0 0 ?

4、已知变换 T 是将平面图形沿平行于 x 轴方向投影到 y ? 3x 上的变换,试求它所对应的矩阵 M. y 9、试问由△OAB 到△OA′B′的变换对应的矩阵是什么? 5、求出椭圆 x2+

?0 0 ? y2 =1 在矩阵 ? ? 对应的变换作用下得到的图形. 4 ?0 1 ?

A B O

A′ B′ x

?7 ? 6、计算 ? ? 在下列矩阵对应的变换下的结果,并说明变换的几何意义. ?8 ?
? ? (1) ? ? ? ? 2 2 2 2 ? 2? ? 2 ? 2 ? ? 2 ?

(2) ?

?1 0 ? ? ?1 0 ?

(3) ?

?1 2 ? ? ?0 1 ?

10、 ? O 的方程是 x ? y ? 4 , M ? ?
2 2

?1 1? ? .求出 ? O 在矩阵 M 对应的变换作用下所得图形的方程. ?0 1?

7、已知矩形 ABCD 在变换 T 的作用下变成平行四边形 A′B′C′D′,其中 A(0,0),B(1,0),C (1,2),D(0,2),A′(0,0),B′(1,-1)C′(1,1),D′(0,2),试求变换 T 对应的矩 阵 M.

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