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2.3等差数列的前n项和公式(1)


2.3.1等差数列的前n项和

泰姬陵坐落于印 度距首都新德里200 多公里外的北方邦的 阿格拉市,是十七世 纪莫卧儿帝国皇帝沙 杰罕为纪念其爱妃所 建,她宏伟壮观,纯 白大理石砌建而成的 主体建筑令人心醉神 迷,陵寝以宝石镶嵌, 图案细致,绚丽夺目、 美丽无比,令人叫绝. 成为世界八大奇迹之 一.

传说陵寝中有一个三角形图案,以相同大 小的圆宝石镶饰而成,共有 100 层(见左 图),奢靡之程度,可见一斑。

问题呈现

你知道这个图案一共花了多少宝石吗?

问题1:
一个堆放铅笔的V形架的最 下面一层放一支铅笔,往 上每一层都比它下面一层 多放一支,最上面一层放 100支.这个V形架上共放着 多少支铅笔? 问题就是 求 “1+2+3+4+…+100=?”

德国古代著名数学家高斯 10 岁的时候很快就解决了这个问题: 1+2 + 3 + …+ 100=?你知道高斯 是怎样算出来的吗?

高斯(Gauss,1777— 1855),德国著名数学 家,他研究的内容涉及 数学的各个领域,是历 史上最伟大的数学家之 一,被誉为“数学王 子”.

问题2:
求和:1+2+3+4+…+n=?
记:S= 1 + 2 + 3 +…+(n-2)+(n-1)+n S= n+(n-1)+(n-2)+…+ 3 + 2 +1 n( n ? 1) ? 2 S ? n( n ? 1) ? S ? 2
上述求解过程带给我们什么启示? (1)所求的和可以用首项、末项及项数来表示; (2)等差数列中任意的第k项与倒数第k项的和都 等于首项与末项的和。

问题3:设等差数列 {an} 的首项为a1,公差为d,如 何求等差数列的前n项和Sn= a1 +a2+a3+…+an?

解: S=a1+ a2 +a3 +…+an-2+an-1+an S=an+an-1+an-2+…+a3 + a2 +a1
因为a1+an=a2+an-1=a3+an-2=… 两式左右分别相加,得

倒序相加
变式:能否用

a1,n,d表示Sn?

2Sn=(a1+an)+ (a2+an-1)+ (a3+an-2)+…+ (an-2+a3)+ (an-1+a2)+ (an+a1)=n(a1+an)
n(a1 ? an ) an=a1+(n-1)d n( n ? 1) ? Sn ? Sn ? na1 ? d 2 2

如何求等差数列?an ?的前n项和Sn ? 问题4:
Sn ? a1 ? (a1 ? d ) ? ? ? [a1 ? (n ?1)d ]

Sn ? an ? (an ? d ) ? ? ? [an ? (n ?1)d ]

2Sn ? n(a1 ? an )
an ? a1 ? (n ?1)d

n(a1 ? an ) 公式1 S n ? 2
n(n ? 1) 公式2 Sn ? na1 ? d 2

求和公式 等差数列的前n项和的公式: n(a1 ? an ) Sn ? 2
an ? a1 ? (n ?1)d

n(n ? 1) Sn ? na1 ? d 2

公式的记忆
我们可结合梯形的面积公式来记忆等差数 列前 n 项和公式.

a1 n an

n(a1 ? an ) Sn ? 2

例1:根据下列条件,求相应的等差数列

?an ?



(1)a1 ? 5, an ? 95, n ? 10;
? S10

(2)a1 ? 100 , d ? ?2, n ? 50;
S50

10 ? (5 ? 95) ? ? 500 . 2

n(a1 ? an ) Sn ? 2
n(n ? 1) S n ? na1 ? d 2

Sn

50 (50 ? 1) ? 50 ?100 ? ? (?2) ? 2550 2

(3)a1 ? 14.5, d ? 0.7, an ? 32.
32 ? 14.5 n? ? 1 ? 26, ? S 26 0.7

26 ? (14 .5 ? 32 ) an ? a ? (n ? ? ?1604 .5 . 1)d 2

例2、2000年11月14日教育部下发了《关于在 中小学实施“校校通”工程的通知》,某市据此提出 了实施“校校通”工程的总目标:从2001年起用10年 的时间,在全市中小学建成不同标准的校园网。据测 算,2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万 元。为了保证工程的顺利实施,计划每年投入的资金 都比上一年增加50万元。那么,从2001年起的未来10 年内,该市在“校校通”工程中的总投入是多少? 解:由题意,该市在“校校通”工程中每年投入 分析:①找关键句;②求什么,如何求; 的资金构成等差数列{an},且a1=500,d=50,n=10. 故,该市在未来10年内的总投入为:
10 ? ?10 ? 1? S10 ? 10 ? 500 ? ? 50 ? 7250 ?万元? 2



例4、已知一个等差数列的前10项的和是310, 前20项的和是1220,由此可以确定求其前n项 和的公式吗?
解:由于S10=310,S20=1220,将它们代 入公式 n(n ? 1) 可得 所以

2 ?a1 ? 4 ? 10a1 ? 45d ? 310 于是, ? ? d ?6 ? 20 a ? 190 d ? 1220 ? 1 n(n ? 1) 2 Sn ? n ? 4 ? ? 6=3n ? n 2

Sn ? na1 ?

d

例4、已知一个等差数列的前10项的和是310, 前20项的和是1220,由此可以确定求其前n项和 的公式吗?
10( a ? a ) 1 10 另解: S10 ? ? 310 ? a1 ? a10 ? 62 ① 2 20( a1 ? a20 ) S 20 ? ? 1220 ? a1 ? a20 ? 122② 2

两式相减得

?d ? 6

a20 ? a10 ? 60 ?10d ? 60

( n n ?1 ) S n ? a1n ? d ? 3n 2 ? n 2

a1 ? 4

小结
(两个) 1.等差数列前n项和的公式;

n(a1 ? an ) Sn ? 2

n(n ? 1) Sn ? na1 ? d 2

2.等差数列前n项和公式的推导方法— —倒序相加法;

3.公式的应用(知三求一)。

2.3.2等差数列的前n项和

复习

1、等差数列{an}的基本性质:

(1) a1+an=a2+an-1=a3+an-2=· · ·

(2) a、A、b成等差数列

A=(a+b)/2

(3)如果数列{an}的通项公式是 an=An+B (A、B是与n无关的常数),那么数列{an} 一定是等差数列。

2、等差数列{an}的前n项和公式 n(n ? 1) n(a1 ? an ) sn ? na1 ? d sn ? 2 2

练习1、计算 提示: (1) 5+6+7+…+79+80 3230 n=76 (2) 1+3+5+?+(2n-1) n2 法二: (3)1-2+3-4+5-6+?+(2n-1)-2n -n
1 ? 3 ? 5 ? …+ ? 2n ?1? ? ?2? 解: 2 n ? 2n 2 ? ?n 2 1? 3 ? 5 ? …+ ? 2n ?1? ? ? 2+4+6+…+2n? ?3? 解:原式= n? 1 ? ? 2n ? 1?? n ? 2 ? 2n ? ? ? 2 ? ? ? n ? n ? n ? 1? ? ?n 2 2
n? ?1 ? ? 2n ? 1? ? ?

练习2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn, 若a4+a5=18,则S8等于(D )

A.18

B.36

C.54

D.72

新课:例1
1 ?an ?的前n项和为S n ? n ? n, 已知数列 2 求这个数列的通项公式 ,这个数列
2

是等差数列吗?如果是 ,它的首项 和公差分别是多少?

例2
已知等差数列 2 4 5,4 , 3 , ? ? ? 7 7 的前n项和为S n , 求使得S n 最大的序号n的值

运用等差中项的性质处理求和问题
例3 等差数列{an}中,已知a11=8,则s21=168 .

S21 ?

21( a 1 ? a 21 ) 2

?

21?2a 11 2

? 21 ? 8

练1 等差数列{an}中,已知s15=90,则a8=6 .

运用等差数列的性质处理求和问题
例4、等差数列中前15项的和为-67,前 45项的和为405,则前30项的和为 。

解:由 S15, S30 – S15, S45 – S30 构成等差 数列得 2( S30 – S15 )= S15 + ( S45 – S30 ) 故S30 = (3 S15 + S45 )/3=68

求集合 M ? m | m ? 7n, n ? N ? , 且m ? 100 的元素个数,并求这些元素的和. 100 2 解:? 7 n ? 100 ? n ? ? 14

例3

?

?

所以集合M中的元素共有14个.

将它们从小到大列出,得

7

7

7, 2 ? 7, 3 ? 7, 4 ? 7,


?,

14? 7,
n(a1 ? an ) Sn ? 2

7,14,21,28,…,98 这个数列是成等差数列,记为 ?an ?

? a1 ? 7, a14 ? 98, n ? 14
14 ? (7 ? 98) ? S14 ? ? 735 . 2

答:集合M共有14个元素,它们的和等于735.

补充:两个等差数列2, 6,10,…,190和2,8, 14,…200,由这两个等差 数列的公共项按从小到大 的顺序组成一个新数列,求 这个新数列的各项之和.

解法:通项公式分别是an=2+(n-1)· 4 bn=2+(n-1)· 6 观察:
2,6,10,14,18,22,26,30,34,38,42,46,50,… 2,8,14,20,26,32,38,77,50,39,43,47,51,…

因此,这两个数列相同项组成一个首项c1=2, 公差 d=12的等差数列{cn} 因为,相同的项不大于190和200中的较小者, 1 所以, cn=2+(n-1)· 12≤190 得 n≤16 又 n∈N* 3 故这两个数列中相同的项共有16个。从而这个 新数列的各项之和为 S ? 16 ? 2 ? 16 ? 15 ? 12 ? 1472 2


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