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基本不等式教案



基本不等式
一、教学目标 1.掌握基本不等式和几个常用的重要不等式. 2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 二、教学方法 通过三个典型题型以题代点, 总结这些题型的通法, 并达到举一反三的目的. 三、热点题型 题型一 利用基本不等式求最值 例 1. 【四川省成都市 2015 届高中毕业班摸底测试 13】 当 x ?1 时, 函数 y ? x ? x 1 ?1

的最小值是_______________. 答案:3 解析:因为 x>1, y ? x ?
( x ? 1) ?

1 1 1 ? ( x ? 1) ? ? 1 ? 2 ( x ? 1) ? ? 1 ? 3 ,当且仅当 x ?1 x ?1 x ?1

1 ,且 x>1,即 x=2 时等号成立,故函数 y 的最小值为 3. x ?1

例 2.【河南省安阳一中 2015 届高三第一次月考 13】若对任意 x ? 0 ,
x ? a 恒成立,则 a 的取值范围是________. x ? 3x ? 1 1 ? 答案: ? , ?? ? ? ?5 ? 1 x 1 1 1 ? ? ? ,当且仅当 x ? (x>0) 解析:因为 x>0,所以 2 x x ? 3x ? 1 x ? 1 ? 3 5 1 2 x? ?3 x x
2

? 即 x=1 时,等号成立,故 a 的取值范围是 ? ? , ?? ? . 1 ?5 ?

【提分秘籍】 1.利用基本不等式求最值时要注意: (1)基本不等式中涉及的各数(或式)均为正; (2)和或积为定值; (3)等号能否成立. 即要满足“一正、二定、三相等”的条件.另外需注意变形公式的灵活运用 及通过对原代数式或解析式的拆分来创造利用公式的条件. 2. 不等式求最值常用的变形方法 (1)变符号;(2)拆项;(3)添项;(4)凑系数;(5)同除构造 ax ? 型. 题型二 条件最值问题
b x

- 1 -

例 3、已知正数 x , y 满足 ? ? 1 ,则 x ? 2 y 的最小值为________. 答案:8 解析:由题可知, x ? 2 y =( x ? 2 y )×1=( x ? 2 y )( ? )= 2 ? 仅当
4y x ? ,即 x ? 2 y ? 4 时等号成立。 x y

2 x

1 y

2 x

1 y

4y x ? ? 2 ? 8 ,当且 x y

变式:例 3 的条件不变,若 x ? 2 y ? m2 ? 2m 恒成立,则实数 m 的取值范围是 _______________. 答案: (—4,2) 【提分 秘籍】 利用基本不等式解决条件最值的关键是分析条件如何用,主要有两种思路 (1)对条件使用基本不等式建立所求目标函数的不等式求解; (2)条件变形进行“1”的代换求目标函数最值. 题型三 利用基本不等式求解三元函数的最值策略 例 4、 (2013 年高考山东卷改编)设正实数 x, y, z 满足 x2-3xy+4y2-z=0, 则
z 的最小值为_______. xy

答案:1 解析: z ? x2 ? 3xy ? 4 y2 ( x, y, z ? R? ) ? 当且仅当 ?
x y

z x2 ? 3xy ? 4 y 2 x 4 y x 4y ? ? ? ?3? 2 ? ?3 ?1 xy xy y x y x

4y ,即 x ? 2 y ? 4 时“=”成立。 x

【提分秘籍】利用基本不等式求解三元函数的最值策略 近几年三元函数的最值逐渐成为高考的热点,主要考查考生的变形推理能 力、构造能力、化归能力.求解时要注意以下二种策略的应用: 1. 消元化三元为二元后使用基本不等式:由条件,分离一元后代入所求函 数式中,化三元为二元,再分解变形构造基本不等式的条件求解,注意等号成立 的条件. 2. 变形条件构造定值、直接使用基本不等式求最值:观察分解条件与所求 函数式的结构,变形分解构造出积式和为定值后,直接使用基本不等式求最 值, 注意等号成立的条件. 备用习题 1 1 1.若点 A(1,1)在直线 mx+ny-2=0 上,其中 mn>0,则 + 的最小值为 m n ________.答案:2 1 |a| 2. (2013 年高考天津卷)设 a+b=2,b>0,则当 a=________时, + 取 2|a| b 得最小值.答案:a=-2

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