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§6-2等差数列



§6.2 等差数列

探究
下面是男鞋尺码对照表,请写出各个鞋码分别 构成的数列,这4个数列有哪些共同特征呢?
美国
英国

6
5.5
2 3

6.5
6
1 39 3

7
6.5 40 40

>7.5
7
2 40 3

8
7.5
1 41 3

8.5
8 42 43

9
8.5
2 3

9.5
9
1 43 3

10
9.5 44 46

欧洲 38

42

中国

38

39

41

42

44

45

等差数列的定义:一般地,如果一个数列从第二项 起,每一项与它前一项的差等于同一个常数,这个 数列就叫做等差数列,这个常数就叫做等差数列的 公差,常用字母“ d ”表示。

如正奇数数列1,3,5,7,9,…是首项为1,公差为2的 等差数列。

由定义可知,如果数列 ?an ? 是等差数列,那么

a2 ? a1 ? a3 ? a2 ? a4 ? a3 ? ? ? an ? an?1 ? d

练习:P9练习1

例1 判断以下各数列是否是等差数列,若是, 请求出首项和公差。 (1)2,5,8,11,14; (2)-2,-2,-2,-2,-2; (3)1,0,-1,0,1,0,-1,0…。 例2 判断下列数列是否是等差数列并说明理由。

(1)an ? 3n ? 2

1 (2) bn ? n

练习:P9练习2

思考交流:
请写出两个等差数列,分别作出它们的 图像,说说图像有什么共同特征。

麦田怪圈

问题解决:
设计“麦田怪圈”:由一组同心圆构成, 最里面的圆半径为1m,其他的圆半径依次增 加1m。

那么,同心圆半径由内到外依次排成的数 列是什么数列?由大到小的同心圆周长依 次排成的数列是什么数列?

练习:P10练习3

探究: 张家界百龙观光电梯的 运行速度为3m/s。现在电 梯从高154m处向上运行, 高325m处为终点,每秒计 数一次,写出电梯上升高 度构成的数列。这个数列 的第20项是多少?你能写 出这个数列的通项公式吗?

一般地,若一等差数列

的首项是 a1 ?an ?

,公差是d,则据其定义可得:

a2 ? a1 ? d

即:
即: 即:

a2 ? a1 ? d

a3 ? a2 ? d a4 ? a3 ? d

a3 ? a2 ? d ? a1 ? 2d

…… 以此类推,得到

a4 ? a3 ? d ? a1 ? 3d
(n ? N ? , 且n ? 2)

an ? a1 ? (n ? 1)d



n ?1

时,

a1 ? a1

也成立。

由此归纳等差数列的通项公式为:

an ? a1 ? (n ? 1)d (n ? N ? )

例3已知等差数列 ?an ? 的首项为1, 公差为3,求其第11项。

练习:P11练习1

例4 求等差数列-13,-9,-5,-1,…的第56项

练习:P11练习2

a3 ? 16, a7 ? 8 例5 已知等差数列 ?an ? 中,
,求此数列的通项公式

练习:P11练习3

思考交流:
已知 ?an ? 是等差数列,数列 a1 , a4 , a7 , a10 是等差数列吗?你能得出一般性的结论吗?

问题解决: 在庆祝第 27 个教师节活动中,学校 为烘托节日气氛,在200m长的校园主干道 一侧,从起点开始,每隔3m插一面彩旗, 由近及远排成一列。问:最后一面彩旗会 插在终点处吗?一共应插多少面彩旗?

探究: 泰姬陵被美国《国家地理 · 旅行者》杂志评为 “人一生要去的 50 个地方”之一,它是人类创 造的不朽的“世界奇观”。传说在泰姬陵中有 一个镶嵌着大小相同宝石的三角形图案共有 100 层,那么这个图案上共有多少颗宝石?

设 ?an ? 是等差数列,S n 表示它的前 n 项的和,则

S n ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an?1 ? an

若等差数列 ?an ? 的公差为 d,由等差数列的定义
S n ? a1 ? (a1 ? d ) ? (a1 ? 2d ) ? ? ? [a1 ? (n ? 2)d ] ? [a1 ? (n ? 1)d ]

再把项的次序倒过来 S n ? an ? (an ? d ) ? (an ? 2d ) ? ? ? [an ? (n ? 2)d ] ? [an ? (n ? 1)d ] 上述两式相加,得

2S n ? (a1 ? a n ) ? (a1 ? a n ) ? ? ? (a1 ? a n ) ??????? ??????? ?
n个 ( a1 ? an )

? n(a1 ? a n )

由此得出等差数列的前 n 项和公式为

n(a1 ? a n ) Sn ? 2

将 an ? a1 ? (n ? 1)d 代入上式,可得

n(n ? 1)d S n ? na1 ? 2

例6 已知数列 ?an ? 为等差数列。 (1)若 a1 ? 3, a21 ? 55, 求 S 21 ;

1 (2)若 a1 ? 6, d ? , 2

求 S 20 。

例 7 求正奇数数列 1,3,5,7 , … 前 100 项 之和。

练习:P13练习1,2

问题解决 某种卷筒卫生纸绕在盘上,空盘时盘 心直径为40mm,满盘时直径为120mm,已知 卫生纸的厚度为0.1mm,则满盘时卫生纸的 总长度大约是多少?(精确到0.1mm)



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