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函数方程(零点)



函数与方程
一、函数零点的定义 1. 对于函数 y ? f ( x) ( x ? D) ,使得 ___ f ( x) ? 0 _______ 成立的实数 x 叫做函数

y ? f ( x)(x ? D) 的零点。
2.方程 f ( x) ? 0 有实根,说明函数 y ? f ( x) 的图象与__ x 轴_____有交点,也说明函数

/>
y ? f ( x) 有__零点_______。
二、函数零点的判定 如 果 函 数 y ? f ( x) 在 区 间 ?a, b? 上 的 图 象 是 连 续 不 断 的 一 条 曲 线 , 并 且 有 __ f (a ). f (b) ? 0 _____, 那么函数 y ? f ( x) 在区间__ (a, b) __内有零点, 即存在 c ? ?a, b ? , 使得__ f (c) ? 0 __,这个__C______也就是 f ( x) ? 0 的根,我们不妨把这一结论称为零点 存在性定理。 三、二次函数 y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 的图象与零点的关系

与 X 轴的交点:两个交点 零点个数:两个

与 X 轴的交点:一个交点 零点个数:一个

与 X 轴的交点:0 个交点 零点个数:0 个

四、二分法 用二分法求函数零点的近似值的步骤 第一步:确定区间 ?a, b? ,验证: f (a) ? f (b) ? 0 ,给定精确度。 第二步:求区间 ?a, b ? 的中点 x1 第三步:计算 f ( x1 )

1

(1)若 f ( x1 ) =0,则 x1 就是函数的零点; (2)若 f (a) ? f ( x1 ) ? 0 ,则令 b ? x1 ; (3)若 f ( x1 ) ? f (b) ? 0 ,则令 a ? x2 ; 例 1 判断下列函数在给定区间上零点个数. (1) f ( x) ? ln x ?

1 , x ?? 1,3? x

(2) f ( x) ? x3 ? x ? 2, x ? R ; (3) f ( x) ? x3 ? x 2 ? x ?1, x ? R.

例 2. 已知函数 f ( x ) ? a ?
x

x?2 ( a ? 1) x ?1

(1)判断 f ( x) ? 0 的根的个数;

练习 (2012 年北京,文)5.函数 f ( x ) ? x ? ( ) 的零点个数为
x 1 2

1 2

( (D)3

)

(A)0

(B)1

(C)2

( 2011 新 课 标 ) . 在 下 列 区 间 中 , 函 数 f(x)=ex+4x-3 的 零 点 所 在 的 区 间 为 ( ) (A) ( ? , 0)

1 4

(B) ( , )
2

1 1 4 2

(C) (0, )

1 4

(D) ( , )

1 3 2 4

(2011 年福建) . 若关于 x 的方程 x +mx+1=0 有两个不相等的实数根, 则实数 m 的取值范围 是 ( ) A.(-1,1) B.(-2,2) C.(-∞,-2)∪(2,+∞) D.(-∞,-1)∪(1,+∞) (2010 年天津,文) (4)函数 f(x)= e ? x ? 2的零点所在的一个区间是
x

(A)(-2,-1) (B) (-1,0)

(C) (0,1)

(D) (1,2)

2

(2011 天津).对实数 a和b ,定义运算“ ? ” :a ?b ? ?

, b ? ? , 1 ?aa 设函数 1 . ?b, a ? b ?

f ( x) ? ( x2 ? 2) ? ( x ? 1), x ? R .若函数 y ? f ( x) ? c 的图像与 x 轴恰有两个公共点,则实
数 c 的取值范围是 A. (?1,1] ? (2, ??) C. (??, ?2) ? (1, 2] (2010 年浙江,文) (9)已知 x 0 是函数 f(x)=2x+ ( x 0 ,+ ? ) ,则 (A)f( x 1 )<0,f( x 2 )<0 (C)f( x 1 )>0,f( x 2 )<0 (B)f( x 1 )<0,f( x 2 )>0 (D)f( x 1 )>0,f( x 2 )>0 B. (?2, ?1] ? (1, 2] D.[-2,-1] ( )

1 的一个零点.若 x 1 ∈(1,x 0 ) ,x 2 ∈ 1? x

(2012 年湖南,文)9. 设定义在 R 上的函数 f(x)是最小正周期为 2π 的偶函数, f ?( x ) 是 f(x) 的导函数,当 x ? ?0, ? ? 时,0<f(x)<1;当 x∈(0,π ) 且 x≠ 则函数 y=f(x)-sinx 在[-2π , 2π ] 上的零点个数为 A .2 B .4 C.5
x

? ? 时 ,( x ? ) f ?( x ) ? 0 , 2 2
( D. 8 )

(2009 年福建、文)11.若函数 f ? x ? 的零点与 g ? x ? ? 4 ? 2x ? 2 的零点之差的绝对值不超 过 0.25, 则 f ? x ? 可以是 A. f ? x ? ? 4x ?1 C. f ? x ? ? e ?1
x

B. f ? x ? ? ( x ?1)

2

D. f ? x ? ? In ? x ?

? ?

1? ? 2?

(2011 年辽宁, 文) 16. 已知函数 f ( x) ? e x ? 2 x ? a 有零点, 则 a 的取值范围是___________.

3



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