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福州市2016年3月普通高中毕业班质量检查



2016 年福州市普通高中毕业班质量检查 数学(理科)试卷
(完卷时间 120 分钟;满分 150 分) 第Ⅰ卷 (选择题 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题所给的四个答案 中有且只有一个答案是正确的.把正确选项涂在答题卡的相应位置上. ) 1. 已知复数 z 满足 zi ? 2i ? x ( x ? R ) ,若

z 的虚部为 2,则 z ? ( A.2 B. 2 2 C. 5 ) ) . D. 3

2.已知命题 p : “ ?x ? R, e x ? x ?1 ? 0 ” ,则 ?p 为 ( A. ?x ? R, e x ? x ?1 ? 0 C. ?x ? R, e x ? x ?1 ? 0

B. ?x ? R, ex ? x ?1 ? 0 D. ?x ? R, e x ? x ?1 ? 0

3.阅读算法框图,如果输出的函数值在区间 [1,8] 上,则输入的实数 x 的取值范围是 ( )

A. [0, 2)

B. [2, 7]

C. [2, 4]

D. [0, 7] )

4.若 2 cos 2? ? sin(? ? A. ?

?
4

) ,且 ? ? ( , ? ) ,则 cos 2? 的值为(
2

?

7 8

B. ?

15 8

C. 1

D.

15 8

1

?x ? 2 ? 0 ? 5.若实数 x, y 满足不等式组 ? y ? 1 ? 0 目标函数 t ? x ? 2 y 的最大值为 2 ,则 ?x ? 2 y ? a ? 0 ?
实数 a 的值是( ) A. ﹣2 B.2 C.1 6.如图是一个空间几何体的三视图,则该几何体的表面积是( D.6 )

A. 1 ? 2 ? 3

B. 2 ? 2 ? 3

C. 3 ? 2 ? 3 ) C. 3

D. 4 ? 2 ? 3

7. (1 ? x)6 (1 ? x)4 的展开式中 x 2 的系数是( A. ?4 B. ?3

D. 4

8. 已知抛物线 C : y 2 ? 8 x 与直线 y ? k ? x ? 2 ?? k ? 0 ? 相交于 A, B 两点, F 为 C 的焦点, 若 FA ? 2 FB ,则 k ? ( )

A.

2 2 3

B.

1 3

C.

2 3

D.

2 3

?2 x?2 ? , 9.已知 f ( x) ? ? x ,若函数 g ( x) ? f ( x) ? k 有两个零点,则两零点所在的区间为 3 ?( x ? 1) , x ? 2 ?
( ). B. (0,1) C. ?1, 2 ? D. (1, ??) A. (??, 0)

10. 已 知 三 棱 锥 O ? ABC 底 面 ABC 的 顶 点 在 半 径 为 4 的 球 O 表 面 上 , 且

AB ? 6, BC ? 2 3, AC ? 4 3 ,则三棱锥 O ? ABC 的体积为(



2

A. 4 3

B. 12 3

C.18 3

D. 36 3

11.设 F1 , F2 是双曲线
? ?

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点,若双曲线右支上存在一 a 2 b2
?

点 P ,使 (OP ? OF2 ) ? F2 P ? 0 ( O 为坐标原点) ,且 PF 1 ? 3 PF 2 ,则双曲线的离心 率为( A. ) B. 2 ? 1 C.

2 ?1 2

3 ?1 2

D. 3 ? 1

12 .已知偶函数 f ( x ) 是定义在 R 上的可导函数,其导函数为 f ?( x ) ,当 x ? 0 时有

2 f ( x) ? xf ?( x) ? x2 , 则不等式 ( x ? 2014)2 f ( x ? 2014) ? 4 f (?2) ? 0 的解集为(
A. ? ??, ?2012? B. ? ?2016, ?2012? C. ? ??, ?2016? D. ? ?2016, 0?

)

第Ⅱ卷 (非选择题 共 90 分) 二、 填空题 (本大题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分, 把答案填在答题卡的相应位置上. ) 13.在等比数列 ?an ? 中, a3a7 ? 8 , a4 ? a6 ? 6 ,则 a2 ? a8 ? 14 .已知在 ?ABC 中, AB ? 4 , AC ? 6 , BC ? 7 其外接圆的圆心为 O , 则

???? ??? ? AO ? BC ? ________.
15. 以下命题正确的是: ①把函数 y ? 3sin(2 x ? .

? ) 的图象向右平移 个单位,可得到 y ? 3sin 2 x 的图象; 6 3 ②四边形 ABCD 为长方形, AB ? 2, BC ? 1, O 为 AB 中点,在长方形 ABCD 内随机取
一点 P ,取得的 P 点到 O 的距离大于 1 的概率为 1 ?

?

? ; 2

③某校开设 A 类选修课 3 门,B 类选择课 4 门,一位同学从中共选 3 门,若要求两类课程 中各至少选一门,则不同的选法共有 30 种; 2 ④在某项测量中,测量结果ξ 服从正态分布 N(2,σ ) (σ >0) .若ξ 在(﹣∞,1)内 取值的概率为 0.1,则ξ 在(2,3)内取值的概率为 0.4.

3

16.已知 ?ABC 的三个内角 A, B, C 所对的边分别为 a , b, c ,

(3 ? b)(sin A ? sin B) ? (c ? b)sin C ,且 a ? 3 ,则 ?ABC 面积的最大值
为 .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和 S n 满足 2Sn ? 3an ? 1 ,其中 n ? N * . (I)求数列 ?an ? 的通项公式; (II)设 an bn ?

3n ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn . n2 ? n

18.(本小题满分 12 分) 某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查,在高三的全体 1000 名学 生中随机抽取了 100 名学生的体检表,并得到如图的频率分布直方图.

(I)试估计该校高三学生视力在 5.0 以上的人数; (II)为了进一步调查学生的护眼习惯,学习小组成员进行分层抽样,在视力 4.2 ? 4.4 和 5.0 ? 5.2 的学生中抽取 9 人, 并且在这 9 人中任取 3 人, 记视力在 4.2 ? 4.4 的学生人 数为 X ,求 X 的分布列和数学期望.

4

19.(本小题满分 12 分) 已知:矩形 A1 ABB1 ,且 AB ? 2AA 1 ,C1 , C 分别是 A1 B1 、 A B 的中点, D 为 C1C 中点,将矩形 A1 ABB1 沿着直线 C1C 折成一个 60 的二面角,如图所示.
A A1

o

A C B

A1 D C1 B1

C

C1

B

B1

(Ⅰ)求证: AB1 ⊥ A1D ; (Ⅱ)求 AB1 与平面 A1B1D 所成角的正弦值. 20.(本小题满分 12 分) 已知以 A 为圆心的圆 ( x ? 2) ? y ? 64上有一个动点 M , B(?2,0) ,线段 BM 的垂直
2 2

平分线交 AM 于点 P ,点 P 的轨迹为 E . (Ⅰ)求轨迹 E 的方程; ( Ⅱ)过 A 点 作两条 相互垂 直的直线 l1 , l 2 分 别交 曲线 E 于 D, E , F , G 四 个点, 求

DE ? FG 的取值范围.
a , a ? R ,且函数 f ( x) 在 x ? 1 处的切 x

21.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ln x ? 线平行于直线 2 x ? y ? 0 . (Ⅰ)实数 a 的值;
5

(Ⅱ)若在 ?1,e?( e ? 2.718... )上存在一点 x0 ,使得 x0 ? 的取值范围.

1 ? mf ( x0 ) 成立,求实数 m x0

本题有(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.作答 时,先用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑,并将所选题号填入括号中. (22) (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明讲 如图, 已知 AB 为圆 O 的一条直径, 以端点 B 为圆心的圆交直线 AB 于 CD 两点, 交圆 O 于 E , F 两点,过 点 D 作垂直于 AD 的直线,交直线 AF 于 H 点.

(Ⅰ)求证: B, D, H , F 四点共圆; (Ⅱ)若 AC ? 2, AF ? 2 2 ,求 ?BDF 外接圆的半径.

(23) (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在极坐标系中,圆 C 的极坐标方程为: ? 2 ? 4? (cos? ? sin ? ) ? 6 .若以极点 O 为 原点,极轴所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系. (Ⅰ)求圆 C 的参数方程; (Ⅱ)在直角坐标系中,点 P( x, y ) 是圆 C 上动点,试求 x ? y 的最大值,并求出此 时点 P 的直角坐标. (24) (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知 m, n 都是实数, m ? 0 , f ( x) ? x ? 1 ? x ? 2 . (I)若 f ( x) ? 2 ,求实数 x 的取值范围; (II)若 范围.

m ? n ? m ? n ? m f ( x) 对满足条件的所有 m, n 都成立,求实数 x 的取值

6

2016 年福州市普通高中毕业班质量检查 数学(理科)答案
第Ⅰ卷 (选择题 共 60 分)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题所给的四个答案 中有且只有一个答案是正确的.把正确选项涂在答题卡的相应位置上. ) 1.B 2.C 3.D 4.D 5.B 6.C 7.B 8.A 9.D 10. A 11. D 12.B 第Ⅱ卷 (非选择题 共 90 分) 二、 填空题 (本大题共 5 小题, 每小题 4 分, 共 20 分, 把答案填在答题卡的相应位置上. ) 13.9 14.10 15.①③④ 16.

9 3 4

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分)

3 1 an ? (n ? N * ) , ① 2 2 3 1 当 n ? 1, S1 ? a1 ? ,∴ a1 ? 1 ,????????????2 分 2 2 3 1 当 n ? 2 ,∵ S n ?1 ? an ?1 ? , ② 2 2 3 3 ①-②: an ? an ? an ?1 ,即: an ? 3an ?1 (n ? 2) ????????????4 分 2 2
解:(I)∵ S n ? 又∵ a1 ? 1 , a2 ? 3 , ∴

an ?1 ? 3 对 n ? N * 都成立,所以 ?an ? 是等比数列, an

∴ an ? 3n ?1 (n ? N * ) .????????????6 分 (II)∵ an bn ? ∴ bn ?

3n , n2 ? n

3 ,???????????9 分 n ?n
2

7

1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ), 2 2 3 n n ?1 3n 1 3 ∴ Tn ? 3(1 ? ,即 Tn ? .???????????12 分 ) ? 3? n ?1 n ?1 n ?1
∴ Tn ? 3(1 ? 18.(本小题满分 12 分) 解: (I)设各组的频率为 f i (i ? 1, 2,3, 4,5, 6) ,

f1 ? 0.03, f 2 ? 0.07, f3 ? 0.27, f 4 ? 0.26, f5 ? 0.23 ,
所以视力在 5.0 以上的频率为 1 ? (0.03 ? 0.07 ? 0.27 ? 0.26 ? 0.23) ? 0.14, 估 计 该 校 高 三 学 生 视 力 在 5 . 0 以 上 的 人 数 约 为 1000 ? 0.14 ? 1 4 0 人. ???????????4 分 (II)依题意 9 人中视力在 4.2 ? 4.4 和 5.0 ? 5.2 的学生分别有 3 人和 6 人, X 可取 0、1、2、3
3 C6 20 , P( X ? 0) ? 3 ? C9 84
1 2 C6 C3 18 , ? 3 84 C9
2 1 C6 C3 45 , P ( X ? 1) ? ? 3 84 C9

P( X ? 2) ?

P( X ? 3) ?

3 C3 1 .???????????10 分 ? 3 C9 84

X 的分布列为 X

0

1

2

3

P

20 84

45 84

18 84

1 84

X 的数学期望 E ( X ) ? 0 ?

20 45 18 1 ? 1? ? 2? ? 3? ? 1 .???????12 分 84 84 84 84

19.(本小题满分 12 分)

8

(Ⅰ)解法一:连结 AB 、 A1B1 , ∵ C1 , C 分别是矩形 A1 ABB 1 边 A1 B1 、 A B 的中点, ∴ AC ? CC1 , BC ? CC1 , AC ? BC ? C ∴ CC1 ? 面ABC ∴ ?ACB 为二面角 A ? CC ? ? A? 的平面角,则 ?ACB ? 60
O

∴ ?ABC 为正三角形,即几何体 ABC ? A1 B1C1 是正三棱柱. ∴四边形 ABB 1A 1 为正方形 ∴ AB1 ? A1 B ,?????????????2 分 取 BC 中点 O ,连结 AO ,则 AO ? BC . ∵正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,平面 ABC ⊥平面 BCC1 B1 , ∴ AO ⊥平面 BCC1 B1 , ∵ BD ? 平面 BCC1 B1 ,∴ AO ⊥ BD 在正方形 BCC1 B1 中,∴ B1O ? BD ?????????????3 分 ∵ AO ? B1O ? O ,∴ BD ⊥面 AB1O ,∴ BD ⊥ AB1 . ∴ AB1 ⊥平面 AB1 D . ∴ AB1 ⊥ A1D .?????????????6 分 (Ⅰ)解法二:连结 AB 、 A1B1 , ∵ C1 , C 分别是矩形 A1 ABB 1 边 A1 B1 、 A B 的中点, ∴ AC ? CC1 , BC ? CC1 , AC ? BC ? C ∴ CC1 ? 面ABC
9

∴ ?ACB 为二面角 A ? CC ? ? A? 的平面角,则 ?ACB ? 60

O

∴ ?ABC 为正三角形,即几何体 ABC ? A1 B1C1 是正三棱柱. 取 BC 中点 O ,连结 AO 则 AO ? BC , ∵正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,平面 ABC ⊥平面 BCC1 B1 , ∴ AO ⊥平面 BCC1 B1 ??????????1 分 取 B1C1 中点 O1 ,以 O 为原点,OB , OO1, OA 的方向为 x, y, z 轴的正方向建立空间直角坐 标系,不妨设 AA 1 ? 2 ,则 B(1,0,0) , D(?1,1,0) , A(0,0, 3 ) , A 1 (0,2, 3) , B1 (1,2,0) 则 AB1 ? (1,2 ? 3) , A 1D ? (?1, ?1, ? 3) ,???????????4 分 ∴

????

???? ?

???? ???? ? AB1 ? A1D ? (?1, ?1, ? 3) ? (1,2 ? 3) ? ?1? 2 ? 3 ? 0 ,
∴ AB1 ? A 1D ∴ AB1 ⊥ A1D .?????????????6 分 (Ⅱ)解: 设平面 B1 A1 D 的法向量为 n ? ( x, y, z) ∵ A1 B1 ? (1,0,? 3) , A1 D ? (?1,?1,? 3) ∵ n ? A1 B1 , n ? A1 D ∴?

????

???? ?

? ?n. A1 B1 ? 0 ? ?n. A1 D ? 0

?????????????????8 分

∵?

? x ? 3z ? 0, ?

? ? ?? x ? y ? 3z ? 0, ? x ? 3z ? 令 z ? 1 得 n ? ( 3, ?2 3,1) 为平面 B1 A1 D 的一个法向量.?????????10 分
由(I)得 AB1 ? (1,2, ? 3)

∴?

? y ? ?2 3z, ?

????

10

???? n· AB1 ? = AB1 与平面 A1B1D 所成角的正弦值 ? ???? |n|AB1|

3?4 3? 3 4 3 6 ? = . 2 2.4 8 2 4

AB1 与平面 A1B1D 所成角的正弦值为

6 .????????????????12 分 4

21.(本小题满分 12 分) 解(Ⅰ)连接 PB ,依题意得 PB ? PM ,所以 PB ? PA ? PM ? 8 所以点 P 的轨迹 E 是以 A, B 为焦点,长轴长为 4 的椭圆, 所以 a ? 4 , c ? 2 , b ? 2 3 所以 E 的轨迹方程式

x2 y2 ? ? 1 . ??????????4 分 16 12

(Ⅱ) 当直线 l1 , l 2 中有一条直线的斜率不存在时, DE ? FG ? 6 ? 8 ? 14 当 直线 l1 的 斜率存 在且不为 0 时 ,设 直线 l1 的 方程 y ? k ( x ? 2) ,设 D ( x1 , y1 ) ,

E ( x2 , y 2 )
? y ? k ( x ? 2) ? 2 2 2 2 联立 ? x 2 ,整理得 (3 ? 4k ) x ?16k x ? 16k ? 48 ? 0 ????6 分 y2 ?1 ? ? ? 16 12
x1 ? x2 ? 16k 2 16k 2 ? 48 x x ? , 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2
(1 ? k 2 )( x1 ? x2 ) 2

所以 DE ?

? 1 ? k 2 ? ( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2

?

24(1 ? k 2 ) ????8 分 3 ? 4k 2
1 ( x ? 2) , k

设直线 l 2 的方程为 y ? ?

11

24(1 ? k 2 ) 所以 FG ? 4 ? 3k 2
所以 DE ? FG ?

168(k 2 ? 1) 2 ????9 分 (4 ? 3k 2 )(3 ? 4k 2 )

2 设 t ? k ? 1 ,所以 t ? 1 ,所以 DE ? FG ?

168 t ?1 12 ? 2 t

因为 t ? 1 ,所以 0 ?

t ?1 1 96 ? ,所以 DE ? FG 的取值范围是 [ ,14) .???12 分 2 4 7 t
???????1 分

21.(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ) f ( x) 的定义域为 (0, ??) , ∵ f ?( x) ?

1 a ? ,函数 f ( x) 在 x ? 1 处的切线平行于直线 2 x ? y ? 0 . x x2

∴ f ?(1) ? 1 ? a ? 2 ∴ a ? ?1 ????????????????4 分 解: (Ⅱ)若在 ?1,e? ( e ? 2.718... )上存在一点 x0 ,使得 x0 ? 构造函数 h( x) ? x ?

1 ? mf ( x0 ) 成立, x0

1 1 m ? mf ( x) ? x ? ? m ln x ? 在 ?1,e? 上的最小值小于零. x x x

h?( x) ? 1 ?

1 m m x 2 ? mx ? m ? 1 ( x ? 1)( x ? m ? 1) ? ? ? ? ???6 分 x2 x x2 x2 x2

①当 m ? 1 ? e 时,即 m ? e ? 1 时, h( x) 在 ?1,e? 上单调递减,???????8 分

1? m e2 ? 1 ? m ? 0 可得 m ? 所以 h( x) 的最小值为 h(e) ,由 h(e) ? e ? , e e ?1
因为

e2 ? 1 e2 ? 1 ? e ? 1 ,所以 m ? ; e ?1 e ?1

??????10 分

②当 m ? 1 ? 1 ,即 m ? 0 时, h ( x ) 在 ?1, e? 上单调递增,

12

所以 h( x) 最小值为 h (1) ,由 h(1) ? 1 ? 1 ? m ? 0 可得 m ? ?2 ; ??11 分 ③当 1 ? m ? 1 ? e ,即 0 ? m ? e ? 1 时, 可得 h( x) 最小值为 h(1 ? m) , 因为 0 ? ln(1 ? m) ? 1 ,所以, 0 ? m ln(1 ? m) ? m

h(1 ? m) ? 2 ? m ? m ln(1 ? m) ? 2
此时, h(1 ? m) ? 0 不成立.

e2 ? 1 综上所述:可得所求 m 的范围是: m ? 或 m ? ?2 . e ?1

?????12 分

本题有(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.作答 时,先用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑,并将所选题号填入括号中.

(22) (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明讲 证明:(I)

? AB 为圆 O 的一条直径
? BF ? FH , DH ? BD

? B, D, H , F 四点共圆 ??????????????4 分
解:(II) AH 与圆 B 相切于点 F , 由切割线定理得 AF 2 ? AC ? AD ,即 2 2 解得 AD ? 4 , 所以 BD ?

?

?

2

? 2 ? AD ,

1 ? AD ? AC ? ? 1, BF ? BD ? 1 , 2

又 ?AFB ? ?ADH ,

13



DH AD ? ,得 DH ? 2 ,??????????????7 分 BF AF

连 接 BH ,由(1)知 BH 为 ?BDF 的外接圆直径,

BH ? BD2 ? DH 2 ? 3 ,
故 ?BDF 的外接圆半径为

3 .??????????????10 分 2

(23) (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 解: (Ⅰ)因为 ? 2 ? 4? (cos? ? sin ? ) ? 6 , 所以 x2 ? y 2 ? 4x ? 4 y ? 6 , 所以 x2 ? y 2 ? 4x ? 4 y ? 6 ? 0 , 即 ( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? 2 为圆 C 的普通方程.?????????????4 分 所以所求的圆 C 的参数方程为 ? (Ⅱ)由(Ⅰ)可得,

? ? x ? 2 ? 2 cos ? ? ? y ? 2 ? 2 sin ?

( ? 为参数) .?????????6 分

x ? y ? 4 ? 2(sin ? ? cos ? ) ? 4 ? 2sin(? ? ) ??????????7 分 4 ? 当 ? ? 时,即点 P 的直角坐标为 (3,3) 时, ???????????9 分 4 x ? y 取到最大值为 6. ?????????????10 分
(24) (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲

?

?3 ? 2 x, x ? 1 ? 解:(I) f ( x) ? ?1,1 ? x ? 2 ?2 x ? 3, x ? 2 ?
由 f ( x) ? 2 得 ? 解得 x ?

?3 ? 2 x ? 2 ? x ? 2 或? , ?x ? 1 ?2 x ? 3 ? 2

1 5 或x ? . 2 2

14

故所求实数 x 的取值范围为 ( ?? , ) ? ( ,?? ) .??5 分

1 5 2 2 (II)由 m ? n ? m ? n ? m f ( x) 且 m ? 0 得

m?n ? m?n m
又∵

? f ( x)

m?n ? m?n m

?

m?n?m?n m

? 2 ??????????7 分

∴ f ( x) ? 2 . ∵ f ( x) ? 2 的解集为 ( ?? , ) ? ( ,?? ) , ∴ f ( x) ? 2 的解集为 [ , ] , ∴所求实数 x 的取值范围为 [ , ] .??????????10 分

1 2

5 2

1 5 2 2

1 5 2 2

15



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