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2014届高三高考数学解题方法专题复习学案:分段函数面面观


分段函数面面观 一、分段函数的定义 定义域分成若干区间,在各个区间内,函数的对应关系不同,这样的函数称为分段函 数. 注意:分段函数表示的是一个函数,不是几个函数的组合,只不过它有多个对应关系. 二、分段函数的定义域及值域 依据函数定义域、值域的定义,分段函数的定义域应是所有自变量取值区间的并集, 值域应是各段函数值取值区间的并集.最大(小)值就是函数值中最大(小)的那一个. [] 例1 ( x ≤ 0), ?2 x ? 3 ? 2 设函数 y ? ? x ? 2 x ? 3(0 ? x ≤ 1), 求它的定义域、值域及最值. ?? x ? 5 (1 ? x ≤ 5), ? (0, 1] (1 , 5] ? ( ??, 5] , 解:∵ (??, 0] ∴函数的定义域为 (??, 5] . 又∵当 x ≤ 0 时, y ? 2 x ? 3 ,它在 (??, 0] 上是增函数,∴ y ≤ 3 ; 当 0 ? x ≤ 1 时, y ? x ? 2 x ? 3 ,它在 (0, 1] 上是增函数,∴ 3 ? y ≤ 6 ; 2 当 1 ? x ≤ 5 时, y ? ? x ? 5 ,它在 (1 , 5] 上是减函数,∴ ?10 ≤ y ? ?6 . ∴函数的值域为 (??, 6] ,函数无最小值,最大值为 6. [来源:] [] 三、分段函数的解析式 求分段函数的解析式要遵循“先分(求)后总(求) ”的原则. 例2 已知 f ( x) ? x ? 2 x ? 3 ,将 f ( x) 在 [m,m ? 1] 上的最小值记为 g (m) ,试 2 求 g (m) 的表达式. 分析:以函数 f ( x) 的对称轴 x ? 1 与区间 [m,m ? 1] 的位置关系分三种情况讨论, g (m) 的取值因区间的不同而不同,因此,它应是关于 m 的一个分段函数. 解:当对称轴在区间左侧,即 m ? 1 时,函数 f ( x) ? x ? 2 x ? 3 在 [m,m ? 1] 上为 2 增函数, g (m) ? f (m) ? m ? 2m ? 3 ; 2 当对称轴在区间内时,即 0 ≤ m ≤ ? 时, g (m) ? f (1) ? 2 ; 当对称轴在区间的右侧时,即 m ? 0 ,函数 f ( x) ? x ? 2 x ? 3 在 [m,m ? 1] 上为减 2 函数, g (m) ? f (m ? 1) ? m ? 2 . 2 第 1 页 共 2 页 ?m 2 ? 2 (m ? 0), ? 综上所述, g (m) ? ?2 ? 0 ≤ m ≤ 1?, ?m 2 ? 2m ? 3(m ? 1). ? 四、分段函数的单调性和奇偶性 判断分段函数的单调性和奇偶性应遵循“分段判断,合并作答”的原则. 例3 判断函数 f ( x) ? ? [] 2 ? ? x ? x( x ? 0), 的奇偶性. 2 x ? x ( x ≤ 0) ? ? 解:先判断单调性. 当 x ? 0 时, f ( x) ? x ? x ,在 ? 0, ? 上是减函数,在 ? , ? ? ? 上是增函数; 2 ? ? 1? 2? ?1 ?2 ? ? 当 x ≤ 0 时, f ( x) ? x ? x ,在 ? ??, ? ? 上是减函数,在 ? ? , 0 上是增函数. 2 2 ? 2 ? ? 1? ? ? 1 ? ? ? ?1 ? ∴函数 f ( x) 在 ? ??, ? ? 和 ? 0, ? 上是减函数,在 ? ? , 0 和 , ? ?


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