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高中数学必修五求数列通项公式2附经典例题和详细答案



数列专项-3
类型Ⅴ 构造数列法: ㈠形如 an?1 ? pan ? q (其中 p, q 均为常数且 p ? 0 )型的递推式: (1)若 p ? 1 时,数列{ a n }为等差数列; (2)若 q ? 0 时,数列{ a n }为等比数列; (3)若 p ? 1 且 q ? 0 时,数列{ a n }为线性递推数列,其通项可通过待定系数法构造等比 数列来求.方法有

如下两种:

法一:设 an?1 ? ? ? p(an ? ? ) ,展开移项整理得 an?1 ? pan ? ( p ? 1)? ,与题设

an?1 ? pan ? q 比较系数(待定系数法)得

??

q q q q q , ( p ? 0) ? an?1 ? ? p(an ? ) ? an ? ? p(an ?1 ? ) ,即 p ?1 p ?1 p ?1 p ?1 p ?1

? q q ? 为首项, 以 p 为公比的等比数列.再利用等比数列的通项公式 ?a n ? ? 构成以 a1 ? p ?1 p ? 1? ?
求出 ?a n ?

? ?

q ? ? 的通项整理可得 an . p ? 1?
an ?1 ? an ? p, 即 an ? an ?1

法二:由 an?1 ? pan ? q 得 an ? pan?1 ? q(n ? 2) 两式相减并整理得

?an?1 ? an ? 构成以 a2 ? a1 为首项,以 p 为公比的等比数列.求出 ?an?1 ? an ? 的通项再转化为
类型Ⅲ(累加法)便可求出 an . 例 10.在数列 例 11.在数列

?an?中, a1 ? 2 ,且 an?1 ? 3an ? 2 ,求数列 an 的通项公式。
?an?中, a1
? 12 ,且 a n ? 1 ?

2 a n ? 3 ,求数列 an 的通项公式。 3

㈡形如 an?1 ? pan ? f (n) ( p ? 1) 型的递推式: ⑴当 f ( n) 为一次函数类型(即等差数列)时:

B 的值,转化 法一:设 an ? An ? B ? p ?an?1 ? A(n ?1) ? B? ,通过待定系数法确定 A 、
成以 a1 ? A ? B 为首项,以 p 为公比的等比数列 ?an ? An ? B? ,再利用等比数列的通项公 式求出 ?an ? An ? B? 的通项整理可得 an .

法二:当 f ( n) 的公差为 d 时,由递推式得: an?1 ? pan ? f (n) , an ? pan?1 ? f (n ? 1)
两式相减得: an?1 ? an ? p(an ? an?1 ) ? d ,令 bn ? an ?1 ? an 得: bn ? pbn?1 ? d 转化为类型 Ⅴ㈠求出 bn ,再用类型Ⅲ(累加法)便可求出 an . 例 12.在数列

?an?中, a1 ? 2 ,且 an?1 ? 3an ? 4n ? 2 ,求数列 an 的通项公式。

⑵当 f ( n) 为指数函数类型(即等比数列)时:

法一:设 an ? ? f (n) ? p ?an?1 ? ? f (n ?1)? ,通过待定系数法确定 ? 的值,转化成以

a1 ? ? f (1) 为首项,以 p 为公比的等比数列 ?an ? ? f (n)? ,再利用等比数列的通项公式求
出 ?an ? ? f (n)? 的通项整理可得 an .

法二:当 f ( n) 的公比为 q 时,由递推式得: an?1 ? pan ? f (n) ——①,

an ? pan?1 ? f (n ?1) ,两边同时乘以 q 得 an q ? pqan?1 ? qf (n ?1) ——②,由①②两式相
减得 an?1 ? an q ? p(an ? qan?1 ) ,即

an ?1 ? qan ? p ,在转化为类型Ⅴ㈠便可求出 an . an ? qan ?1

法三:递推公式为 an?1 ? pan ? q n (其中 p,q 均为常数)或 an?1 ? pan ? rqn (其中 p,
q, r 均为常数)时,要先在原递推公式两边同时除以 q
n ?1

,得:

a n?1 p a n 1 ? ? ? ,引入 q n?1 q q n q

辅助数列 ?bn ? (其中 bn ?

an p 1 ) ,得: bn ?1 ? bn ? 再应用类型Ⅴ㈠的方法解决。 n q q q

例 13.在数列

?an?中, a1 ? 2 ,且 an?1 ? 3an ? 2n ,求数列 an 的通项公式。

⑶当 f ( n) 为任意数列时,可用通法: 在 an?1 ? pan ? f (n) 两边同时除以 p
n ?1

可得到

a an ?1 an f (n) ? bn ,则 ? n ? n ?1 ,令 n n ?1 pn p p p

bn ?1 ? bn ?

f ( n) n ,在转化为类型Ⅲ(累加法) ,求出 bn 之后得 an ? p bn . p n ?1

例 14.在数列

?an?中, a1 ? 2 ,且 a n ? 1 ? 3a n ? n ,求数列 an 的通项公式。

类型Ⅵ

对数变换法:

形如 an?1 ? paq ( p ? 0, an ? 0) 型的递推式: 在原递推式 an?1 ? pa q 两边取对数得 lg an?1 ? q lg an ? lg p ,令 bn ? lg an 得:

bn?1 ? qbn ? lg p ,化归为 an?1 ? pan ? q 型,求出 bn 之后得 an ? 10bn .(注意:底数不一定
要取 10,可根据题意选择) 。 例 15. 已知数列 例 16. 已知数列

?an?满足 an ?1
?an?满足 an ?1

? 3an , a1 ? 7 ,求数列 an 的通项公式。 ? 2 ? 3n ? an , a1 ? 7 ,求数列 an 的通项公式。
5

5

类型Ⅶ

倒数变换法:

形如 an?1 ? an ? pan?1an ( p 为常数且 p ? 0 )的递推式:两边同除于 an ?1an ,转化为

1 1 ? ? p 形式,化归为 an?1 ? pan ? q 型求出 1 的表达式,再求 an ; an an ?1 an
还有形如 an ?1 ? man 的递推式,也可采用取倒数方法转化成 1 ? m 1 ? m 形式,化归为 an ?1 q an p pan ? q

an?1 ? pan ? q 型求出

1 的表达式,再求 a . n an

例 17. 已知数列 公式。 例 18. 已知数列

?an?满足 a1
?an?满足 a1

?

1 , an ? an ?1 ? an ?1 ? an(n ? 2),求数列 an 的通项 3

? 1 , an ?

a n ?1
3an ?1 ? 1

,求数列 an 的通项公式。

类型Ⅷ

形如 an? 2 ? pan?1 ? qan 型的递推式:

法一:用待定系数法,化为特殊数列 {an ? an?1} 的形式求解。方法为:设
k ,于是 an?2 ? kan?1 ? h(an?1 ? kan ) ,比较系数得 h ? k ? p,?hk ? q ,可解得 h 、

{an?1 ? kan } 是公比为 h 的等比数列,这样就化归为 an?1 ? pan ? q 型。
法二:可用特征方程的方法求解:我们称方程:x2-Ax-B=0 为数列的特征方程
(i)当方程有两个相异的实根(或虚根)p、q 时,有: an ? 与 c2 由已知的 a1、a2 确定。

c1 ? p n ? c2 ? q n ,其中 c1

(ii)当方程有唯一的实根 p 时,有 an ? (c1 ? 确定。 例 19. 已知 例 20.已知

n ? c2 )p n 其中 c1 与 c2 由已知的 a1、a2

a1 ? 2,a2 ? 3,an ? 2 ? 2an ?1 ? an ,求 an 的通项公式。

a1 ? 2,a2 ? 3,an ? 2 ? 3an ?1 ? 2an ,求 an 的通项公式。

类型 IX 不动点法 为了求出递推数列 tn ?1

?

a ? tn ? b 的通项,我们先给出如下两个定义: c ? tn ? d
? f (t n ) ,则称 f ( x) 为数列{ t n }的特征函数.

定义 1:若数列{ t n }满足 t n ?1 定义 2:方程

f ( x) =x 称为函数 f ( x) 的不动点方程,其根称为函数 f ( x) 的不动点.

下面分两种情况给出递推数列 tn ?1 (1)当 c=0,时, 由 tn ?1 记

?

a ? tn ? b 通项的求解通法. c ? tn ? d

?

a ? tn ? b a b ? t n?1 ? ? t n ? , d d c ? tn ? d

a b ? k , ? c ,则有 tn?1 ? k ? tn ? c (k≠0), d d

∴数列{ t n }的特征函数为 f ( x) =kx+c,

c c c ? k (t n ? ) ,则 t n?1 ? k ? t n ? c ? t n ?1 ? 1? k 1? k 1? k c } 是公比为 k 的等比数列, ∴数列 {t n ? 1? k c c c c ? (t1 ? ) ? k n ?1 ? t n ? ? (t1 ? ) ? k n ?1 . ∴ tn ? 1? k 1? k 1? k 1? k
由 kx+c=x ? x= (2)当 c≠0 时, 数列{ t n }的特征函数为: f ( x) =

a?x?b c?x?d



a?x?b ? x ? cx 2 ? (d ? a) x ? b ? 0 c?x?d
2

设方程 cx ? (d ? a) x ? b ? 0 的两根为 x1,x2,则有:
2 ? (d ? a) x2 ? b ? 0 cx12 ? (d ? a) x1 ? b ? 0 , cx2

∴ b ? cx1 ? (d ? a) x1 ……(1)
2
2 b ? cx2 ? (d ? a) x2 ……(2)

又设

t n ?1 ? x1 t ? x1 * (其中,n∈N ,k 为待定常数). ?k? n t n?1 ? x2 t n ? x2
a ? tn ? b ? x1 c ? tn ? d t ? x1 ?k? n ? a ? tn ? b t n ? x2 ? x2 c ? tn ? d



t n ?1 ? x1 t ? x1 ?k? n t n?1 ? x2 t n ? x2

?

atn ? b ? cx1t n ? dx1 t ? x1 ?k? n ……(3) atn ? b ? cx2 t n ? dx2 t n ? x2

将(1)、 (2)式代入(3)式得:

atn ? cx12 ? cx1t n ? ax1 t ? x1 ?k? n 2 t n ? x2 atn ? cx2 ? cx2 t n ? ax2

?

(a ? cx1 )(t n ? x1 ) t ? x1 ?k? n (a ? cx2 )(t n ? x2 ) t n ? x2

?k ?

a ? cx1 a ? cx2

∴数列{

t n ? x1 a ? cx1 a ? cx1 ? 0 )的等比数列. }是公比为 (易证 t n ? x2 a ? cx2 a ? cx2
? a ? cx1 ?? ? a ? cx 2 ? ? ? ? ?
n ?1

t ? x1 t1 ? x1 ∴ n = t n ? x2 t1 ? x 2

? tn ?

t ?x x1 ? x2 ? 1 1 t1 ? x2 t ?x 1? 1 1 t1 ? x2

? a ? cx1 ? ?? ? a ? cx ? ? 2 ? ?
n ?1

n ?1

? a ? cx1 ? ?? ? a ? cx ? ? 2 ? ?

.

例 21. 已知数列{an}中,a1=3, an?1 ?

4an ? 2 ,求{an}的通项。 an ? 1
2a n ? 1 ,求{an}的通项。 3

例 22. 已知数列{an}中,a1=2, a n ?1 ?

总之, 求数列通项公式可根据数列特点采用以上不同方法求解, 对不能转化为以上方法 求解的数列,可用归纳、猜想、证明方法求出数列通项公式 an .

答案详解
例 10. an ? 3n ? 1 (n ? N ?)
2 例 11. a n ? 3 ? ( )n ?1 ? 9(n ? N ?) 3

例 12. an ? 2 ? 3n ? 2n ? 2 (n ? N ?) 例 13. an ? 4 ? 3n -1 - 2n(n ? N ?) 例 14. a n ?
11 n n 1 ? 3 ? ? (n ? N ?) 12 2 4
5n ? 1

例 15. an ? 7

?3

5n ? 1 ?1 4

(n ? N ?) ?2
5n ? 1 ?1 4

例 16. an ? 7

5n ? 1

n ?1

?3

16

(n ? N ?)

例 17. a n ?

1 (n ? N ?) n ?2 1 (n ? N ?) 3n ? 2

例 18. a n ?

例 19. an ? n ? 1 (n ? N ?) 例 20. an ? 2n ?1 ? 1 (n ? N ?) 例 21. an ?
2 n ? 2 ? 2 ? 3n ? 1 (n ? N ?) 2n ? 2 ? 3n ? 1

2 (n ? N ?) 例 22. a n ? ( )n ?1 ? 1 3

数列专项 3-巩固习题
一、选择填空
1. (2010 全国卷 2) (6)如果等差数列 ?an ? 中,a3 + a4 + a5 =12, 那么 a1 + a2 +?…+ a7 = (A)14 (B) 21 (C) 28 (D) 35

2.(2010 安徽)(5)设数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? n2 ,则 a8 的值为 (A) 15 (B) 16 (C) 49 (D)64

3. (2011 年高考四川)数列 ?an ? 的首项为 3 , ?bn ? 为等差数列且

bn ? an?1 ? an (n ? N *) .若则 b3 ? ?2 , b10 ? 12 ,则 a8 ? (
(C)8 (D)11

) A)0

(B)3

4.(20 11 年高考全国卷设 Sn 为等差数列 ?an ? 的前 n 项和,若 a1 ? 1 ,公差 d ? 2 ,

S k ? 2 ? S k ? 24 ,则 k ?

A)8

(B)7

(C)6

(D)5

5.( 2009 广 东 卷 理 ) 已知等比数列 {an } 满足 an ? 0, n ? 1, 2,? ,且
a5 ? a2n?5 ? 22n (n ? 3) ,则当 n ? 1 时, log2 a1 ? log2 a3 ? ? ? log2 a2n?1 ?

A. n(2n ? 1)

B. (n ? 1)2

C. n2

D. (n ? 1)2

6.(2009 陕西卷)设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 s n ,若 a6 ? s3 ? 12 ,则 an ? 7. (2011 广东卷)等差数 列 ?an ? 前 9 项的和等于前 4 项的和.若 a1 ? 1, ak ? a4 ? 0 , 则k ? 8. an ?

an?1 , a1 ? 1 则其通项为 3 ? an?1 ? 1

9(2009 宁夏海南卷理)等差数列{ an }前 n 项和为 Sn 。已知 am?1 + am?1 - a 2 m =0,

S2 m?1 =38,则 m=_______
10.重庆卷理)设 a1 ? 2 , an ?1 ? 公式 bn =

a ?2 2 , bn ? n , n ? N * ,则数列 ?bn ? 的通项 an ? 1 an ? 1

二. 、解答题

二、解答题
11.等差数列 ?an ? 是递增数列,前 n 项和为 S n ,且 a1 , a3 , a9 成等比数列,
2 .求数列 ?an ? 的通项公式. S 5 ? a5

12 已知数列 ?an ? 的前 n 项和 S n 满足 Sn ? 2an ? (?1) n , n ? 1 .求数列 ?an ? 的 通项公式。 13 已知数列 {an } 满足 an?1 ? an ? 2 ? 3n ?1 ,a1 ? 3 ,求数列 {an } 的通项公式。

14 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 2(n ? 1)5n ? an,a1 ? 3 ,求数列 {an } 的通项公式。 15 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 2an ? 3? 5n,a1 ? 6 ,求数列 ?an ? 的通项公式。 16 知数列 {an } 满足 an?1 ? an ?
8(n ? 1) 8 ,a1 ? ,求数列 {an } 的通项公式。 2 2 (2n ? 1) (2n ? 3) 9

17 已知数列 {an } 满足 an ?1 ? 式。 18 已知数列 {an } 满足 an?1 ?

1 (1 ? 4an ? 1 ? 24an ),a1 ? 1 ,求数列 {an } 的通项公 16

7an ? 2 ,a1 ? 2 ,求数列 {an } 的通项公式。 2an ? 3

答案详解
1.【答案】C 【解析】本题考查了数列的基础知识。

a ? a4 ? a5 ? 12 ,∴ a4 ? 4 ∵ 3
2.【答案】 A

a1 ? a2 ? ? ? a7 ?

1 ? 7 ? (a1 ? a7 ) ? 7a4 ? 28 2

【解析】 a8 ? S8 ? S7 ? 64 ? 49 ? 15 . 【方法技巧】直接根据 an ? Sn ? Sn?1 (n ? 2) 即可得出结论. 3.答案:B 解析:由已知知 bn ? 2n ? 8, an?1 ? an ? 2n ? 8, 由叠加法

(a2 ? a1 ) ? (a3 ? a2 ) ? ? ? (a8 ? a7 ) ? ?6 ? ?4 ? ?2 ? 0 ? 2 ? 4 ? 6 ? 0 ? a8 ? a1 ? 3 .
4【答案】D 【解析】 Sk ?2 ? Sk ? ak ?2 ? ak ?1 ? a1 ? (k ? 2 ? 1)d ? a1 ? (k ? 1 ?1)d

? 2a1 ? (2k ? 1)d ? 2 ?1 ? (2k ? 1) ? 2 ? 4k ? 4 ? 24 ? k ? 5 故选 D。
2 5【解析】由 a5 ? a2n?5 ? 22n (n ? 3) 得 an ? 2 2n , an ? 0 ,则 an ? 2n ,

log2 a1 ? log2 a3 ? ? ? ? ? log2 a2n?1 ? 1 ? 3 ? ? ? ? ? (2n ? 1) ? n 2 ,选 C.

6 解析:由 a6 ? s3 ? 12 可得 ?an ? 的公差 d=2,首项 a1 =2,故易得 an ? 2n.
答案:2n

7【答案】10
4?3 ? 9?8 d ? 4? d 1 ?9 ? 【解析】由题得 ? ?d ? ? 2 2 6 ? ?1 ? (k ? 1)d ? 1 ? 3d ? 0 k ? 10

8 解:取倒数:

1 3 ? an?1 ? 1 1 ? ? 3? an an?1 an?1

?1? 1 1 1 ? ? ? 是等差数列, ? ? (n ? 1) ? 3 ? 1 ? (n ? 1) ? 3 ? a n ? 3n ? 2 an a1 ? an ?
9 解析由 am?1 + am?1 - a 2 m =0 得到
2 2am ? am ? 0, am ? 0, 2又S2 m?1 ?

? 2m ? 1?? a1 ? a2 m?1 ? ?
2

? 2m ? 1? am ? 38? m ? 10 。

答案 10

10 解析

2 ?2 an?1 ? 2 an ?1 a ?2 ? ?2 n ? 2bn 且 b1 ? 4 所以数列 ?bn ? 是 由条件得 bn ?1 ? 2 an?1 ? 1 a ? 1 n ?1 an?1

首项为 4,公比为 2 的等比数列,则 bn ? 4 ? 2n?1 ? 2n?1 11 解:设数列 ?an ? 公差为 d (d ? 0)
2 ∵ a1 , a3 , a9 成等比数列,∴ a3 ? a1a9 ,

即 (a1 ? 2d ) ? a1 (a1 ? 8d ) ? d ? a1d
2 2

∵d ? 0,
2 ∵ S 5 ? a5

∴ a1 ? d ………………………………① ∴ 5a1 ?

5? 4 ? d ? (a1 ? 4d ) 2 …………② 2

3 3 ,d ? 5 5 3 3 3 ∴ a n ? ? (n ? 1) ? ? n 5 5 5
由①②得: a1 ? 点评:利用定义法求数列通项时要注意不用错定义,设法求出首项与公差(公比) 后再写出通项。 12 解:由 a1 ? S1 ? 2a1 ? 1 ? a1 ? 1 当 n ? 2 时,有 an ?S n ?S n?1 ? 2(an ? an?1 ) ? 2 ? (?1) ,
n

?an ? 2an?1 ? 2 ? (?1)n?1,

an?1 ? 2an?2 ? 2 ? (?1) n?2 , ……, a2 ? 2a1 ? 2. ?an ? 2n?1 a1 ? 2n?1 ? (?1) ? 2n?2 ? (?1)2 ??? 2 ? (?1)n?1
? 2 n ?1 ? (?1) n [(?2) n ?1 ? (?2) n ? 2 ? ? ? (?2)] ? 2 n ?1 ? (?1) n 2[1 ? (?2) n ?1 ] 3

2 ? [2 n ? 2 ? (?1) n ?1 ]. 3

经验证 a1 ? 1 也满足上式,所以 a n ? 13 解 : 由

2 n?2 [2 ? (?1) n ?1 ] 3


an?1 ? an ? 2 ? 3n ? 1

an?1 ? an ? 2 ? 3n ? 1



an ? (an ? an ?1 ) ? (an ?1 ? an ? 2 ) ? ? ? (a3 ? a2 ) ? (a2 ? a1 ) ? a1 ? (2 ? 3n ?1 ? 1) ? (2 ? 3n ? 2 ? 1) ? ? ? (2 ? 32 ? 1) ? (2 ? 31 ? 1) ? 3 ? 2(3n ?1 ? 3n ? 2 ? ? ? 32 ? 31 ) ? (n ? 1) ? 3 3(1 ? 3n ?1 ) ? (n ? 1) ? 3 1? 3 ? 3n ? 3 ? n ? 1 ? 3 ?2 ? 3n ? n ? 1
所以 an ? 3n ? n ? 1.

14 解:因为 an?1 ? 2(n ? 1)5n ? an,a1 ? 3 ,所以 an ? 0 ,则

an ?1 ? 2(n ? 1)5n ,故 an

an ?

an an ?1 a a ? ?? ? 3 ? 2 ? a1 an ?1 an ? 2 a2 a1

? [2(n ? 1 ? 1)5n ?1 ][2(n ? 2 ? 1)5n ? 2 ] ?? ? [2(2 ? 1) ? 52 ][2(1 ? 1) ? 51 ] ? 3 ? 2n ?1[n(n ? 1) ?? ? 3 ? 2] ? 5( n ?1) ? ( n ? 2) ??? 2?1 ? 3 ? 3? 2
n ?1 n ( n ?1) 2

?5

? n!
n ?1

所以数列 {an } 的通项公式为 an ? 3 ? 2

?5

n ( n ?1) 2

? n!.

15 解:设 an?1 ? x ? 5n?1 ? 2(an ? x ? 5n )



n 将 an?1 ? 2an ? 3? 5n 代入④式,得 2an ? 3? 5n ? x ? 5n?1 ? 2 ,等式两边消去 an ? 2 x? 5
n n , x ? ? 1, x? 5 , 两 边 除 以 5 , 得 3 ? 5x ? 2x 则 代入④式得 2an , 得 3 ? 5n ? x ? 5n?1 ? 2

an?1 ? 5n?1 ? 2(an ? 5n )



由 a1 ? 51 ? 6 ? 5 ? 1 ? 0 及⑤式得 an ? 5n ? 0 ,则

an?1 ? 5n?1 ? 2 ,则数列 {an ? 5n } 是以 n an ? 5

a1 ? 51 ? 1 为首项,以 2 为公比的等比数列,则 an ? 5n ? 2n?1 ,故 an ? 2n?1 ? 5n

16 解:由 an ?1 ? an ?

8(n ? 1) 8 及 a1 ? ,得 2 2 9 (2n ? 1) (2n ? 3)

8(1 ? 1) 8 8 ? 2 24 ? ? ? 2 2 (2 ?1 ? 1) (2 ?1 ? 3) 9 9 ? 25 25 8(2 ? 1) 24 8?3 48 a3 ? a2 ? ? ? ? 2 2 (2 ? 2 ? 1) (2 ? 2 ? 3) 25 25 ? 49 49 8(3 ? 1) 48 8 ? 4 80 a4 ? a3 ? ? ? ? 2 2 (2 ? 3 ? 1) (2 ? 3 ? 3) 49 49 ? 81 81 a2 ? a1 ?
由此可猜测 an ?

(2n ? 1)2 ? 1 ,往下用数学归纳法证明这个结论。 (2n ? 1)2 (2 ?1 ? 1)2 ? 1 8 ? ,所以等式成立。 (2 ?1 ? 1)2 9 (2k ? 1)2 ? 1 ,则当 n ? k ? 1 时, (2k ? 1)2

(1)当 n ? 1 时, a1 ?

(2)假设当 n ? k 时等式成立,即 ak ?

ak ?1 ? ak ?

8(k ? 1) (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2

?

(2k ? 1) 2 ? 1 8( k ? 1) ? 2 (2k ? 1) (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2

[(2k ? 1) 2 ? 1](2k ? 3) 2 ? 8(k ? 1) ? (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2 (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2 ? (2k ? 3) 2 ? 8( k ? 1) ? (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2 (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2 ? (2k ? 1) 2 ? (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2 ? ? (2k ? 3) 2 ? 1 (2k ? 3) 2 [2(k ? 1) ? 1]2 ? 1 [2(k ? 1) ? 1]2

由此可知,当 n ? k ? 1 时等式也成立。 根据(1) , (2)可知,等式对任何 n ? N 都成立。
*

17 解:令 bn ? 1 ? 24an ,则 an ? 故 an ?1 ?

1 2 (bn ? 1) 24

1 2 1 (bn ?1 ? 1) ,代入 an ?1 ? (1 ? 4an ? 1 ? 24an ) 得 24 16

1 2 1 1 2 (bn ?1 ? 1) ? [1 ? 4 (bn ? 1) ? bn ] 24 16 24
2 2 即 4bn ?1 ? (bn ? 3)

因为 bn ? 1 ? 24an ? 0 ,故 bn ?1 ? 1 ? 24an ?1 ? 0 则 2bn?1 ? bn ? 3 ,即 bn ?1 ? 可化为 bn ?1 ? 3 ?

1 3 bn ? , 2 2

1 (bn ? 3) , 2
1 为公比的等比数 2 1 1 1 ? ( ) n ? 2 ,则 bn ? ( ) n ? 2 ? 3 ,即 1 ? 24an ? ( ) n ? 2 ? 3 ,得 2 2 2

所以 {bn ? 3} 是以 b1 ? 3 ? 1 ? 24a1 ? 3 ? 1 ? 24 ?1 ? 3 ? 2 为首项,以
n ?1 列,因此 bn ? 3 ? 2( )

1 2

an ?

2 1 n 1 n 1 ( ) ?( ) ? 。 3 4 2 3 7x ? 2 3x ? 1 2 ,得 2 x ? 4 x ? 2 ? 0 ,则 x ? 1 是函数 f ( x ) ? 的不动点。 2x ? 3 4x ? 7

18 解:令 x ?

因为 an ?1 ? 1 ?

7an ? 2 5a ? 5 ,所以 ?1 ? n 2an ? 3 2an ? 3

an ?

2 1 n 1 n 1 ( ) ?( ) ? 。 3 4 2 3

评注:本题解题的关键是通过将 1 ? 24an 的换元为 bn ,使得所给递推关系式转化

bn ?1 ?

1 3 bn ? 形式, 从而可知数列 {bn ? 3} 为等比数列, 进而求出数列 {bn ? 3} 的通项公式, 2 2

最后再求出数列 {an } 的通项公式。



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