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高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.5-14 抛物线标准方程与几何性质复习小结(2)教案



课题:抛物线标准方程与几何性质(2)
课时:14 课型:复习课 典型题训练: 31 、 已 知 A,B,C 为 抛 物 线 y 2 ? 2 px ( p ? 0) 上 不 同 的 三 点 , F 为 抛 物 线 的 焦 点 , 且

??? ? ??? ? ??? ? ? ??? ? ??? ? ??? ? FA ? FB ? FC ? 0 ,求 |

FA | ? | FB | ? | FC |? ________
32、 已知抛物线的顶点在原点,焦点在轴的正半轴上,为焦点, A, B, C 为抛物线上的三点,且 满足 FA ? FB ? FC ? 0 , FA ? FB ? FC ? 6 ,则抛物线的方程为
2

??? ? ??? ? ??? ?

? ??? ?

??? ?

??? ?

.

33、已知抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点为,点 P ,y1 ),P2 ( x2,y2 ) , P3 ( x3,y3 ) 在抛物线 1 ( x1 上,且 2 x2 ? x1 ? x3 , 则有( A. FP 1 ? FP 2 ? FP 3 C. 2 FP2 ? FP 1 ? FP 3
2

) B. FP 1 ? FP 2 D. FP2
2 2 2

? FP3

2

? FP · FP3 1
2 2

34、已知抛物线 y =4x,过点 P(4,0)的直线与抛物线相交于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则 y1 +y2 的最小值是
2

.

35、设 F 为抛物线 y ? 4 x 的焦点,A,B,C 为抛物线上三点.O 为坐标原点,若 FA + FB +

??? ?

??? ?


??? ? ? 2 2 FC = 0 .△OFA,△OFB,△OFC 的面积分别为 S1,S2,S3,则 S12 + S 2 + S3 的值为(
A.9
2

B.6

C. 4

D. 3 )

36、 过抛物线 y =4x 的焦点作直线交抛物线于 A(x1,y1),B(x2,y2),如果 x1+x2=6,那么|AB|=( A.8
2

B.10

C.6

D.4

37、 设抛物线 x ? 4 y 的焦点为,经过点 P (1, 2) 的直线与抛物线交于、 两点,又知点恰好为 AB 的中点,则 AF ? BF 的值是 ( A.3
2

) C.6 D.

B.4

17 8

38、 已知抛物线 C : y ? 8 x 的焦点为,准线与轴的交点为,点在 C 上且 AK ? 则 ?AFK 的面积为( (A) ) (C) 16 (D) 32

2 AF ,

(B) 8

-1-

39、 设抛物线 y ? 8 x 的焦点为,准线为 l ,为抛物线上一点, PA ? l ,为垂足,如果直线 AF 斜
2

率为 ? 3 ,那么|PF|=( (A) 4 3

) (C) 8 3 (D) 16

(B) 8
2

40、直线 l 过抛物线 y ? x 的焦点,交抛物线于 A、B 两点,且点在轴上方,若直线 l 的倾斜 角? ≥

π ,则|FA|的取值范围是 4
B. ? ,





A. ? , ? ?4 2 ? C. ? ,1 ?

?1 3 ?

2? ?1 3 ? ? ?4 4 2 ? 2 2? ,1 ? ? 2 2 ?
2 2

?1 ?4

2? ? 2 ?

D. ?1 ?

? ? ?

x y 2 41、已知定点 N(1, 0),动点 A、B 分别在图中抛物线 y =4x 及椭圆 + =1 的 4 3 实线部分上运动,且 AB∥x 轴,则△NAB 的周长 L 的取值范围是

x2 y 2 42、已知椭圆 ? ? 1 和抛物线 y 2 ? 4 x ,斜率为 0 的直线 AB 在第一象限内分别交椭圆与 4 3
抛物线于 A,B 两点,点 M(1,0),则 | BM | ? | AM | 的最大值为 ( ) A、
1 12

B、

1 4

C、

1 2

D、 43、 过抛物线 y ? ax

2

(a ? 0) 的焦点 F 的直线交抛物线于 P、 Q 两点, 若线段 PF 与 FQ 的长分别是 p、 q, 则 等于( A.2 焦点弦 44、过抛物线 y 则这样的直线
2

1 1 ? p q

) B.

1 2a

C.4

D.

4 a

? x 的焦点作一条直线与抛物线交于 A、B 两点,它们的横坐标之和等于 3,
( ) B.有且只有两条
2

A.有且只有一条

C.有无穷多条

D.不存在

45、 过抛物线 y ? ax ( a ? 0) 的焦点作一直线交抛物线于、 两点, 若线段 AF 、BF 的长分别为、 ,

-2-



mn m?n
A.

等于(



1 2a
2

B.

1 4a

C. 2a

D.

a 4


46、 设抛物线 y ? 2 x 与过其焦点的直线交于 A, B 两点,则 OA ? OB 的值( A

??? ? ??? ?

3 4

B?

3 4

C3

D ?3

47、 如图,已知是坐标原点,过点 P(5, 0) 且斜率为 k 的直线 l 交 抛物线 y ? 5 x 于 M ( x1 , y1 ) 、 N ( x 2 , y 2 ) 两点.
2

(1) 求 x1 x 2 和 y1 y 2 的值; (2)求证: OM ? ON . (2)补充:已知抛物线

y 2 ? 2 px ( p ? 0) ,若过点 A(2p,0)作直线直线 l 交

抛 物 线 于 M ( x1 , y1 ) 、 N ( x 2 , y 2 ) 两 点 . 则 KOMKON=-1; 若 直 线 l 交 抛 物 线 于 M ( x1 , y1 ) 、

N ( x 2 , y 2 ) 两点.且 KOMKON=-1,则 MN 过定点(2p,0)

-3-

参考答案 1、 C 2、 C 3、B 4、B
2

5、D 6、 A; 7、 (2, 0) 14、 D

8、 y ? ?

3 1 9、 8 4

2 10、 y 2 ? 2 x 或

x 2 ? 2 y 11、y ? 8x 12、 C 13、 D

x0 ? 6 ? x ? ? ? x0 ? 2 x ? 6 ? 2 2 15、y ? 16 x ; 16、 D 17、 解: 设点 M ( x0 , y0 ), P ( x, y ) , 则? , ∴? . 代 y ? 2 y y 0 0 ? ?y ? ? ? 2
2 入 y0 ? 8 x0 得: y ? 4 x ? 12 .此即为点 P 的轨迹方程.18、B19、 y ? 2 p ( x ? 4 p )( p ? 0)

2

2

-4-

20、A 21、A 22、C 23、B 24、2 25、 解析:由抛物线的定义可知 AF ? AA1 ? KF ? 2 ? AB ? x轴 , 故 AF ? BF ? 2 26、 B 27、

5 28、B 29、2- 3 或 2+ 3 . 30、B 31、3 F(p/2,0),准线 x=-p/2,则 AF,BF,CF 4

分别等于 A,B,C 到准线的距离。 由条件知 F 是三角形 ABC 的重心 设 A(t1,s1),B(t2,s2),C(t3,s3) 向量 FA+向量 FB+向量 FC=(t1+t2+t3-3p/2,s1+s2+s3)=向量 0 t1+t2+t3-3=0,t1+t2+t3=3 根据抛物线定义,抛物线上的点到焦点的距离等于它到准线的距离,准线 x=-p/2 FA 的模=p/2+t1,向量 FB 的模=p/2+t2,向量 FC 的模=p/2+t3 FA 的模+向量 FB 的模+向量 FC 的模=3+t1+t2+t3=3p 32、 y ? 4 x
2

33、C

34、32,设过(4,0)的直线为 y=k(x-4),联立 y^2=4x,得(k^2)x^2-(8k^2+4)x+4k^2=0,于是 1^2+y2^2=4x1+4x2=4(x1+x2)=4(8k^2+4)/k^2=4(8+4/k^2)=32+8/k^2.显然,当 K→∞,8/k^2→0,即当 AB 所在的直线⊥OX 轴时 Y1^2+Y2^2 最小值是 32。 35、D 可知焦点 F 坐标为(1,0),以 OF 为底,即底为 1 所以△OFA,△OFB,△OFC 的高分别 分别 Ya,Yb,Yc,即 S1?+S2?+S3?=(Y?a+Y?b+Y?c)/4,因为 F 为△ABC 的重心, 根据在平面直角坐 标系中,重心的坐标是顶点坐标的算术平均即(Xa+Xb+Xc)/3=1,(Ya+Yb+Yc)/3=0 Xa+Xb+Xc=3 因为 y?=4x 又有 Y?a+Y?b+Y?c=3*4=12,所以 S1?+S2?+S3?=12/4=3 36、A; 37、 C 过、两点分别作抛物线准线的垂线,设垂足分别为 A1 、 B1 ,由抛物线定义知 可知

AF ? BF = AA1 ? BB1 ? y1 ? y2 ? p ? 4 ? 2 ? 6 ;38、 B; 39、 解析:选 B.利用抛物线定义,
易证 ?PAF 为正三角形,则 | PF |? B; 46、B;

10 4 ? 8 ;40、 C 41、 ( ,4 ) 42、 A ; 43、 C ; 44、 B 45、 ? sin 30 3

? y 2 ? 5 x, 47 、 解 : ( 1 ) 由 已 知 , 直 线 l 的 方 程 为 y ? k ( x ? 5) , 其 中 k ? 0. 由 ? 得 ? y ? k ( x ? 5)
k 2 x 2 ? 5(2k 2 ? 1) x ? 25k 2 ? 0 , ∴ x1 x 2 ? 25 ,
-5-

又 y1 ? 5 x1 , y 2 ? 5 x 2 ,∴ ( y1 y 2 ) ? 25 x1 x 2 ? 625 , 而 y1 y 2 ? 0 ,∴ y1 y 2 ? ?25
2 2

2

(2)由(1)知, OM ? ON = x1 x 2 ? y1 y 2 ? 25 ? 25 ? 0 ,∴ OM ? ON

-6-



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