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排列、组合、概率与统计基础知识与典型例题


数学基础知识与典型例题 (第十章排列、组合、概率与统计)

⑷组合数的两个性质: ①C ②C
m n

= C n?m ; n

从 n 个不同元素中取出 m 个元素后就剩下 n-m 个元素, 因此从 n 个不 根据组合定义与加法原理得;在确定 n+1 个不同元素中取 m 个
m ?1 n ,如果不取这一元素,则需从剩余

同元素中取出 n-m 个元素的方法是一一对应的,因此是一样多的.
m ?1 n m +C m = C n +1 n

元素方法时,对于某一元素,只存在取与不取两种可能,如果取这一元素,则需从剩下 的 n 个元素中再取 m-1 个元素,所以有 C
m

n 个元素

1 m 中取出 m 个元素,所以共有 C n 种,依分类原理有 C m ?n +C m =C n +1 . n

1.分类计数原理: 完成一件事,有 n 类办法,在第 1 类办法中有 m1 种不同的方法,在第 2 类办法
中有 m2 种不同的方法,……,在第 n 类办法中有 mn 种不同的方法,那么完成这件事共有 N= n1+n2+n3+…+nM 种不同的方法.

排 列 与 组 合

2.分步计数原理:完成一件事,需要分成 n 个步骤,做第一步有 m1 种不同的方法,做第二步有 m2 种
不同的方法,……,做第 n 步有 mn 种不同的方法,那么完成这件事共有 N=n1·n2·n3·…nM 种不同的方法.

排 列 与 组 合

注:分类计数原理和分步计数原理是排列组合的基础和核心,既可用来推导排列数、组 合数公式,也可用来直接解题。它们的共同点都是把一个事件分成若干个分事件来进行 计算。只不过利用分类计算原理时,每一种方法都独立完成事件;如需连续若干步才能 完成的则是分步。利用分类计数原理,重在分“类” ,类与类之间具有独立性和并列性; 利用分步计数原理,重在分步;步与步之间具有相依性和连续性.比较复杂的问题,常先 常先 分类再分步。 分类再分步 3.⑴排列的定义:从 n 个不同的元素中任取 m(m≤n)个元素,按照一定顺序排成一列,叫做从 n 个 ......
不同元素中取出 m 个元素的一个排列. ⑵排列数的定义: 从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素排成一列,称为从 n 个不同元素中取出 m
m 个元素的一个排列. 从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列数,用符号 An 表示. 其中 n, N , m∈
?

5.解排列、组合题的基本策略与方法 (Ⅰ)排列、组合问题几大解题方法: ①直接法; ②排除法; ③捆绑法:在特定要求的条件下,将几个相关元素当作一个元素来考虑,待整体排好之 后再考虑它们“局部”的排列.它主要用于解决“元素相邻问题”; ④插空法:先把一般元素排列好,然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中,此 法主要解决“元素不相邻问题”. ⑤占位法:从元素的特殊性上讲,对问题中的特殊元素应优先排列,然后再排其他一般 元素;从位置的特殊性上讲,对问题中的特殊位置应优先考虑,然后再排其他剩余位置. 即采用“先特殊后一般”的解题原则. ⑥调序法:当某些元素次序一定时,可用此法.解题方法是:先将 n 个元素进行全排列有 A n 种, m( m < n) 个元素的全排列有 A m 种,由于要求 m 个元素次序一定,因此只能取 n m 其中的某一种排法,可以利用除法起到去调序的作用,即若 n 个元素排成一列,其中 m 个元素次序一定,共有
An n Am m

种排列方法.

(Ⅱ)排列组合常见解题策略: ①特殊元素优先安排策略; ②合理分类与准确分步策略; ③排列、组合混合问题先选后排的策略(处理排列组合综合性问题一般是先选元素,后排列) ; ④正难则反,等价转化策略; ⑤相邻问题插空处理策略; ⑥不相邻问题插空处理策略; ⑦定序问题除法处理策略; ⑧分排问题直排处理的策略; ⑨ “小集团”排列问题中先整体后局部的策略; ⑩构造模型的策略. 6.二项式定理: ⑴ 对于 n ∈ N , ( a + b) = C n a b +C n a
n ?

并且 m≤n.

⑶排列数公式: Anm = n(n ? 1)? (n ? m + 1) = n ! (m ≤ n, n, m ∈ N ) (n ? m)! 当 m=n 时, 排列称为全排列, 排列数为 An = n × ( n ? 1) × ? × 2 × 1 记为 n!, 且规定 O!=1.
n

0

n

0

1

n ?1

n b + ? + C nr a n ? r b r + ? + C n a 0b n ,这个公

注: n ? n ! = ( n + 1)!? n ! ; Anm = nAnm??1 1 4.⑴组合的定义: 从 n 个不同的元素中任取 m(m≤n)个元素并成一组,叫做从 n 个不同元素中取出
m 个元素的一个组合.

⑵组合数的定义: 从 n 个不同的元素中取出 m(m≤n)个元素的所有组合数,叫做从 n 个不同元素中
取出 m 个元素的组合数.用符号 Cn 表示.
m n! ⑶组合数公式: Cnm = A n = n(n ? 1) ? (n ? m + 1) = . m Am m! m !( n ? m)!

式所表示的定理叫做二项式定理,右边的多项式叫做 ( a + b) n 的展开式. 注:展开式具有以下特点: 项数:共有 n + 1 项; 0 1 2 r 系数:依次为组合数 C n ,C n ,C n , ? ,C n , ? ,C n ; n 且每一项的次数是一样的,即为 n 次,展开式依 a 的降幂排列,b 的升幂排列展开.
n r n?r r ⑵二项展开式的通项: (a+b) 的展开式第 r+1 为 T r+1= Cn a b (0≤r ≤n, r ∈Z) .

m

⑶二项式系数的性质. r ①二项展开式中的 Cn ( r = 0,1, 2,? , n) 叫做二项式系数 ..... ②在二项展开式中与首未两项“等距离”的两项的二项式系数相等; 即 Cn = Cn , Cn = Cn , ? , Cn = C n .
0
n

规定 Cn = 1 ,其中 m,n∈N+,m≤n.
0

注: 排列是“排成一排”,组合是“并成一组”, 前者有序而后者无序.
第1页

1

n ?1

r

n?r

第2页

③二项展开式的中间项二项式系数最大 .....

n +1 n +1 时,二项系数是逐渐增大,当 k > 时,二项式系数是逐渐减小的. 2 2 n n (Ⅰ)当 n 是偶数时,中间项是第 + 1 项,它的二项式系数 C 2 最大; n 2 n?1 n+1 n+1 n+1 (Ⅱ)当 n 是奇数时,中间项为两项,即第 项和第 +1项,它们的二项式系数 C 2n = C 2n 最大. 2 2 0 1 n n ④系数和: 所有二项式系数的和:C n +C n + ? + C n = 2 ;奇数项二项式系数的和=偶数
且当 k < 项而是系数的和: C n +C n +C n + ? = C n +C n + ? = 2
0 2 4 1 3 n ?1

排 列 与 组 合

例 10. 一个同心圆形花坛,分为两部分,中间小圆部分种植草坪和绿色灌木,周围的圆 环分为 n(n≥3,n∈N)等份,种植红、黄、蓝三色不同的花,要求相邻两部分种植不同 颜色的花. ⑴如图 1,圆环分成的 3 等份为 a1,a2,a3,有多少不同的种植方法?如图 2,圆环分成 的 4 等份为 a1,a2,a3,a4,有多少不同的种植方法? ⑵如图 3,圆环分成的 n 等份为 a1,a2,a3,……,an,有多少不同的种植方法?

.

⑤ C m +C m +1 +C
m m

m m+2

?C

m m+n

= C m +m +1 n +1
p q r

排 列 与 组 合

n ⑷ 如 何 来 求 ( a + b + c ) 展 开 式 中 含 a b c 的 系 数 呢 ? 其 中 p, q, r ∈ N , 且

p + q + r = n 把 (a + b + c) n = [(a + b) + c] n 视 为 二 项 式 , 先 找 出 含 有 c r 的 项 r C n (a + b) n ? r c r ,另一方面在 (a + b) n ? r 中含有 b q 的项为 C n ?rq a n ?r ?qb q = C n? rq a pb q ,故

q (a + b + c) n 中 含 a pb q c r 的 项 为 C nr C n? r a pb q c r . 其 系 数 为
q n?r

C nr C

=

n! (n ? r )! n! p q r ? = = C n C n? p C r . r !(n ? r )! q !(n ? r ? q)! r !q ! p !

1.随机事件及其概率: ⑴必然事件:在一定的条件下必然要发生的事件,叫做必然事件. ⑵不可能事件: 在一定的条件下不可能发生的事件,叫做不可能事件. ⑶随机事件: 在一定的条件下可能发生也可能不发生的事件,叫做随机事件. ⑷随机事件的概率:一般地,在大量重复进行同一试验时,事件 A 发生的频率
数,在它附近摆动,这时就把这个常数叫做事件

⑸二项式定理的应用:解决有关近似计算、整除问题,运用二项展开式定理并且结合放 缩法证明与指数有关的不等式。 ) 例 1. 3 个班分别从 5 个景点中选择 1 处游览,不同的选法种数是( (A)5 3 (B)3 5 (C)A 5
3

m 总是接近于某个常 n

A 的概率,记作 P ( A) .

(D)C 5

3

⑸概率从数量上反映了一个事件的可能性的大小,它的取值范围是 [ 0,1] ,必然事件的概 率是 1,不可能事件的概率是 0. 2.等可能事件的概率: ⑴基本事件:一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件. ⑵等可能事件的概率:如果一次试验由 n 个基本事件组成,而且所有结果出现的可能性都相等,那么
每一个基本事件的概率都是

例 2. 5 本不同的课外读物分给 5 位同学,每人一本,则不同的分配方法有( ) (A)20 种 (B)60 种 (C)120 种 (D)100 种 ). 例 3. 6 个人排成一排,甲、乙、丙必须站在一起的排列种数为(
6 (A) A6

(B) 3 A3

3

(C) A3 A3
x

3

3

(D) A3 A4

3

4

例 4. 如果集合 A={x│ 排 列 与 组 合 (A)1 个
n

C

7

≤21},则组成集合 A 的元素个数有( (C)6 个 (D)7 个

).

(B)3 个

概 率

1 n

,如果某个事件

A 包含的结果有 m

个,那么事件

A 的概率为

? 1 ? 1 例 5.如果 ? 3 x ? ? 的展开式中各项系数之和为 128,则展开式中 3 的系数是( 3 2 x x ? ? (A)7 (B) ?7 (C)21 (D) ?21
例 6. 设(1+x) +(1+x) +…+(1+x) = a 0 +a 1 x+a 2 x +…+a 10 x 则 a 3 = ( ) (A) C 11
3 4 (B) C 11
3 (C) 2C 10 4 (D) C 10

)

P ( A) =

m . n

3

4

10

2

10

3 10 5 例 7. 在 (1 ? x )(1 + x ) 的展开式中, x 的系数是( ) (A)-297 (B)-252 (C)297 (D)207 例 8. 对于小于 55 的自然数,积(55-n)(56-n)……(68-n)(69-n)等于 (

3.⑴互斥事件:不可能同时发生的两个事件叫互斥事件. 如果事件 A、B 互斥,那么事件 A+B 发生(即 A、B 中有一个发生)的概率,等于事件 A、B 分别发生的概率和,即 P(A+B)=P(A)+P(B), 推广: P( A 1 + A 2 + ? + A n ) = P ( A 1 ) + P ( A 2 ) + ? + P( A n ) . ⑵对立事件:两个事件必有一个发生的互斥事件叫对立事件. ............... ①对立事件的概率和等于 1: P(A) + P(A) = P(A + A) = 1 . ②互为对立的两个事件一定互斥,但互斥不一定是对立事件. 从集合的角度看,由事件 A 的对立事件 A 所含的结果组成的集合,是全集 I 中由事 件 A 所含的结果组成的集合的补集.

)

(A)A 69 ? n
9

55 ? n

(B)A 69 ? n
2 8

15

(C)A 55? n
9

15

(D)A 69 ? n

14

例 9. 若(1-2x) =a0+a1x+a2x +…+a8x +a9x ,则 a1+a2+…+a8 的值为_______.
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第4页

4. 相互独立事件: 事件 A(或 B)是否发生对事件 B(或 A)发生的概率没有影响,这样的两个事件叫做相
互独立事件. 注: 独立事件是对任意多个事件来讲,而互斥事件是对同一实验来讲的多个事件,且这多个事件不能 同时发生,故这些事件相互之间必然影响,因此互斥事件一定不是独立事件.

例 18. 某商场开展促销抽奖活动,摇出的中奖号码是 8,2,5,3,7,1,参加抽奖的每 位顾客从 0~9 这 10 个号码中任意抽出六个组成一组,若顾客抽出的六个号码中至少有 5 个与摇出的号码相同(不计顺序)即可得奖,则中奖的概率是________.(用数字作答) 例 19. 某射手射击 1 次,击中目标的概率是 0.9.他连续射击 4 次,且各次射击是否击中 目标相互之间没有影响.有下列结论:①他第 3 次击中目标的概率是 0.9;②他恰好击中 目标 3 次的概率是 0.93×0.1; ③他至少击中目标 1 次的概率是 1-0.14.其中正确结论的序 号是__ (写出所有正确结论的序号). , y z (x、 z≥0, x + y + z = 6 ) y、 且 例 20. A 有一只放有 x 个红球, 个白球, 个黄球的箱子 B 有一只放有 3 个红球,2 个白球,1 个黄球的箱子,两人各自从自己的箱子中任取一球 比颜色,规定同色时为 A 胜,异色时为 B 胜. (1)用 x、y、z 表示 B 胜的概率; (2)当 A 如何调整箱子中球时,才能使自己获胜的概率最大?

⑴两个相互独立事件同时发生的概率,等于每个事件发生的概率的积,即 P(A·B)=P(A)·P(B). 证明:设甲试验共有 N1 种等可能的不同结果,其中属于 A 发生的结果有 m1 种,乙试验共有 N2 种等
可能的不同结果,其中属于 B 发生的结果有 m2 种,由于事件 A 与 B 相互独立,N1,m1 与 N2,m2 之间 是相互没有影响的,那么,甲、乙两试验的结果搭配在一起,总共有 N1·N2 种不同的搭配,显然这些 搭配都是具有等可能性的.另外,考察属于事件 AB 的试验结果,显然,凡属于 A 的任何一种试验的结 果同属于 B 的任何一种乙试验的结果的搭配,都表示 A 与 B 同时发生,即属于事件 AB,这种结果总 共有 m1·m2 种.因此得: P(AB)=

概 率

m1 ? m2 N1 ? N 2



m1 N1

·

m2 N2

,

∴ P(AB)=P(A)P(B)

概 率

注:当两个事件同时发生的概率 P(AB)等于这两个事件发生概率之和,这时我们也可称 这两个事件为独立事件. ⑵推广:如果事件 A1 , A 2 ,?, A n 相互独立,那么 P( A1? A 2 ? A n ) = P( A1 ) ? P( A 2 )?P( A n ) ⑶独立重复试验:若 n 次重复试验中,每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果,则称 这 n 次试验是独立的. 如果在一次试验中某事件发生的概率为 P,那么在 n 次独立重复试验中这个事件
k 恰好发生 k 次的概率: P n (k ) = C n P k (1 ? P) n ?k .(注:此式为二项式[(1-P)+P]n 展开式的第 k+1 项.)

注: ①一般地,如果事件 A 与 B 相互独立,那么 A 与 B, A 与 B, A 与 B 也都相互独立. ②对任何两个事件都有 P ( A + B ) = P ( A) + P ( B ) ? P ( A ? B ) 例 11. 10 张奖券中只有 3 张有奖,5 个人购买,至少有 1 人中奖的概率是( (A) 3 (B) 1 (C) 1 (D) 11
10 12 2 12

)

乙地下雨的概率是 0.12.假定在这天两地 例 12. 2006 年 6 月 7 日,甲地下雨的概率是 0.15, 是否下雨相互之间没有影响,那么甲、乙都不下雨的概率是( ) (A) 0.102 (B) 0.132 (C) 0.748 (D) 0.982 例 13. 从 1,2,……,9 这九个数中,随机抽取 3 个不同的数,则这 3 个数的和为偶数 的概率是( ) (A) 5 (B) 4 (C) 11 (D) 10
9 9 21 21

例 14. 袋中有红球、黄球、白球各 1 个,每次任取一个,有放回地抽取 3 次,则下列事 概 率 件中概率是

8 的是( ) 9
(B)颜色不全相同 (C)颜色全不同 (D)颜色无红色

(A)颜色全相同

例 15. 袋中装有白球和黑球各 3 个,从中任取 2 球,在下列事件中:(1)恰有 1 个白球和 恰有 2 个白球; (2)至少有 1 个白球和全是白球; (3)至少有 1 个白球和至少有 1 个黑球; (4)至少有 1 个白球和全是黑球。是对立事件的为( ) (A) (1) (B) (2) (C) (3) (D) (4) 例 16. 甲、乙两人独立地解同一问题,甲解决这个问题的概率是 p1,乙解决这个问题的 概率是 p2,那么恰好有 1 人解决这个问题的概率是了( ) (B) p1 (1 ? p 2 ) + p 2 (1 ? p1 ) (C) 1 ? p1 p2 (D)1 ? (1 ? p1 )(1 ? p2 ) (A) p1 p 2 例 17. 某班有 50 名学生,其中 15 人选修 A 课程,另外 35 人选修 B 课程.从班级中任 选两名学生,他们是选修不同课程的学生的概率是 .(结果用分数表示)
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随 机 变 量 与 统 计

1.随机试验: ⑴试验如果满足下述条件: ①试验可以在相同的情形下重复进行;②试验的所有可能结果是明确可知的,并且不止 一个;③每次试验总是恰好出现这些结果中的一个,但在一次试验之前却不能肯定这次 试验会出现哪一个结果.它就被称为一个随机试验. ⑵如果随机试验的结果可以用一个变量来表示, 那么这样的变量叫做随机变量,如果随机 变量可以按一定次序一一列出,这样的随机变量叫做离散型随机变量. 注:若随机变量可以取某一区间内的一切值,这样的变量叫做连续型随机变量. 2. 离散型随机变量:设离散型随机变量 ξ 可能取的值为: x 1 , x 2 , ? , x i , ? ξ 取每一个值 x 1 (i = 1,2, ?) 的概率 P(ξ = x i ) = p i ,则表称为随机变量 ξ 的概率分布,简称 ξ 的分布列. … … x x x ξ
1 2
i

P

p1

p2



pi



有性质① p 1≥ 0, i = 1, 2,? ;

② p 1 + p 2 +? + p i +? = 1 .

3. 称 Eξ = x 1 p 1 + x 2 p 2 + ? + x n p n + ? 为 ξ 的数学期望或平均数、均值. 数学期望又简称期望.数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平. 注: 随机变量η = aξ + b 的数学期望: Eη = E ( aξ + b) = aEξ + b
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4. 方差、标准差: 当已知随机变量 ξ 的分布列为 P (ξ = x k ) = p k ( k = 1, 2,?) 时,则称

Dξ = ( x 1 ?Eξ ) 2 p 1 +( x 2 ?Eξ ) 2 p 2 +? + ( x n ?Eξ ) 2 p n +? 为 ξ 的方差.
Dξ . σξ 为 ξ 的根方差或标准差.随机变量 ξ 的方差与标准差 都反映了随机变量 ξ 取值的稳定与波动,集中与离散的程度. Dξ 越小,稳定性越高,波 ..........
显然 Dξ ≥ 0 ,故 σξ = 动越小. . ... 2 注:⑴随机变量η = aξ + b 的方差 D (η ) = D ( aξ + b) = a Dξ .(a、b 均为常数) ⑵期望与方差的转化: Dξ = Eξ ?( Eξ ) 5. 二项分布:如果在一次试验中某事件发生的概率是 P,那么在 n 次独立重复试验中这
2 2

随 机 变 量 与 统 计

个事件恰好发生 k 次的概率是: P (ξ = k ) = C n p q
k k

n?k

[其中 k = 0,1,? , n, q = 1 ? p ] …

于是得到随机变量 ξ 的概率分布如下: … ξ 0 1 P

8.总体分布的估计:用样本估计总体,是研究统计问题的一个基本思想方法,样本容量越大, 估计越准确.将总体与随机变量沟通后,就可以用概率的知识研究统计问题. ⑴当总体中的个体取不同值很少时,其频率分布表由所取的样本的不同值及相应的频 率来表示,其几何表示就是相应的条形图. ⑵当总体中的个体取不同值较多时,对其频率分布的研究要用到整理样本数据的知识, 列出分组区间和各区间内取值的频数和频率,其几何表示就是相应的频率分布直方图. ⑶累积频率分布是从另一个角度反映了一组数据分布的情况,因此在频率分布表中常 增设一列累积频率,而且常在频率分布直方图下面画出累积频率分布图. ⑷频率分布将随着样本容量的增大而更加接近总体分布,当样本容量无限增大且分组 的组距无限缩小时,则频率分布直方图趋近于总体密度曲线时,相应的累积频率分布图也 会趋近于一条光滑曲线,即累积分布曲线. ⑸生产过程中的质量控制图: 通过生产过程中的质量控制图,了解统计中假设检验的 基本思想,明确正态总体及其概率密度函数的概率,掌握正态曲线的性质及其应用,并了解 “小概率事件”的概念和它在一次试验中不可能发生的思想. 9. 正态分布.(基本不列入 基本不列入考试范围) 基本不列入 (Ⅰ)密度曲线与密度函数: 对于连续型随机变量 ξ , 如图位于 x 轴上方的曲线叫 ξ 的密度

k

n
曲线,以其作为图像的函数 f ( x ) 叫做 ξ 的密度函数,

k C n p k q n?k pn 我们称这样的随机变量 ξ 服从二项分布,记作 ξ ~B(n,p) ,其中 n,p 为参数,并

qn

C n1 p 1q n ?1

k 记C n p kq

n?k

= b ( k ; n, p ) .

注:对二项分布 ξ ~ B ( n, p ) 有 Eξ =

∑k ?
k =0

n

n! p k ?q k !(n ? k )!

n?k

= np , Dξ = np (1 ? p ).

6. 几何分布: 在独立重复试验中一次随机试验中某事件发生的概率是 p ,该事件第一次发生时所做 试验的次数 ξ 是一个取值为正整数的离散型随机变量. “ ξ = k ”表示在第 k 次独立重复 试验时事件第一次发生. 于是得到随机变量 ξ 的概率分布如下: ( q = 1 ? p ) ? k ? 1 2 3 ξ

随 机 变 量 与 统 计

则 ξ 落在任一区间 [ a, b) 内的概率等于它与 x 轴和直线 x = a 与直线 x = b 所围成的曲边梯形的面积(如图阴影部分).由 于“ ξ ∈ ( ?∞, +∞ ) ”是必然事件,故密度曲线与 x 轴所夹部分 面积等于 1. (Ⅱ)正态分布与正态曲线:如果随机变量 ξ 的概率密度为:
? 1 2 f ( x) = e 2σ . ( x ∈ R, ? , σ 为常数,且 σ > 0 ) , 2πσ 称 ξ 服从参数为 ? , σ 的正态分布,用 ξ ~ N ( ? , σ 2 ) 表示. f ( x) 的表达式可简记为 N ( ? , σ 2 ) ,它的密度曲线简称为正态曲线. ( x?? ) 2

P

p

qp

q

2

p

?

q k ?1 p

?

则 称 这 样 的 随 机 变 量 ξ 服 从 几 何 分 布 , 并 记 g (k , p ) = q k ?1 p , 其 中

⑴ 正 态 分 布 的 期 望 与 方 差 : 若 ξ ~ N ( ? ,σ 2) , 则 ξ 的 期 望 与 方 差 分 别 为 :

q = 1 ? p , k = 1, 2, 3,? .

Eξ = ? , Dξ = σ 2 .
⑵正态曲线的性质. ①曲线在 x 轴上方,与 x 轴不相交. ②曲线关于直线 x = ? 对称. ③当 x = ? 时曲线处于最高点,当 x 向左、向右远离时,曲线不断地降低,呈现出“中间 高、两边低”的钟形曲线. ④当 x < ? 时,曲线上升;当 x > ? 时,曲线下降,并且当曲线向左、向右两边无限延 伸时,以 x 轴为渐近线,向 x 轴无限的靠近. ⑤当 ? 一定时,曲线的形状由 σ 确定, σ 越大,曲线越“矮胖”.表示总体的分布越分散; σ 越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中.

1 q 注:如果随机变量 ξ 服从几何分布即 P (ξ = k ) = g (k, p ) , 则 Eξ = , Dξ = 2 . p p
7.常用的抽样方法有:简单随机抽样、系统抽样、分层抽样三种. 类 别 共同点 不同点 联 系 简单随 是 后两种方 法的基 从总体中逐个抽取 机抽样 础 抽样过程中 将 总 体 均 分 成 几 部 系统 在 超始部分 抽样时 每个个体被 分,按事先确定的规 抽样 用简单随机抽样 抽取的概率 则在各部分抽取 相等 各 层抽样时 采用简 分层 将总体分成几层,分 单 随机抽样 或系统 抽样 层进行抽取 抽样

适用范围 总体个数较少 总体个数较多 总体由差异明 显的几部分组 成

1 ? x2 (Ⅲ).⑴标准正态分布:如果随机变量 ξ 的概率函数为 ? ( x ) = e (?∞ < x < +∞) , 2π 则称 ξ 服从标准正态分布. 即 ξ ~ N (0,1) 有 ? ( x) = P (ξ ≤ x ) , ? ( x ) = 1 ? ? ( ? x ) 求出, 而 P(a< ξ ≤b)的计算则是 P ( a < ξ ≤ b) = ? (b) ? ? ( a ) .

2

第7页

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注意:当标准正态分布的 Φ ( x ) 的 x 取 0 时, 有 Φ ( x ) = 0.5 当 Φ ( x ) 的 x 取大于 0 的数时, 有 Φ ( x ) > 0.5 . 比 如 Φ ( 0.5 ? ? ) = 0.0793 < 0.5 则 σ 0.5 ? ? 必然小于 0,如图. σ ⑵正态分布与标准正态分布间的关系: 若 ξ ~ N ( ? , σ 2 ) 则 ξ 的分布函数常用 F ( x) 表示, 且有 P(ξ ≤ x) = F ( x ) = ? ( x ? ? ) . σ 2 注:一般正态分布 ξ ? N ( ? , σ ) ,均可化为标准正态总体 ξ ? N (0,1) 来进行研究. 若 ξ ? N ( ? , σ 2 ) ,只需作变换η = ξ ? ? ,就可使η ? N (0,1) ,∴有公式 F ( x) = Φ ( x ? ? ) . σ σ ∴若 ξ ? N ( ? , σ 2 ) ,则 P ( a < ξ ≤ b) = Φ (

例 21. 对于一组数据 xi (i=1,2,3,…,n),如果将它们改变为 xi +c(i=1,2,3,…,
n) , 其 中 c ≠ 0 , 则 下 面 结 论 中 正 确 的 是 ( (A)平均数与方差均不变 (B)平均数变了,而方差保持不变 (C)平均数不变,而方差变了 (D)平均数与方差均发生了变化 例 22. 已知 ξ 的分布列为(如表所示), 且设 η = 2ξ + 1 ,则 η 的期望值是( ). (A) )

2 3

(B) ?

1 6

(C)1

(D)

29 36

例 23. 设随机变量ξ的概率分布列为
P(ξ=i)= a ( ) , i = 1, 2, 3, 则 a 的值是( )
i

随 机 变 量 与 统 计

2 3

( A)
随 机 变 量 与 统 计

b??

σ

) ? Φ(

a??

σ

)

) 例 24. 已知 ξ ~ B ( n, p ) ,E ξ =8,D ξ =1.6,则 n 与 p 的值分别为( (A)10 和 0.8 (B)20 和 0.4 (C)10 和 0.2 (D)100 和 0.8 “ 例 25. 从含有 6 个个体的总体中抽取一个容量为 2 的样本, 每次抽取一个个体时任一个 体 a 被抽到的概率”与“在整个抽样过程中个体 a 被抽到的概率”为( )
(A)均为

17 38

( B)

27 38

(C )

17 19

( D)

27 19

(Ⅳ) ⑴“3 σ ”原则. 假设检验是就正态总体而言的,进行假设检验可归结为如下三步:①提出统计假设,统 计 假 设 里 的 变 量 服 从 正 态 分 布 N (? ,σ 2) . ② 确 定 一 次 试 验 中 的 取 值 a 是 否 落 入 范 围

1 1 1 1 1 1 (B)均为 (C)第一个为 ,第二个为 (D)第一个为 ,第二个为 3 6 3 6 6 3

( ? ? 3σ , ? + 3σ ) . ③ 做 出 判 断 : 如 果 a ∈ ( ? ? 3σ , ? + 3σ ) , 接 受 统 计 假 设 . 如 果
a ? ( ? ? 3σ , ? + 3σ ) ,由于这是小概率事件,就拒绝统计假设.

例 26. ①某高校为了解学生家庭经济收入情况,从来自城镇的 150 名学生和来自农村的 150 名学生中抽取 100 名学生的样本; ②某车间主任从 100 件产品中抽取 10 件样本进行 产品质量检验.. I 随机抽样法; 分层抽样法. Ⅱ. 上述两问题和两方法配对正确的是 ( ) (A)①配 I,②配Ⅱ (B)①配Ⅱ,②配 (C)①配 I,②配 I (D)①配Ⅱ,②配Ⅱ 例 27. 某校高中生有 900 人,其中高一年级 300 人,高二年级 200 人,高三年级 400 人, 现采取分层抽样法抽取容量为 45 人的样本,那么高一、高二、高三年级抽取的人数分别 为( ) (A)15,5,25 (B)15,15,15 (C)10,5,30 (D)15,10,20 例 28. 一个袋子里装有大小相同的 3 个红球和 2 个黄球,从中同时取出 2 个,则其中含 红球个数的数学期望是_________.(用数字作答) 例 29. 右图是一个容量为 200 的样本的频率分布直方图, 请根据图形中的数据填空: ⑴样本数据落在范围 [5,9 ) 的频率为 ; ; ⑵样本数据落在范围 [9,13) 的频数为

⑵“3 σ ”原则的应用:若随机变量 ξ 服从正态分布 N ( ? , σ 2 ) 则 ξ 落在 ( ? ? 3σ , ? + 3σ ) 如果此事件发生了,就说明此种产品不合格(即 ξ 不服从正态分布).

内的概率为 99.7% 亦即落在 ( ? ? 3σ , ? + 3σ ) 之外的概率为 0.3%,此为小概率事件,

基本不列入考试范围) 10. 线性回归: (基本不列入 基本不列入 回归分析是研究两个或两个以上变量之间相关关系的一种统计方法。 严格说来,相关关系分为两种,对两个自变量来说,如果它们都是随机的,称它们 为相关关系;如果其中一个是可以控制的,非随机的,另一个是随机的,称这种关系为 回归关系。 由一个非随机的变量来估计或预测另一个随机变量的观测值,所建立的数学模型及 进行的统计分析,称为一元回归分析,如果这个数学模型是线性的则称为一元线性回归 分析。 尽管具有相关性的变量间的关系不确定,但可以通过大量试验来找出它们之间的统 计规律性,然后用一个函数关系近似地描述它们,而且这个函数是线性的,则称它为线 性回归函数。实际上在用相关系数判定出变量之间线性相关后,一般能用很多条直线来 近似地表示 x 与 y 这两个变量间的线性关系,因此存在一条最合适的直线,这条直线用 著名的“最小二乘法”可以求解,课本的阅读材料就是“最小二乘法”的运用。 散点图:表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图.

例 30. 抛掷两个骰子,当至少有一个 2 点或 3 点出现时, 就说这次试验成功. (Ⅰ)求一次试验中成功的概率; (Ⅱ)求在 4 次试验中成功次数ξ的概率分布列及ξ的数学期望与方差.

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数学基础知识与典型例题(第十章排列、组合、概率与统计)答案 例 1.A 例 5.C 例 9.510 例 10. 解:⑴如图 1,先对 a1 部分种植,有 3 种不同的种法,再对 a2、a3 种植, 因为 a2、a3 与 a1 不同颜色,a2、a3 也不同。 所以 S(3)=3×2=6(种) 。 如图 2,S(4)=3×2×2×2-S(3)=18(种) 。 ⑵如图 3,圆环分为 n 等份,对 a1 有 3 种不同的种法, 对 a2、a3、…、an 都有两种不同的种法, 但这样的种法只能保证 a1 与 ai(i=2、3、……、n-1)不同颜色, 但不能保证 a1 与 an 不同颜色. 于是一类是 an 与 a1 不同色的种法,这是符合要求的种法,记为 S (n)(n ≥ 3) 种. 另一类是 an 与 a1 同色的种法,这时可以把 an 与 a1 看成一部分, 这样的种法相当于对 n-1 部分符合要求的种法,记为 S (n ? 1) .
共有 3×2
n-1
n

例 2.C 例 6.B

例 3.D 例 7.D

例 4.C 例 8.B

( 例 20. 解: 1)显然 A 胜与 B 胜为对立事件,A 胜分为三个基本事件: ①A1: A、B 均取红球” “ ; ②A2: A、B 均取白球” “ ; ③A3: A、B 均取黄球”. “ x 1 y 1 z 1 ∵ P ( A1 ) = × , P ( A2 ) = × , P ( A3 ) = × 6 2 6 3 6 6
∴ P ( A) = P ( A1 ) + P ( A2 ) + P ( A3 ) =

∴ P( B) = 1 ?

3x + 2 y + z , 又x + y + z = 6, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0 36 3 x + 2 y + z 12 + x ? z 1 于是 P ( A) = = ≤ , 36 36 2 ∴当x = 6, y = z = 0 , 1 即 A 在箱中只放 6 个红球时,获胜概率最大,其值为 . 2

3x + 2 y + z 36

3x + 2 y + z , 36

(2)由(1)知 P ( A) =

例 21.B 例 24.A 例 27.D

例 22.A 例 25.D 例 28. 1.2

例 23.B 例 26.B 例 29. 0.32 , 72

种种法.这样就有 S (n) + S (n ? 1) = 3 × 2
n ?1

n ?1

.

即 S (n) ? 2 = ?[ S (n ? 1) ? 2
n 3

], (n ≥ 3).
n n ?3

则数列{S (n) ? 2n }(n ≥ 3) 是首项为 S (3) ? 2 3 公比为-1 的等比数列. 则 S (n) ? 2 = [ S (3) ? 2 ](?1)
n ?3

由⑴知: S (3) = 6 ,∴ S (n) ? 2 n = (6 ? 8)(?1) n ?3 .∴ S (n) = 2n ? 2 ? (?1) n ?3 . 答:符合要求的不同种法有 2 ? 2 ? (?1) 种(n ≥ 3).

例 30. 本小题主要考查概率及其基础知识和运算能力. 解(Ⅰ)一次实验中,设事件 A 表示“试验成功” , 4 4 4 5 则 P ( A) = × = , P ( A) = 1 ? P ( A) = . 6 6 9 9 5 (Ⅱ)依题意得: ξ ~ B ( 4, ), 其概率分布列为 : 9

例 11.D 例 14.B 例 17.

例 12.C 例 15.D

例 13.C 例 16.B 例 19. ①,③

5 20 5 4 80 ∴ Eξ = 4 × = , Dξ = 4 × × = . 9 9 9 9 81

3 7

例 18.

5 42

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