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2.1.1平面的表示与性质


2.1.1平面及其表示法

一.平面的概念: 数学中的平面概念是现实平面加以 抽象的结果。

二.平面的特征:
平面没有大小、厚薄和宽窄,平面在空间是无 限延伸的。
点评:几何里的平面的特征:

1.无限延展 2.不计大小 3.不计厚薄

(没有边界) (无所谓面积)

(没有质量) 4.平面与平面图形不一样

三.平面的画法:

(1)水平放置的平面:(2)垂直放置的平面:

通常把表示平面的平行四边形的锐角画成450,且横边 是邻边的2倍 画直立平面时,要有一组对边为竖直

(3)在画图时,如果图形的一部分被另一部 分遮住,可以把遮住部分画成虚线,也可以不 画。

四.平面的表示方法:
平面可以用希腊字母表示,也可以用代表表 示平面的平行四边形的四个顶点或相对的两个顶 点字母表示。
D C

?

?
A B

如:平面α,平面β,平面ABCD,平面AC平面BD等

五.用数学符号来表示点、线、面之间的位置关系:
(1)点与直线的位置关系:

点A在直线a上: 记为:A∈a
点B不在直线a上: 记为:B∈a (2)点与平面的位置关系: 点A在平面α上: 记为:A∈α 记为:B∈ α 点B不在平面α上:
α A A

a

B

B

(3)直线与平面的位置关系: 直线a上的所有点都在平面α上,称直线a 在平面α内,或称平面α通过直线a.记为:a ?α 直线a与平面α只有一个公共点A时,称直 线a与平面α相交。 记为:a∩α=A 直线a与平面α没有公共点时,称直线a与 平面α平行。 记为:a∩α=φ 或 a∥α.
a a
α α

a

A

α

(4)平面与平面的位置关系: 当平面α上的所有点都在平面β上时,称平面α与 平面β重合。 当两个不同平面α与平面β有公共点时,它们的公 共点组成集合a,称平面α与平面β相交。 记: α∩ β=a。

当平面α与平面β没有公共点时,称平面α与平面β 平行。记: α∩ β=φ或α ∥ β。
β a
α α α β

β

例1、把下列图形中的点、线、面关系用集合符号表 示出来。
α

a
l P l β β b

六. 3个公理:

B

桌面α
A

文字语言: 公理1.如果一条直线上两点在一个平面 内,那么这条直线上的所有的点都在这 个平面内(即直线在平面内)。 图形语言:
l α B

A

符号语言: 符号表示:

A ? l , B ? l , 且A ? ? , B ? ? ? l ? ?

观察下列问题,你能得到什么结论_?

B

A

C

文字语言: 公理2.过不在同一直线上的三点,有且只有一个 平面.
图形语言:
α A B C

符号语言:

A, B, C三点不共线? 有且只有一个平面 ? 使A ?? , B ?? , C ??

文字语言:
公理3.如果两个不重合的平面有一个公共点,那么

它们有且只有一条过该点的公共直线。
β

图形语言:
α P a

符号语言:

P ??且P ? ? ? ? ? ? ? l且P ? l

课本P43练习

例1:已知△ABC在平面α外, AB∩α=P,AC∩α=R,BC∩α=Q,
求证:P,Q,R三点共线
证:∵AB∩α=P A B C P α Q R

∴P∈AB, ∴ P∈平面α,
又AB ? 平面ABC ∴ P∈平面ABC,有公理3可知点P在 平面ABC与平面α的交线上, 同理可证Q,R也在它们的交线上, 所以P,Q,R三点共线


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