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江苏省洪泽中学2012-2013学年高一10月月考数学试卷



江苏省洪泽中学高一年级第一学期 10 月份月考

数学试卷
一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分. )

2012.10

1. 已知全集 U ? {1,2,3,4,5}, A ? {1,2,3}, B ? {3,4} ,则 A ? CU B ? 2. 函数 y ?
<

br />?1, 2?

.

x ?1 ?

x 的定义域为 ?1, ?? ? x ?1
2

.

2 3.已知集合 M ? y y ? ? x ? 2 x ? 2, x ? R , N ? x y ?

?

?

?

2 x ? 4 ,那么集合 M ? N 为

?

? ?2 , 3 ?

.
2

4.已知函数 f (2 x ? 1) ? 4 x ,则 f(3)= 16

.

? x2 ? 1 5.已知函数 y ? ? ?7 ? 2 x

( x ? 0) ( x ? 0)

,使函数值为 5 的 x 的值是

1 或-2
7 .



6. 设 M={a,b},则满足 M∪N ? {a,b,c}的非空集合 N 的个数为

7、函数 y ? x 2 ? 2 x ? 3 在区间 ?? 1,0? 上的最大值为 m ,最小值为 n , 则m?n ? 9 .
0 或 1 或

8.已知集合 A ? {?1,1} , B ? {x | mx ? 1} ,且 A ? B ? A ,则 m 的值为

-1

.
2

9.若函数 f ( x) ? x ? (2a ? 1) x ? a ? 1 是区间 ? , ? 上的单调函数,则实数 a 的取值范围 2 2 是

?3 7? ? ?

a ? 4或a ? 2

.

10.函数 f ( x) ? x 2 ? 2 x 的单调增区间是
11.若函数 y ?

? 0,1? 或 ? 2, ?? ?




mx ? 1 的定义域为 R,则实数 m 的取值范围是 [0,12) mx ? mx ? 3
2

??( x ? 1) 2 ? 12. 函数 f ( x) ? ? ?(3 ? a) x ? 4a ?
立,则 a 的取值范围是

? x ? 1? 满足对任意 x1 ? x2 都有 ? x ? 1?
.

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?0成 x1 ? x2

?1 ? a ? 3

1 13 . 已 知 f ( x) 是 R 上 的 减 函 数 , 则 满 足 f ( ) ? f (1) 的 x 的 取 值 范 围 为 x __ ? x | x ? 1或x ? 0? ____.

1

14 、 函 数 f ( x) ? x ?

p 1 在 [ , ? ?) 上 为 增 函 数 , 则 p 的 取 值 范 围 为 x 2

p?

1 4



二、解答题: (本大题共 6 小题,共计 90 分.解答应写出必要的文字步骤. ) 15. (本题满分 14 分) 已知集合 A ? x 1 ? x ? 6 , B ? x 2 ? x ? 9 . (1)分别求: A ? B , ? C R B ? ? A ; (2)已知 C ? x a ? x ? a ? 1 ,若 C ? B ,求实数 a 的取值集合. 答案: (1) A ? B ? ? 2, 6 ? , (CR B) ? ? x | x ? 9或x ? 6? ………8分 (2)由 ?

?

?

?

?

?

?

?a ? 2 ,得 2 ? a ? 8 ………14分 ?a ? 1 ? 9

2 16.(14 分)已知函数 f(x)的定义域为(-1,1).(1)求 f ?1 ? x ? 及 f x ? 1 的定义域; 2 (2).若函数 f(x)是(-1,1)上的减函数,且 f ?1 ? t ? ? f t ? 1 ,求 t 的取值范围。

?

?

?

?

解析: (1)由 ?1 ? 1 ? x ? 1 ,得 f ?1 ? x ? 的定义域为 ? 0, 2 ? ;………3分

2 2 由 ?1 ? x ? 1 ? 1,得 f x ? 1 的定义域为 ? 2, 0 ? 0, 2 ………6分

?

?

?

? ?

?

(2)∵函数 f(x)是(-1,1)上的减函数且 f(1 一 t) <f(t2-1)

∴?

?? 1 ? 1 ? t ? 1 ?? 1 ? t ? 1 ? 1 ? 2 ?1 ? t ? t ? 1
2

………10 分

解得:0<t<1………14 分

17. (14 分)某民营企业生产 A、B 两种产品,根据市场调查与预测,A 产品的利润
与投资成正比, 其关系如图甲, 产品的利润与投资的算术平方根成正比, B 其关系如图乙(注: 利润与投资单位:万元).





2

(1)分别将 A、B 两种产品的利润表示为投资 x (万元)的函数关系式; (2)该企业已筹集到 10 万元资金,并全部投入 A、B 两种产品的生产,问:怎样分配这 10 万元投资,才能使企业获得最大利润,其最大利润为多少万元? 解: (1) 设投资为 x 万元,A 产品的利润为 f(x)万元,B 产品的利润为 g(x)万元 由题设 f ( x) ? k1 x, g ( x) ? k 2 x ,

1 1 5 5 ,故 k1= 。又 g (4) ? ,? k 2 ? 。 4 4 2 4 1 5 从而 f ( x) ? x( x ? 0), g ( x) ? x ( x ? 0) .………6分 4 4
由图知 f(1)= (2) 设 A 产品投入 x 万元,则 B 产品投入 10-x 万元,设企业利润为 y 万元

y ? f ( x) ? g (10 ? x) ?
令 t ? 10 ? x 则 y ? 当t ?

1 5 x? 10 ? x (0 ? x ? 10) ………9分 4 4

10 ? t 2 5 1 5 65 ? t ? ? (t ? ) 2 ? (0 ? t ? 10) ………13分 4 4 4 2 16

5 65 时, y max ? , 此时x ? 3.75 。………14分 2 16
65 万元. 16

答: 当 A 产品投入 3.75 万元,则 B 产品投入 6.25 万元,企业最大利润为 (18) (本小题满分 16 分) 设函数

f ( x) ?

2x ? 5 x?2

; (1)求 f (x) 的值域;

(2)证明 f (x) 在 (?2, ??) 内是减函数; (3)若不等式 m ?

2x ? 5 在 [ 4,6] 上恒成立,求实数 m 的取值范围. x?2

18. (1)由 分;

f ( x) ?

2x ? 5 1 ? 2? x?2 x?2

,得 f (x) 的值域为 ? y | y ? 2? ………4

(2)设 x1 , x2 ? ? ?2, ?? ? ,且 x1 ? x2 , 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?

x2 ? x1 ;………10分 ( x1 ? 2)( x2 ? 2)

又∵ ?2 ? x1 ? x2 ∴ x1 ? 2 ? 0, x2 ? 2 ? 0, x2 ? x1 ? 0 ,故 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) (2) m ? ∴ f (x) 在 (?2, ??) 内是减函数;………12分

13 。………16分 6
3

19. (16 分)已知二次函数 f ( x) 的最小值为 1,且 f (0) ? f (2) ? 3 。 (1)求 f ( x) 的解析式; (2)若 f ( x) 在区间 [2a, a ? 1] 上不单调,求实数 a 的取值范围; ... (3)在区间 [?1,1] 上, y ? f ( x) 的图象恒在 y ? 2 x ? 2m ? 1 的图象上方, 试确定实数 m 的 取值范围。 19.解(1)由已知,设 f ( x) ? a( x ? 1) ? 1 ,由 f (0) ? 3 ,得 a ? 2 ,
2

故 f ( x) ? 2 x ? 4 x ? 3 。 ……………3 分
2

(2)要使函数不单调,则 2a ? 1 ? a ? 1,则 0 ? a ?
2

1 。……………8 分 2
2

(3)由已知,即 2 x ? 4 x ? 3 ? 2 x ? 2m ? 1 ,化简得 x ? 3x ? 1 ? m ? 0 …………10 分 设 g ( x) ? x ? 3x ? 1 ? m ,则只要 g ( x) min ? 0 ,
2

而 g ( x) min ? g (1) ? ?1 ? m ,得 m ? ?1 。 …………16 分

2 20(16分)设二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c ,集合 A ? ? x | f ( x) ? x? ? ?1, 2? ,且 f (0) ? 2

(1)求函数 f ( x) 的解析式 ;(2)求当 x ? ? 0,m ? ( m >0)时 f ( x) 的值域.
解: (1)由 f (0) ? 2可知c ? 2, ……………………………1 分

2? 2是方程ax 2 ? (b ? 1) x ? c ? 0的两实根. 又 A ? ?1, ,故1,

1-b ? ?1+2= a ? ?? , …………………3 分 ?2= c ? a ?

解得a ? 1, b ? ?2 …………4 分

? f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 2 ? ( x ? 1)2 ? 1 …………5分
(2)当 m<1 时, f ( x) 在 x ? ?0,a? 上单调递减,此时值域为 ? f ? m ? , f ? 0 ? ? , ? ? 即 ? m ? 2m ? 2, 2 ? ;…………8分 ? ?
2

当 1 ? m ? 2 时,值域为 ?1, 2 ? …………11 分 当 m ? 2 时,值域为 ?1, m ? 2m ? 2 ? …………14 分 ? ?
2

综上可知当 m<1 时, 值域为 ? m ? 2m ? 2, 2 ? ; ? ?
2

当 1 ? m ? 2 时,值域为 ?1, 2 ?

4

当 m ? 2 时,值域为 ?1, m ? 2m ? 2 ? ………16 分 ? ?
2

5



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