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100测评网高三数学复习江苏省2009年无锡市高三年级部分学校期末调研测试(含附加题)



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2009 年无锡市高三年级部分学校调研测试(含附加题)





注意事项:1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位 号填写在答题卡上.用 2B 铅笔将试卷类型填

涂在答题卡相应位置上. 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑, 如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须填写在答题卡各题目指定区 域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔 和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号(或题组号)对应的信息点,再 作答.漏涂、错涂、多涂的,答案无效. 5.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回. 参考公式:如果事件 A, B 互斥,那么 P? A ? B? ? P? A? ? P?B? .

A.必做题部分
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.
? 1 ? 1. 设集合 M ? ? x x ? ? 0? , N ? ?x 2x ? 1 ? 0? ,则 M I N ? 2 ? ?





2. 已知复数 z 满足 z2+1=0,则(z6+i) (z6-i)= ▲ . 3. 在总体中抽取了一个样本,为了便于统计,将样本中的每个数据乘以 100 后进行分析,得出新 样本平均数为 3,则估计总体的平均数为 ▲ . 说明:本题关注一下: xi? ? axi ? b ? xi? ? axi ? b,(S ?)2 ? a 2 S 2 . 4. 幂函数 y ? f ( x) 的图象经过点 (?2, ? 1 ) ,则满足 f ( x) =27 的 x 的值是 8 5. 下列四个命题: ① ?n ? R,n2≥n ; ② ?n ? R,n 2 ? n ; ③ ?n ? R,?m ? R,m2 ? n ;④ ?n ? R,?m ? R,m ? n ? m . 其中真命题的序号是 ▲ . 说明:请注意有关常用逻辑用语中的一些特殊符号.如果题中的集合 R 改成 Z,真命题的序号 是①④,如果 R 改成复数集 C 呢? 6. 如图甲是第七届国际数学教育大会(简称 ICME-7)的会徽图案,会徽的主体图案是由如图乙 的一连串直角三角形演化而成的,其中 OA1 ? A1 A2 ? A2 A3 ? ? A7 A8 ? 1 ,如果把图乙中的直角 三角形继续作下去,记 OA1 , OA2 , = ▲ .
A6





, OAn ,

的长度构成数列 ?an ? ,则此数列的通项公式为 a n
A5 A4 A3 A2 O 图乙 A1

ICME 7 图甲 -

A7 A8

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说明:本题是课本中的习题改编,重在建立观察、归纳意识. 7. 以下伪代码: Read x If x≤ 0 Then f ( x ) ← 4x Else f ( x) ← 2 x End If Print f ( x) 根据以上算法,可求得 f (?3) ? f (2) 的值为 ▲ . 说明:算法在复习中不应搞得太难,建议阅读《数学通报》2008.1 中的一篇关于“四省”07 年的高考中的算法的文章.

8. 在半径为 1 的圆周上按顺序均匀分布着 A1,A2,A3,A4,A5,A6 六个点.则

A1 A2 ? A2 A3 ? A2 A3 ? A3 A4 ? A3 A4 ? A4 A5 ? A4 A5 ? A5 A6 ? A5 A6 ? A6 A1 ? A6 A1 ? A1 A2 =





说明:此学生容易把两向量的夹角弄错.如改成 12 个点,边长 | Ai Ai ?1 | 的求法就不一样了,难 度会加大.

9. 若 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ? 1 (? ? 0, | ? | <π) 对任意实数 t,都有 f t ? π ? f ?t ? π .记 3 3
g ( x) ? A cos(? x ? ? ) ? 1 ,则 g ( π ) ? 3

? ? ?

?

▲ .

说明:注意对称性. 10.已知函数 f(x)=loga| x |在(0,+∞)上单调递增,则 f(-2) ▲ f(a+1) . (填写“<” , “=” , “>”之一) 说明:注意函数 y=f(| x |)是偶函数.比较 f(-2)与 f(a+1)的大小只要比较-2、 a+1 与 y 轴的距离的大小. uur uuu r 11. 过抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F 的直线 l 交抛物线于 A、 B 两点, 交准线于点 C. 若 CB ? 2BF , 则直线 AB 的斜率为 ▲ . 说明:涉及抛物线的焦点弦的时候,常用应用抛物线的定义.注意本题有两解. 12.有一根长为 6cm,底面半径为 0.5cm 的圆柱型铁管,用一段铁丝在铁管上缠绕 4 圈,并使铁丝 的两个端点落在圆柱的同一母线的两端,则铁丝的长度最少为 ▲ cm. 说明:本题是由课本例题改编的.关键是要把空间问题转化为平面问题.
? x ? y ≥ 0, ? ?2 x ? y ≤ 2, 13.若不等式组 ? 表示的平面区域是一个三角形及其内部,则 a 的取值范围是 ▲ . ? y ≥ 0, ? ?x ? y ≤ a

说明:线性规划要注意数形结合,要综合运用多方面的知识.特别要注意区域的边界. 14.已知△ABC 三边 a,b,c 的长都是整数,且 a ≤ b ≤ c ,如果 b=m(m ? N*) ,则这样的三角形 共有 ▲ 个(用 m 表示) .

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说明:本题是推理和证明这一章的习题,考查合情推理能力.讲评时可改为 c=m 再探究.本 题也可以用线性规划知识求解. 填空题答案: 1. x ? 1 ? x ? 1 2 2 10.<

?

?

2.2

3.0.03 4. 1 3

5.④

6. n

7.-8 14.

8.3

9.-1

11. ? 3

12. 36 ? 14π2

13. (0, 1] U [ 4 , ? ?) 3

m(m ? 1) 2

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分) tan A 2c 在△ABC 中,角 A,B,C 所对边分别为 a,b,c,且 1 ? . ? tan B b (Ⅰ)求角 A; (Ⅱ)若 m ? (0, ?1) ,n ? cos B, 2cos2 C ,试求|m ? n|的最小值. 2 解: (Ⅰ) 1 ? 即 ∴

?

?

tan A 2c sin A cos B 2sin C ,?????????????????3 分 ? ?1? ? tan B b sin B cos A sin B sin B cos A ? sin A cos B 2sin C , ? sin B cos A sin B sin( A ? B) 2sin C 1 ,∴ cos A ? . ??????????????????5 分 ? sin B cos A sin B 2 π .????????????????????????7 分 3 C ? 1) ? (cos B,cos C) , 2 2π 1 π ? B) ? 1 ? sin(2B ? ) .????10 分 3 2 6

∵ 0 ? A ? π ,∴ A ?

(Ⅱ)m ? n ? (cos B,2cos2

? |m ? n| 2 ? cos2 B ? cos2 C ? cos2 B ? cos2 (
∵A?

π 2π 2π ,∴ B ? C ? ,∴ B ? (0, ) . 3 3 3

π π 7π 从而 ? ? 2B ? ? .???????????????????????12 分 6 6 6 π π 1 2 ∴当 sin(2B ? ) =1,即 B ? 时,|m ? n| 取得最小值 .????????13 分 6 3 2
所以,|m ? n| min ?
2 .????????????????????????14 分 2

评讲建议: 本题主要考查解三角形和向量的运算等相关知识,要求学生涉及三角形中三角恒等变换时,要 从化角或化边的角度入手,合理运用正弦定理或余弦定理进行化简变形;在第二小题中,要强 调多元问题的消元意识,进而转化为函数的最值问题,注意定义域的确定对结论的影响,并指 明取最值时变量的取值. A1 B
1

16. (本小题满分 14 分) 直棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,底面 ABCD 是直角梯形, ∠ BAD=∠ ADC=90° , AB ? 2 AD ? 2CD ? 2 . (Ⅰ)求证:AC⊥ 平面 BB1C1C;

D
1

C1 A

B C

D

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(Ⅱ)在 A1B1 上是否存一点 P,使得 DP 与平面 BCB1 与 平面 ACB1 都平行?证明你的结论. 证明: (Ⅰ) 直棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,BB1⊥ 平面 ABCD,? BB1⊥ AC. ??????2 分 又 ∠ BAD=∠ ADC=90° , AB ? 2 AD ? 2CD ? 2 , ∴ AC ? 2 ,∠ CAB=45° ,∴ BC ? 2 ,? BC⊥ AC.????????????5 分 又 BB1
BC ? B , BB1 , BC ? 平面 BB1C1C,? AC⊥ 平面 BB1C1C.

??????7 分

(Ⅱ)存在点 P,P 为 A1B1 的中点. ???????????????????????8 分 证明:由 P 为 A1B1 的中点,有 PB1‖ AB,且 PB1= 又∵DC‖ AB,DC=

1 AB.??????????????9 分 2

1 AB,? DC ∥PB1,且 DC= PB1, 2 ∴DC PB1 为平行四边形,从而 CB1∥DP.?????????????????11 分 又 CB1 ? 面 ACB1,DP ? 面 ACB1,? DP‖ 面 ACB1.????????????13 分 同理,DP‖ 面 BCB1.??????????????????????????14 分 评讲建议: 本题主要考查线面平行、垂直的的判定和证明等相关知识,第一小题要引导学生挖掘直角梯形 ABCD 中 BC⊥ AC,第二小题,要求学生熟练掌握一个常用结论:若一直线与两相交平面相交, 则这条直线一定与这两平面的交线平行;同时注意问题的逻辑要求和答题的规范性,这里只需 要指出结论并验证其充分性即可,当然亦可以先探求结论,再证明之,这事实上证明了结论是 充分且必要的. 变题: 求证: (1)A1B⊥B1D; (2)试在棱 AB 上确定一点 E,使 A1E∥平面 ACD1,并说明理由.
17. (本小题满分15分) 口袋中有质地、大小完全相同的5个球,编号分别为1,2,3,4,5,甲、乙两人玩一种游戏: 甲先摸出一个球, 记下编号, 放回后乙再摸一个球, 记下编号, 如果两个编号的和为偶数算甲赢, 否则算乙赢. (Ⅰ)求甲赢且编号的和为6的事件发生的概率; (Ⅱ)这种游戏规则公平吗?试说明理由. 解: (I)设“甲胜且两数字之和为6”为事件A,事件A包含的基本事件为 (1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),共5个.????????2分 又甲、乙二人取出的数字共有5×5 = 25( 个 )等 可 能 的 结 果 , ????????4分 所以 P( A) ?

5 1 ? . ???????????????????????????6分 25 5

1 答:编号的和为6的概率为 .?????????????????????????7分 5 (Ⅱ)这种游戏规则不公平.??????????????????????????9分 设“甲胜”为事件B,“乙胜”为事件C, ?????????????????10分 则甲胜即两数字之和为偶数所包含的基本事件数为13个: (1, 1), (1, 3), (1, 5), (2, 2), (2, 4), (3, 1), (3, 3), (3, 5), (4, 2) , (4, 4), (5, 1) , (5,3), (5,5).
所以甲胜的概率P(B)=

13 13 12 ,从而乙胜的概率P(C)=1- = .????14分 25 25 25

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由于P(B)≠P(C),所以这种游戏规则不公平. ????????????15分 评讲建议: 本题主要考查古典概率的计算及其相关知识,要求学生列举全面,书写规范.尤其注意此类问 题的答题格式:设事件、说明概型、计算各基本事件种数、求值、作答. 引申:连续玩此游戏三次, 若以 D 表示甲至少赢一次的事件, E 表示乙至少赢两次的事件, 试问 D 与 E 是否为互斥事件?为什么?( D 与 E 不是互斥事件.因为事件 D 与 E 可以同时发生,如 甲赢一次,乙赢两次的事件即符合题意;亦可分别求 P ( D)、P ( E),由 P ( D)+ P ( E)>1 可得两者一互斥.) 18. (本小题满分 15 分) y2 已知椭圆 x2 ? 2 ? 1(0 ? b ? 1) 的左焦点为 F,左、右顶点分别为 A、C,上顶点为 B.过 F、B、 b C 作⊙ P,其中圆心 P 的坐标为(m,n) . (Ⅰ)当 m+n>0 时,求椭圆离心率的范围; (Ⅱ)直线 AB 与⊙ P 能否相切?证明你的结论. 解: (Ⅰ)设 F、B、C 的坐标分别为(-c,0) , (0,b) , (1,0) ,则 FC、BC 的中垂线分别为

x?

1? c b 1 1 , y ? ? ( x ? ) .????????????????????????2 分 2 b 2 2

1? c ? x? , ? ? 2 联立方程组,解出 ? ???????????????????????4 分 2 ?y ? b ? c. ? 2b ?

1 ? c b2 ? c (b-c)>0, ? ? 0 ,即 b ? bc ? b2 ? c ? 0 ,即(1+b) 2 2b ∴ b>c. ????????????????????????????????6 分 1 从而 b2 ? c 2 即有 a2 ? 2c2 ,∴ e2 ? .????????????????????7 分 2 m?n ?
2 . ?????????????????????????8 分 2 (Ⅱ)直线 AB 与⊙ P 不能相切.?????????????????????????9 分

又 e ? 0 ,∴ 0 ? e ?

由 k AB ? b , k PB

b2 ? c 2 2b = b ? c . ??????????????????10 分 ? 1? c b (c ? 1) 0? 2 b?

b2 ? c 如果直线 AB 与⊙ P 相切,则 b · =-1. ???????????????12 分 b (c ? 1)

解出 c=0 或 2,与 0<c<1 矛盾,?????????????????????14 分 所以直线 AB 与⊙ P 不能相切. ??????????????????????15 分 评讲建议: 此题主要考查直线与直线、直线与圆以及椭圆的相关知识,要求学生理解三角形外接圆圆心是 三边中垂线的交点,从而大胆求出交点坐标,构造关于椭圆中 a,b,c 的齐次等式得离心率的 范围.第二小题亦可以用平几的知识:圆的切割线定理,假设直线 AB 与⊙ P 相切,则有 AB2= AF×AC,易由椭圆中 a,b,c 的关系推出矛盾. 19. (本小题满分 16 分)

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1 2 ,其中为常数.如果 h( x) ? f ( x) ? g ( x) x -2x, g ( x) ? log a x (a>0,且 a≠1) 2 是增函数,且 h?( x) 存在零点( h?( x) 为 h( x) 的导函数) .
已知函数 f ( x) ? (Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)设 A(x1,y1) 、B(x2,y2) (x1<x2)是函数 y=g(x)的图象上两点,g ?( x0 ) ? 为 g ( x) 的导函数) ,证明: x1 ? x0 ? x2 . 解: (Ⅰ)因为 h( x) ?
y2 ? y1 ( g' ( x) x2 ? x1

1 2 x ? 2x ? loga x ( x ? 0) , 2

1 x2 ln a ? 2x ln a ? 1 . ????????????????3 分 ? x ln a x ln a 因为 h(x)在区间 (0, ? ?) 上是增函数,
所以 h?( x) ? x ? 2 ?

x2 ln a ? 2x ln a ? 1 ≥ 0 在区间 (0, ? ?) 上恒成立. x ln a 若 0<a<1,则 lna<0,于是 x2 ln a ? 2 x ln a ? 1 ≤ 0 恒成立. 又 h?( x) 存在正零点,故△=(-2lna)2-4lna=0,lna=0,或 lna=1 与 lna<0 矛盾.
所以 所以 a>1. 由 x 2 ln a ? 2 x ln a ? 1 ? 0 恒成立,又 h?( x) 存在正零点,故△=(-2lna)2-4lna=0, 所以 lna=1,即 a=e. ??????????????????????????7 分 x2 ? x1 1 1 y ? y1 (Ⅱ)由(Ⅰ) , g ?( x0 ) ? ,于是 ? 2 , x0 ? .??????????9 分 ln x2 ? ln x1 x0 x0 x2 ? x1 以下证明 x1 ?
x2 ? x1 . ln x2 ? ln x1

(※)

(※)等价于 x1 ln x2 ? x1 ln x1 ? x2 ? x1 ? 0 . ?????????????????11 分 令 r(x)=xlnx2-xlnx-x2+x,??????????????????????13 分 r ′(x)=lnx2-lnx,在(0,x2]上,r′(x)>0,所以 r(x)在(0,x2]上为增函数. 当 x1<x2 时,r(x1)< r(x2)=0,即 x1 ln x2 ? x1 ln x1 ? x2 ? x1 ? 0 , 从而 x0 ? x1 得到证明.??????????????????????????15 分 对于 x2 ?
x2 ? x1 同理可证???????????????????????16 分 ln x2 ? ln x1

所以 x1 ? x0 ? x2 . 评讲建议: 此题主要考查函数、导数、对数函数、二次函数等知识.评讲时注意着重导数在研究函数中的 应用.本题的第一小题是常规题比较容易,第二小题是以数学分析中的中值定理为背景,作辅 助函数,利用导数来研究函数的性质,是近几年高考的热点.第二小题还可以这样证明:

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x2 ?1 x x2 ? x1 x1 要证明 x1 ? ,只要证明 >1,令 2 ? t ,作函数 h(x)=t-1-lnt,下略. x x1 ln x2 ? ln x1 ln 2 x1

20. (本小题满分 16 分) 已知数列 {an } 中, a0 ? 2, a1 ? 3, a2 ? 6 ,且对 n ≥ 3 时,有 an ? (n ? 4)an?1 ? 4nan?2 ? (4n ? 8)an?3 . (Ⅰ)设数列 {bn } 满足 bn ? an ? nan?1 , n ? N? ,证明数列 {b n?1 ?2bn } 为等比数列,并求数列 {bn } 的 通项公式; (Ⅱ)记 n ? (n ? 1) ?
? 2 ? 1 ? n! ,求数列 {nan } 的前 n 项和 Sn.

(Ⅰ) 证明:由条件,得 an ? nan?1 ? 4[an?1 ? (n ? 1)an?2 ] ? 4[an?2 ? (n ? 2)an?3 ] , 则 an?1 ? (n ? 1)an ? 4[an ? nan?1 ] ? 4[an?1 ? (n ? 1)an?2 ] . ??????????????2 分 即 bn?1 ? 4bn ? 4bn?1. 又b1 ? 1, b2 ? 0 ,所以 bn ?1 ? 2bn ? 2(bn ? 2bn ?1 ) , b2 ? 2b1 ? ?2 ? 0 . 所以 {b n?1 ?2bn } 是首项为 ? 2,公比为 2 的等比数列. ?????????????4 分
b2 ? 2b1 ? ?2 ,所以 bn?1 ? 2bn ? 2n?1 (b2 ? 2b1 ) ? ?2n .

bn?1 bn 1 ? n ? ? .???????????????????6 分 n ?1 2 2 2 1 1 ?b ? 于是 ? n 为以 首项,- 为公差的等差数列. n ? 2 2 2 ? ? b b 所以 n ? 1 ? 1 (n ? 1), 得bn ? 2n (1 ? n ) .??????????????????8 分 2 2n 2 2
两边同除以 2 n ?1 ,可得 (Ⅱ) an ? 2n ? nan?1 ? n2n?1 ? n(an?1 ? 2n?1 ) ,令 cn ? an ? 2n ,则 cn ? ncn ?1 .
, ? cn ? n(n ? 1) ? 而 c1 ? 1 ? 2 ? 1 ? c1 ? n(n ? 1) ? ? 2 ?1 .

∴ an ? n(n ? 1) ?
nan ? n ? n ? (n ? 1) ?

? 2 ? 1 ? 2n . ???????????????????????12 分 ? 2 ? 1 ? n2n ? (n ? 1)!? n!? n ? 2n , ? (n ? 1)!? n!? (1? 2 ? 2 ? 22 ? ? n ? 2n ) .??????14 分

∴ Sn ? (2!? 1!) ? (3!? 2!) ? 令 Tn= 1? 2 ? 2 ? 22 ? 则 2Tn= 1? 22 ? 2 ? 23 ?

? n ? 2n ,

① ②

? (n ? 1) ? 2n ? n ? 2n?1 .

①-②,得 ? Tn= 2 ? 22 ?

? 2n ? n ? 2n ?1 ,Tn= (n ? 1)2n ?1 ? 2 .

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∴ S n ? (n ? 1)!? (n ? 1)2n?1 ? 1 . ???????????????????????16 分 评讲建议: 此题主要考查数列的概念、等差数列、等比数列、数列的递推公式、数列的通项求法、数列前 n 项和的求法,作新数列法,错项相消法,裂项法等知识与方法,同时考查学生的分析问题与 解决问题的能力,逻辑推理能力及运算能力.讲评时着重在正确审题,怎样将复杂的问题化成 简单的问题,本题主要将一个综合的问题分解成几个常见的简单问题.事实上本题包含了好几 个常见的数列题.本题还有一些另外的解法,如第一问的证明还可以直接代.

B.附加题部分
一、选做题:本大题共 4 小题,请从这 4 题中选做 2 小题,如果多做,则按所做的前两题记分.每 小题 10 分,共 20 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 1. 选修 4-1:几何证明选讲 E A B · O C E A B · O C D D 如图,四边形 ABCD 内接于 O , AB ? AD ,过 A 点的切线交 CB 的延长线于 E 点. 求证: AB 2 ? BE ? CD . 证明:连结 AC.???????????????????1 分 因为 EA 切 O 于 A, 所以∠ EAB=∠ ACB.????3 分 因为 AB ? AD ,所以∠ ACD=∠ ACB,AB=AD. 于是∠ EAB=∠ ACD.?????????????5 分 又四边形 ABCD 内接于 O ,所以∠ ABE=∠ D. 所以 ?ABE ∽?CDA . 于是 AB ? BE ,即 AB ? DA ? BE ?CD .??????9 分 CD DA 所以 AB 2 ? BE ? CD .?????????????10 分 2. 选修 4-2:矩阵与变换 如图所示, 四边形 ABCD 和四边形 AB ?C ?D 分别是矩形和平行四边 形,其中点的坐标分别为 A(-1,2) ,B(3,2) ,C(3,-2) , D(-1,-2) , B? (3,7) , C ? (3,3) .求将四边形 ABCD 变成

y

B'

A O D

C' B

x C

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四边形 AB ?C ?D 的变换矩阵 M.
?1 0 ? 解:该变换为切变变换,设矩阵 M 为 ? ? ,???????3 分 ? k 1? ?1 0 ? ?3 ? ?3? 则? ? ? ? ? ? ? .??????????????????6 分 ? k 1? ? ?2? ?3?

5 ∴ 3k ? 2 ? 3 ,解得 k ? .?????????????????????????9 分 3
?1 0 ? 所以,M 为 ? 5 ? .???????????????????????????10 分 ? 1? ?3 ? ? ? 说明:掌握几种常见的平面变换.
3. 选修 4-4:坐标系与参数方程
1 ? x?t? , ? ? t (t为参数) 相交于 A、B 两点.求线段 过点 P(-3,0