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湖南省常德市石门县第一中学2015-2016学年高二上学期段考(期中)数学(理)试题



2015 年下学期高二年级理数段考试题
时量:120 分钟 一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1、已知 p : x 2 ? 2 x ? 3 ? 0, q : x ? 2 ? 0 ,则 p 是 q 的( ) 分值:150 分

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件 2、命题 p : 若ab ? 0,则

a ? 0 ;命题 q : 3 ? 3 。则( A、 “ p 或 q ”为假
3、已知{ ( A、4 ) B、 1 4 C、-4 D、- 1 4

) D、 p 假 q 真

B、 “ p 且 q ”为真

C、 p 真 q 假

an }是等差数列, a1 =15, S5 =55,则过点P(3, a3 ),Q(4, a1 )的直线斜率为

4、已知抛物线

y 2 ? 2 px( p ? 0) 与双曲线
)

x2 y2 ? ? 1 有相同的焦点F,点A是两曲线的交点,且 a2 b2

AF⊥x轴,则双曲线的离心率为(
A、 5 +1 2

B 、 3 +1 2 2+1 2

C 、 2 +1

D、

5、若 x>1,则

有(

) D、最大值﹣1
( )

A、最小值 1 B、最大值 1 C、最小值﹣1
6、下列说法错误的是

A、命题:“已知f(x)是R上的增函数,若a+b≥0,则f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)”的逆否命题 为真命题 B、“x>1”是“|x|>1”的充分不必要条件 C、若p且q为假命题,则p、q均为假命题 D、命题p:“?x∈R,使得x +x+1<0”,则 ? p :“?x∈R,均有x +x+1≥0”
2 2

7、已知两个等差数列{ an }和{ bn }的前n项和分别为 整数的正整数n的个数是 A、2 B、3 C 、4

An 和 Bn ,且

An 7n ? 45 a ,则使得 n 为 ? bn Bn n?3
( )

D 、5

8、抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点为 F ,点 P ( x, y ) 为该抛物线上的动点,又点 A( ?1,0) ,则 小值是 A、

| PF | 最 | PA |

1 2

B、

2 2

C、

3 2

D、

2 2 3

9、如图,一圆形纸片的圆心为O,F是圆内一定点,M是圆周上一 动点,把纸片折叠使M与F重合,然后抹平纸片,折痕为CD, 设CD与OM交于点P,则点P的轨迹是 A、椭圆 C、抛物线 B、双曲线 D、圆 ( )

10 、已知等比数列 {an } 满足 an ? 0, n ? 1, 2, ? ,且 a5 ? a2n? 5 ? 22n ( n ? 3),则当 n ? 1 时,

log2 a1 ? log2 a 3 ?? ? log 2a 2 n? 1 ?()
A、 n(2n ? 1) B、 (n ? 1)
2

C、 n

2

D、 (n ? 1)

2

11、过抛物线y =2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点

2

A、B(如图所示),交其准线于点C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,
则此抛物线的方程为 ( A、y =9x C、y =3x
2 2 2

)

B、y =6x D、y = 3x
2

2

12、已知曲线C:y=2x ,点A(0,-2)及点B(3,a),从点A观察点B,要使视线不被曲线C挡住, 则实数a的取值范围是( A、(4,+∞) C、(10,+∞) ) B、(-∞,4] D、(-∞,10]

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分)
3 2 13、命题“ ?x ? N,x ? x ”的否定是_____________________________.

14、已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 S4 ? 10, S5 ? 15 ,则 a 4 的最大值为_____.
15、从双曲线

x 2 ? y 2 ? 1 上一点Q引直线x+y=2的垂线,垂足为N,则线段QN的中点P的轨迹方程 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点的直线x-my+m=0与抛物线交于A、B两点,且△OAB(O为
6 4

为____________. 16、过抛物线

坐标原点)的面积为2 2,则 m ? m ? ________.

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

(17)(本小题12分) 命题p:实数x满足

x 2 ? 4ax ? 3a 2 ? 0 ,其中a<0,命题q:实数x满足

x2 ? x ? 6 ? 0



x 2 ? 2 x ? 8 ? 0 ,且 ?p是?q 的必要不充分条件,求a的取值范围.

18、(本小题12分) 已知函数

f ( x) ? mx2 ? mx?1.

(1)若对于 x ? R,f ( x) ? 0 恒成立,求实数 m 的取值范围; (2)若对于 x ?[1,3],f ( x) ? 5 ? m 恒成立,求实数 m 的取值范围.

19(本小题12分) 某运输公司有12名驾驶员和19名工人,有8辆载重量为10t的甲型卡车和7辆载重量为6t的乙型卡车 ,某天需送往A地至少72t的货物,派用的每辆车需载满且只运送一次,派用的每辆甲型卡车需配2 名工人,运送一次可得利润450元;派用的每辆乙型卡车需配1名工人;运送一次可得利润350元, 该公司合理计划当天派用甲乙卡车的车辆数,求公司最大利润。

20(本小题12分) x2 y2 6 已知椭圆C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 ,短轴一个端点到右焦点的距离为 3. a b 3

(1)求椭圆C的方程; (2)设直线l与椭圆C交于A、B两点,坐标原点O到直线l的距离为 3 ,求△AOB面积的最大值. 2

21(本小题12分)

已知 f ( x) ? x 2 ?1, g ( x) ? 10( x ? 1), 各项均为正数的数列 {an } 满足 a1 ? 2 ,

(an?1 ? an ) ? g (an ) ? f (an ) ? 0 , bn ?

9 (n ? 2)( an ? 1) . 10

(Ⅰ)求证:数列 {an ? 1} 是等比数列; (Ⅱ)当 n 取何值时, bn 取最大值,并求出最大值; (Ⅲ)若

t m t m?1 对任意 m ? N * 恒成立,求实数 t 的取值范围. ? bm bm?1

22(本小题10分) 设 {an } 是公比为正数的等比数列, a1

? 2 , a3 ? a2 ? 4 (1)求 {an } 的通项公式;
? bn } 的前 n 项和 Sn

(2)设 {bn } 是首项为1,公差为2的等差数列,求数列 {an

2015 年下学期高二年级理数段考答案
时量:120 分钟 一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 分值:150 分 1、已知 p : x 2 ? 2 x ? 3 ? 0, q : x ? 2 ? 0 ,则 p 是 q 的( A )

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件 2、命题 p : 若ab ? 0,则a ? 0 ;命题 q : 3 ? 3 。则( A、 “ p 或 q ”为假
3、已知{ ( A ) B、 1 4 C、-4 D、- 1 4

D ) D、 p 假 q 真

B、 “ p 且 q ”为真

C、 p 真 q 假

an }是等差数列, a1 =15, S5 =55,则过点P(3, a3 ),Q(4, a1 )的直线斜率为

A、4

4、已知抛物线

y 2 ? 2 px( p ? 0) 与双曲线
)

x2 y2 ? ? 1 有相同的焦点F,点A是两曲线的交点,且 a2 b2

AF⊥x轴,则双曲线的离心率为(
A、 5+1 2

B、 3+1 2 2+1 2

C、 2+1 [答案] [解析] C 由AF⊥x轴知点A坐标为

D、

?p,p? ?2 ?

,代入双曲线方程中得,
2 2

p2 2 4a



p2 b2

p 4c 4c 2 2 2 =1,∵双曲线与抛物线焦点相同,∴c= ,即p=2c,又b =c -a ,∴ 2- 2 2=1, 2 4a c -a
由e= 代入整数得,e -6e +1=0, ∵e>1,∴e =3+2 2,∴e= 2+1.
2

c a

4

2

5、若 x>1,则 A、最小值 1 解:若 x>1,则

有( B、最大值 1 =

) C、最小值﹣1 = + D、最大值﹣1 ≥2 =1,

当且仅当

=

时,取等号.

故 故选 A.

有最小值为 1,

6、下列说法错误的是

(

)

A、命题:“已知f(x)是R上的增函数,若a+b≥0,则f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)”的逆否命题 为真命题 B、“x>1”是“|x|>1”的充分不必要条件 C、若p且q为假命题,则p、q均为假命题 D、命题p:“? x∈R,使得x +x+1<0”,则 ? p :“? x∈R,均有x +x+1≥0”
2 2

解析:A中∵a+b≥0,∴a≥-b. 又函数f(x)是R上的增函数,∴f(a)≥f(-b),① 同理可得,f(b)≥f(-a),② 由①+②,得f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b),即原命题为真命题. 又原命题与其逆否命题是等价命题, ∴逆否命题为真. 若p且q为假命题,则p、q中至少有一个是假命题,所以C错误. 答案:C 7、 已知两个等差数列{ an }和{ bn }的前n项和分别为 数的正整数n的个数是 A、2 B、3 C、4 D、5

An 和 Bn ,且

An 7n ? 45 a ,则使得 n 为整 ? bn Bn n?3
( )

解析:由等差数列的前n项和及等差中项, 1 1 (a1+a2n-1) (2n-1)(a1+a2n-1) 2 an 2 A2n-1 可得 = = = bn 1 1 B2n-1 (b1+b2n-1) (2n-1)(b1+b2n-1) 2 2 = 7(2n-1)+45 14n+38 7n+19 12 an * = = =7+ (n∈N ),故n=1,2,3,5,11时, 为整数. (2n-1)+3 2n+2 n+1 n+1 bn

答案:D
2 8、抛物线 y ? 4 x 的焦点为 F ,点 P ( x, y ) 为该抛物线上的动点,又点 A( ?1,0) ,则

| PF | 最 | PA |

小值是

1 A、 2

2 B、 2

3 C、 2

2 2 D、 3

因为抛物线的焦点 F (1, 0) ,准线方程为 x ? ?1 .过 P 作准线的垂线交准线于 E,则 PF ? PE , 所以

PE PF PE PE ? ,即 sin PAE ? ,所以当 AP 为抛物线的切线时, 最大.不妨设 P PA PA PA PA

在第一象限, 设过 A 的直线斜率为 k , k ? 0 , 则直线 AP 的方程为 y ? k ( x ? 1) , 代入 y 2 ? 4 x , 整 理 得 k 2 x2? ( 2 k 2? 4 ) x ?
2 k ?, 0 由 ? ? 0 解 得 k2 ?1 , 所 以 k ? 1 , 此 时

xP ? ?

PE PF 1 ? (?1) 2 2 2k 2 ? 4 ? ? ? P (1, 2) ,所以点 . 所以 ,即则 的 ? 1 2 2 2 PA 2 8 PA (?1 ? 1) ? 2 2k

最小值是

2 . 选B 2

9、如图,一圆形纸片的圆心为O,F是圆内一定点,M是圆周上一 动点,把纸片折叠使M与F重合,然后抹平纸片,折痕为CD, 设CD与OM交于点P,则点P的轨迹是 A、椭圆 C、抛物线 B、双曲线 D、圆 ( )

解析:由题意知,CD是线段MF的垂直平分线. ∴|MP|=|PF|, ∴|PF|+|PO|=|PM|+|PO|=|MO|(定值), 又显然|MO|>|FO|, ∴点P轨迹是以F、O两点为焦点的椭圆. 答案:A

10 、已知等比数列 {an } 满足 an ? 0, n ? 1, 2, ? ,且 a5 ? a2n? 5 ? 22n ( n ? 3),则当 n ? 1 时,

log2 a1 ? log2 a 3 ?? ? log 2a 2 n? 1 ?
A、 n(2n ? 1) B、 (n ? 1)
2

( C C、 n
2

) D、 (n ? 1)
2

11、过抛物线y =2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点

2

A、B(如图所示),交 其准线于点C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,
则此抛物线的方程为 ( )

A、y =9x C、y =3x
2

2

B、y =6x D、y = 3x
2

2

解析:点F到抛物线准线的距离为p,又由|BC|=2|BF|得点

B到准线的距离为|BF|,则

|BF| 1 = ,∴l与准线夹角为30°, |BC| 2

则直线l的倾斜角为60°.由|AF|=3,如图连结AH⊥HC,

EF⊥AH,则AE=3-p,
3-p 3 则cos60°= ,故p= . 3 2 ∴抛物线方程为y =3x. 答案:C 12、已知曲线C:y=2x ,点A(0,-2)及点B(3,a),从点A观察点B,要使视线不被曲线C挡住, 则实数a的取值范围是( A、(4,+∞) C、(10,+∞) [解析]
2 2 2

) B、(-∞,4] D、(-∞,10]

过点A(0,-2)作曲线C:y=2x 的切线,
2

设方程为y=kx-2,代入y=2x 得, 2x -kx+2=0,令Δ =k -16=0得k=±4, 当k=4时,切线为l, ∵B点在直线x=3上运动,直线y=4x-2与x=3的交点为M(3,10),当点B(3,a)满足a≤10时 ,视线不被曲线C挡住,故选D.
2 2

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13、命题“ ?x ? N, x ? x ”的否定是__ ?x ? N , x ? x ____
3 2 3 2

14、已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 S4 ? 10, S5 ? 15 ,则 a 4 的最大值为_4____.

15、从双曲线x -y =1上一点Q引直线x+y=2的垂线,垂足为N,则线段QN的中点P的轨迹方程为_ ___________. 解析:设P(x,y),Q(x1,y1),则N(2x-x1,2y-y1), ∵N在直线x+y=2上, ∴2x-x1+2y-y1=2① 又∵PQ垂直于直线x+y=2,∴ 即x-y+y1-x1=0.② 3 1 x+ y-1, ?x =2 2 由①②得? 1 3 y = x+ y-1. ? 2 2
1 1

2

2

y-y1 =1, x -x 1

又∵Q在双曲线x -y =1上, ∴
2 x1 y2 - 1 =1.

2

2

3 1 1 3 2 2 ∴( x+ y-1) -( x+ y-1) =1. 2 2 2 2 整理,得2x -2y -2x+2y-1=0即为中点P的轨迹方程. 答案:2x -2y -2x+2y-1=0 16、过抛物线
2 2 2 2

y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点的直线x-my+m=0与抛物线交于A、B两点,且△OAB(O为
6 4

坐标原点)的面积为2 2,则 m ? m ? ________. 解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),联立? 消去x得y -2mpy+2pm=0, ∴y1+y2=2pm,y1y2=2pm, (y1-y2) =(y1+y2) -4y1y2=4p m -8pm. 又焦点? ,0?在x-my+m=0上,∴p=-2m, ?2 ?
2 2 2 2 2

? ?y =2px, ? ?x=my-m,

2

p

∴|y1-y2|=4 m +m , 1 p ∴S△OAB= × |y1-y2|=2 2, 2 2 -m m +m = 2,平方得m +m =2. 答案:2
4 2 6 4

4

2

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
(17)(本小题12分)

命题p:实数x满足

x 2 ? 4ax ? 3a 2 ? 0 ,其中a<0,命题q:实数x满足

x2 ? x ? 6 ? 0



x 2 ? 2 x ? 8 ? 0 ,且 ?p是?q 的必要不充分条件,求a的取值范围.
解:设A={x|x -4ax+3a <0(a<0)}={x|3a<x<a},
2 2

2分

B={x|x -x-6≤0或x +2x-8<0}
={x|x -x-6<0}∪{x|x +2x-8>0} ={x|-2≤x≤3}∪{x|x<-4或x>2}={x|x<-4或x≥-2}. 因为 ?p是?q 的必要不充分条件, 所以 ?q? ? p,且 ? p推不出 4分
2 2

2

2

? q 而

CR B ={x|-4≤x<-2}, CR A ={x|x≤3a,或x≥a}
所以{x|-4≤x<-2}

? {x|x≤3a或x≥a},

8分

? 3a ≥ ?2 ? a ≤ ?4 ? ? a<0 ?a < 0 或?
2 即- ≤a<0或a≤-4. 3 18、(本小题12分) 已知函数f(x)=mx -mx-1. (1)若对于x∈R,f(x)<0恒成立,求实数m的取值范围; (2)若对于x∈[1,3],f(x)<5-m恒成立,求实数m的取值范围.
? ?m<0, 解析 (1)由题意可得m=0或? 2 ? ?Δ =m +4m<0
2

10分 12分

?m=0或-4<m<0

?-4<m≤0. 故m的取值范围为(-4,0]. (2)∵f(x)<-m+5?m(x -x+1)<6,
2

6分

∵x -x+1>0, ∴m < 6 对于x∈[1,3]恒成立, x -x+1
2

2

记g(x)=

6
2

x2-x+1

,x∈[1,3],

记h(x)=x -x+1,h(x)在x∈[1,3]上为增函数. 则g(x)在[1,3]上为减函数, 6 ∴[g(x)]min=g(3)= , 7 6 ∴m < . 7 19(本小题12分) 10分 12分

某运输公司有12名驾驶员和19名工人,有8辆载重量为10t的甲型卡车和7辆载重量为6t的乙型卡车 ,某天需送往A地至少72t的货物,派用的每辆车需载满且只运送一次,派用的每辆甲型卡车需配2 名工人,运送一次可得利润450元;派用的每辆乙型卡车需配1名工人;运送一次可得利润350元, 该公司合理计划当天派用甲乙卡车的车辆数,求公司最大利润。

[解析]

? 2x+y≤19, ? 设该公司派甲型卡车x辆,乙型卡车y辆,由题意得 x+y≤12, ?0≤x≤8,x∈N ? ?0≤y≤7,y∈N

10x+6y≥72, 5分

利润z=450x+350y,可行域如图所示.
?2x+y=19, ? 解? ?x+y=12, ?

得A(7,5).

10分

当直线350y+450x=z过A (7,5)时z取最大值, ∴zmax=450×7+350×5=4900(元). 20(本小题12分) 已知椭圆C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 (1)求椭圆C的方程; (2)设直线l与椭圆C交于A、B两点,坐标原点O到直线l的距离为 3 ,求△AOB面积的最大值. 2 12分

x2 y2 a b

6 ,短轴一个端点到右焦点的距离为 3. 3

c 6 ? ? = , a 3 解:(1)设椭圆的半焦距为c,依题意? ? ? a= 3,
∴b=1,∴所求椭圆方程为 +y =1. 3 (2)设A(x1,y1),B(x2,y2). ①当AB⊥x轴时,|AB|= 3. 6分

x2

2

4分

②当AB与x轴不垂直时, 设直线AB的方程为y=kx+m. 由已知 |m| 1+k
2



3 3 2 2 ,得m = (k +1). 2 4

把y=kx+m代入椭圆方程, 整理得(3k +1)x +6kmx+3m -3=0, -6km 3(m -1) ∴x1+x2= 2 ,x1x2= . 2 3k +1 3k +1 36k m 12(m -1)? 2 2 ∴|AB| =(1+k )? 2 2- 2 (3 k +1 ) 3k +1 ? ? = 12(k +1)(3k +1-m ) 3(k +1)(9k +1) = 2 2 2 2 (3k +1) (3k +1) 12k =3+ 2 9k +6k +1
4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

8分

=3+

12 (k≠0) 1 2 9k + 2+6

k

≤3+

12 =4. 2×3+6

1 3 2 当且仅当9k = 2,即k=± 时等号成立. k 3 当k=0时,|AB|= 3. 综上所述,|AB|max=2. ∴当|AB|最大时,△AOB面积取最大值: 10分

Smax= ×|AB|max×

1 2

3 3 = . 2 2

12分

21(本小题12分)
2 已知 f ( x) ? x ?1, g ( x) ? 10( x ? 1), 各项均为正数的数列 {an } 满足 a1 ? 2 ,

(an?1 ? an ) ? g (an ) ? f (an ) ? 0 , bn ?

9 (n ? 2)( an ? 1) . 10

(Ⅰ)求证:数列 {an ? 1} 是等比数列; (Ⅱ)当 n 取何值时, bn 取最大值,并求出最大值; (Ⅲ)若

t m t m?1 * 对任意 m ? N 恒成立,求实数 t 的取值范围. ? bm bm?1

解: (I)∵ (an?1 ? an ) g (an ) ? f (an ) ? 0 , f (an ) ? an 2 ?1 , g (an ) ? 10(an ? 1) , ∴ (an?1 ? an )10(an ? 1) ? (an 2 ?1) ? 0 . 即 (an ? 1)(10an?1 ? 9an ?1) ? 0 .

又 an ? 1 ? 0, n ? N * ,所以 an ?1 ?

9 1 an ? . 10 10

9 1 a ? ?1 an ?1 ? 1 10 n 10 9 ? ? , ∵ an ? 1 an ? 1 10
∴ {an ? 1} 是以 a1 ? 1 ? 1 为首项,公比为 (II)由(I)可知 an ? 1 ? (

9 的等比数列. 10

3分

9 n ?1 ) ( n ? N* ) . 10 9 9 (n ? 2)(an ? 1) ? (n ? 2)( ) n . ∴ bn ? 10 10 9 (n ? 3)( ) n ?1 bn ?1 9 1 10 ? ? (1 ? ). 9 n 10 bn n ? 2 (n ? 2)( ) 10

当 n=7 时,

b8 ? 1 , b8 ? b7 ; b7

当 n<7 时,

bn ?1 ? 1, bn ?1 ? bn ; bn bn ?1 ? 1 , bn ?1 ? bn . bn

当 n>7 时,

∴ b1 ? b2 ? ? ? b7 ? b8 ? b9 ? b10 ? ?
8 ? 当 n=7 或 n=8 时, bn 取最大值,最大值为 b7 ? b8 ? 9 7 . 10

7分

(III)由

1 10t t m t m?1 m ? ]?0 ,得 t [ ? m ? 2 9(m ? 3) bm bm?1
*

(*)

依题意(*)式对任意 m ? N 恒成立, 当 t=0 时, (*)式显然不成立,因此 t=0 不合题意. ②当 t<0 时,由 8分

1 10t ? ? 0 ,可知 t m ? 0 ( m ? N* ) . m ? 2 9(m ? 3)
9分

m 而当 m 是偶数时 t ? 0 ,因此 t<0 不合题意.

m * ③当 t>0 时,由 t ? 0 ( m ? N ),



1 10t ? <0 m ? 2 9(m ? 3) 9(m ? 3) 10(m ? 2)

∴t ?

9(m ? 3) . ( m ? N* ) 10(m ? 2)

设 h ( m) ?

( m ? N* )

∵ h(m ? 1) ? h(m) ?

9(m ? 4) 9(m ? 3) 9 1 =? ? ? ?0, 10(m ? 3) 10(m ? 2) 10 (m ? 2)(m ? 3)

∴ h(1) ? h(2) ? ? ? h(m ?1) ? h(m) ? ? .

6 . 5 6 所以实数 t 的取值范围是 t ? 5
∴ h( m) 的最大值为 h(1) ?
22(本小题10分) 设 {an } 是公比为正数的等比数列, a1 (1)求 {an } 的通项公式; (2)设 {bn } 是首项为1,公差为2的等差数列,求数列 {an 解析 (1)设q为等比数列{an}的公比,则由

12分

? 2 , a3 ? a2 ? 4

? bn } 的前 n 项和 Sn

a1 ? 2, a3 ? a2 ? 4 得 2q 2 ? 2q ? 4 ,即 q 2 ? 2q ? 2 ? 0 q2

-q-2=0,解得q=2或q=-1(舍去),因此q=2. 所以{an}的通项为 an (2) S n

? 2 n (n ? N * )

5分 10分

?

2 ? (1 ? 2 n ) n(n ? 1) ? n ?1 ? ? 2 ? 2n ?1 ? n 2 ? 2 1? 2 2

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