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【步步高】(江苏专用)2017版高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.6 简单的三角恒等变换 理



【步步高】 (江苏专用)2017 版高考数学一轮复习 第四章 三角函数、 解三角形 4.6 简单的三角恒等变换 理

1.公式的常见变形 (1)1+cos α =2cos 1-cos α =2sin
2 2

α ; 2

α ; 2

α α 2 (2)1+sin α =(sin +cos ) ; 2 2 α α 2 1-sin α =(sin -cos ) . 2 2 (3)tan α sin α 1-cos α = = . 2 1+cos α sin α

2.辅助角公式

asin x+bcos x= a2+b2sin(x+φ ),
其中 sin φ = 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“?”) (1)y=3sin x+4cos x 的最大值是 7.( ? ) (2)设 α ∈(π ,2π ),则 1-cos?π +α ? α =sin .( ? ) 2 2

b a +b
2 2

,cos φ =

a a +b2
2

.

(3)在非直角三角形中有:tan A+tan B+tan C=tan Atan Btan C.( √ ) 5π 1 θ 15 (4)设 <θ <3π ,且|cos θ |= ,那么 sin 的值为 .( ? 2 5 2 5
2 2

)

(5)公式 asin x+bcos x= a +b sin(x+φ )中 φ 的取值与 a,b 的值无关.( ? )

1

1 α 1.已知 cos α = ,α ∈(π ,2π ),则 cos =________. 3 2 答案 - 6 3

α π 解析 ∵ ∈( ,π ), 2 2 α ∴cos =- 2
2

1+cos α =- 2

2 6 =- . 3 3

2.

的值为________. cos 10°- 3sin 10°

2sin 35°-1

1 答案 - 2 2sin 35°-1 解析 原式= 3 ?1 ? 2? cos 10°- sin 10°? 2 2 ? ? = -cos 70° 1 =- . 2sin 20° 2
2

3. sin 15°- 3cos 15°=________. 答案 - 2 解析 sin 15°- 3cos 15°=2sin(15°-60°) =-2sin 45°=- 2.

?π ? 4.若 f(x)=2tan x- ,则 f? ?的值为______. x x ?12? sin cos 2 2
2 答案 8 1-2sin 2 解析 ∵f(x)=2tan x+ 1 sin x 2 2cos x =2tan x+ sin x = 2 4 = , sin xcos x sin 2x 4 sin π 6 =8.
2

2sin

2

x

-1

x

?π ? ∴f? ?= ?12?

5.若锐角 α 、β 满足(1+ 3tan α )(1+ 3tan β )=4,则 α +β =________.

2

答案

π 3

解析 由(1+ 3tan α )(1+ 3tan β )=4, tan α +tan β 可得 = 3,即 tan(α +β )= 3. 1-tan α tan β π 又 α +β ∈(0,π ),∴α +β = 3

. 题型一 三角函数式的化简与求值 1 4 2 2cos x-2cos x+ 2 例 1 (1)化简: =________. π ? ? ? 2?π 2tan? -x?sin ? +x? ?4 ? ?4 ? π? ? sin?α + ? 4? π ? ? ? 且 2sin2α -sin α ?cos α -3cos2α =0,则 (2)已知 α ∈?0, ?, = 2? sin 2α +cos 2α +1 ? ________. 1 答案 (1) cos 2x 2 (2) 26 8

1 4 2 ?4cos x-4cos x+1? 2 解析 (1)原式= ?π ? sin? -x? ?4 ? ? 2?π 2? ?cos ? -x? π ?4 ? ? ? cos? -x? ?4 ? = ?2cos x-1? ?π ? ?π ? 4sin? -x?cos? -x? ?4 ? ?4 ? cos 2x ?π ? 2sin? -2x? ?2 ?
2 2 2 2



cos 2x 1 = = cos 2x. 2cos 2x 2

? π? 2 2 (2)∵α ∈?0, ?,且 2sin α -sin α ?cos α -3cos α =0,则(2sin α -3cos α )?(sin 2? ?
α +cos α )=0,∴2sin α =3cos α , 又 sin α +cos α =1,
2 2

3

∴cos α =

2

3 ,sin α = , 13 13

π? ? sin?α + ? 4? ? ∴ sin 2α +cos 2α +1 2 ?sin α +cos α ? 2 26 = = . 2 2 2 ?sin α +cos α ? +?cos α -sin α ? 8 思维升华 (1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则,一看角,二看名,三看式子结构与特 征.(2)三角函数式化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等),寻找 式子和三角函数公式之间的共同点. (1)cos π 2π ? 23π ?=________. ?cos ?cos?- 9 ? 9 9 ? ?

1+cos 2α 1 (2)若 = ,则 tan 2α =________. sin 2α 2 1 答案 (1)- 8 4 (2)- 3 π 2 4 ?cos π ?cos(-3π + π ) 9 9 9

解析 (1)原式=cos -cos =

π 2 4 π ?cos π ?cos π ?sin 9 9 9 9 π sin 9

1 2 2 4 - sin π ?cos π ?cos π 2 9 9 9 = π sin 9 1 8 - sin π 8 9 = π sin 9 1 =- . 8 1+cos 2α 2cos α cos α 1 (2) = = = , sin 2α 2sin α cos α sin α 2 ∴tan α =2,∴tan 2α = 2tan α 4 4 = =- . 2 1-tan α 1-4 3
2

题型二 三角函数的求角问题 例 2 (1)已知锐角 α ,β 满足 sin α = 5 3 10 ,cos β = ,则 α +β =________. 5 10
4

? π π? 2 (2)已知方程 x +3ax+3a+1=0(a>1)的两根分别为 tan α 、 tan β , 且α 、 β ∈?- , ?, ? 2 2?
则 α +β =________. π 答案 (1) 4 3π (2)- 4 5 3 10 ,cos β = 且 α ,β 为锐角, 5 10

解析 (1)由 sin α =

2 5 10 可知 cos α = ,sin β = , 5 10 故 cos(α +β )=cos α cos β -sin α sin β = 2 5 3 10 5 10 2 ? - ? = , 5 10 5 10 2

π 又 0<α +β <π ,故 α +β = . 4
?tan α +tan β =-3a, ? (2)依题意有? ? ?tan α ?tan β =3a+1,

tan α +tan β -3a ∴tan(α +β )= = =1. 1-tan α ?tan β 1-?3a+1?
? ?tan α +tan β <0, 又? ?tan α ?tan β >0, ?

∴tan α <0 且 tan β <0.

π π ∴- <α <0 且- <β <0, 2 2 即-π <α +β <0,结合 tan(α +β )=1, 3π 得 α +β =- . 4 思维升华 通过求角的某种三角函数值来求角,在选取函数时,有以下原则: (1)已知正切函数值,则选正切函数.

? π? (2)已知正弦、余弦函数值,则选正弦或余弦函数.若角的范围是?0, ?,则选正弦、余弦 2? ? ? π π? 皆可;若角的范围是(0,π ),则选余弦较好;若角的范围为?- , ?,则选正弦较好. ? 2 2?
1 1 (1)若 α , β ∈(0, π ), 且 tan(α -β )= , tan β =- , 则 2α -β =________. 2 7 (2)在△ABC 中,tan A+tan B+ 3= 3tan A?tan B,则 C=________. 3π 答案 (1)- 4 π (2) 3

5

tan?α -β ?+tan β 解析 (1)∵tan α =tan[(α -β )+β ]= 1-tan?α -β ?tan β 1 1 - 2 7 1 π = = >0,又 α ∈(0,π ).∴0<α < , 1 1 3 2 1+ ? 2 7 1 2? 3 2tan α 3 又∵tan 2α = = = >0, 2 1-tan α 1 ? ?2 4 1-? ? ?3? π ∴0<2α < , 2 3 1 + 4 7 tan 2α -tan β ∴tan(2α -β )= = =1. 1+tan 2α tan β 3 1 1- ? 4 7 1 π ∵tan β =- <0,∴ <β <π ,-π <2α -β <0, 7 2 3π ∴2α -β =- . 4 (2)由已知可得 tan A+tan B= 3(tan A?tan B-1), tan A+tan B ∴tan(A+B)= =- 3, 1-tan Atan B 2 π 又 0<A+B<π ,∴A+B= π ,∴C= . 3 3 题型三 三角恒等变换的应用

? π π? 例 3 已知函数 f(x)=sin(x+θ )+acos(x+2θ ),其中 a∈R,θ ∈?- , ?. ? 2 2?
π (1)当 a= 2,θ = 时,求 f(x)在区间[0,π ]上的最大值与最小值; 4

?π ? (2)若 f? ?=0,f(π )=1,求 a,θ 的值. ?2? ? π? ? π? 解 (1)f(x)=sin?x+ ?+ 2cos?x+ ? 4 2? ? ? ?
= = 2 (sin x+cos x)- 2sin x 2 2 2 ?π ? cos x- sin x=sin? -x?, 2 2 ?4 ?

π ? 3π π ? 因为 x∈[0,π ],从而 -x∈?- , ?, 4? 4 ? 4
6

故 f(x)在[0,π ]上的最大值为 π? ? ?f? ? 2 ?=0, (2)由? ? ? ? ?f?π ?=1,

2 ,最小值为-1. 2

?cos θ ?1-2asin θ ?=0, ? 得? 2 ? ?2asin θ -sin θ -a=1,

a=-1, ? ? π π? ? 由 θ ∈?- , ?知 cos θ ≠0,解得? π ? 2 2? θ =- . ? 6 ?
思维升华 三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合,通过变换 把函数化为 y=Asin(ω x+φ )+k 的形式再研究性质,解题时注意观察角、函数名、结构等 特征. (1)(2014?课标全国Ⅱ)函数 f(x)= sin(x+ φ )- 2sin φ cos x 的最大值为 ________. π 2 (2)函数 f(x)=sin(2x- )-2 2sin x 的最小正周期是________. 4 答案 (1)1 (2)π 解析 (1)因为 f(x)=sin(x+φ )-2sin φ cos x =sin xcos φ -cos xsin φ =sin(x-φ ), -1≤sin(x-φ )≤1,所以 f(x)的最大值为 1. (2)∵f(x)= = 2 2 sin 2x- cos 2x- 2(1-cos 2x) 2 2

2 2 π sin 2x+ cos 2x- 2=sin(2x+ )- 2, 2 2 4

2π ∴T= =π . 2

8.化归思想和整体代换思想在三角函数中的应用

典例 (14 分)(2015?重庆)已知函数 f(x)=sin? (1)求 f(x)的最小正周期和最大值; (2)讨论 f(x)在?

?π -x?sin x- 3cos2x. ? ?2 ?

?π ,2π ?上的单调性. 3 ? ?6 ?
2 2

思维点拨 (1)讨论形如 y=asin ω x+bcos ω x 型函数的性质, 一律化成 y= a +b sin(ω x +φ )型的函数.
7

(2)研究 y=Asin(ω x+φ )型函数的最值、单调性,可将 ω x+φ 视为一个整体,换元后结 合 y=sin x 的图象解决. 规范解答

?π ? 2 解 (1)f(x)=sin? -x?sin x- 3cos x ?2 ?
=cos xsin x- π? 3 1 3 3 3 ? (1+cos 2x)= sin 2x- cos 2x- =sin?2x- ?- ,[5 分] 3? 2 2 2 2 2 ?

2- 3 因此 f(x)的最小正周期为 π ,最大值为 .[7 分] 2 π ?π 2π ? (2)当 x∈? , ?时,0≤2x- ≤π ,[8 分] 3 ? 3 ?6 π π π 5π 从而当 0≤2x- ≤ ,即 ≤x≤ 时,f(x)单调递增,[10 分] 3 2 6 12 π π 5π 2π 当 ≤2x- ≤π ,即 ≤x≤ 时,f(x)单调递减.[12 分] 2 3 12 3

?π 5π ? ?5π ,2π ?上单调递减.[14 分] 综上可知,f(x)在? , ?上单调递增;在? 3 ? ? 6 12 ? ? 12 ?
温馨提醒 (1)讨论三角函数的性质,要先利用三角变换化成 y=Asin(ω x+φ ),φ 的确定 一定要准确. (2)将 ω x+φ 视为一个整体, 设 ω x+φ =t, 可以借助 y=sin t 的图象讨论函数的单调性、 最值等.

[方法与技巧] 1.三角函数的求值与化简要注意观察角、函数名称、式子结构之间的联系,然后进行变换. 2.利用三角函数值求角要考虑角的范围. 3. 与三角函数的图象与性质相结合的综合问题. 借助三角恒等变换将已知条件中的函数解析 式整理为 f(x)=Asin(ω x+φ )的形式,然后借助三角函数图象解决. [失误与防范] 1.利用辅助角公式,asin x+bcos x 转化时一定要严格对照和差公式,防止弄错辅助角. 2.计算形如 y=sin(ω x+φ ), x∈[a,b]形式的函数最值时,不要将 ω x+φ 的范围和 x 的范围混淆.

8

A 组 专项基础训练 (时间:40 分钟)

?π ? 1 ?2π +2α ?=________. 1.若 sin? -α ?= ,则 cos? ? ?6 ? 3 ? 3 ?
7 答案 - 9

?π ? 1 解析 ∵sin? -α ?= , 6 ? ? 3 ?π ?π ∴sin? -? +α ?2 ?3
∴cos?

??=1,∴cos?π +α ?=1, ?? 3 ?3 ? 3 ?? ? ?

?2π +2α ?=2cos2?π +α ?-1 ? ?3 ? ? 3 ? ? ?

1 7 =2? -1=- . 9 9 π? 2 2? 2.已知 sin 2α = ,则 cos ?α + ?=________. 4? 3 ? 答案 1 6

π ?? ? ? 1+cos?2?α + ?? 4 ?? π ? ? ? 2? 解析 因为 cos ?α + ?= 4? 2 ? π? ? 1+cos?2α + ? 2 ? 1-sin 2α ? = = , 2 2 2 1- 3 1 π 1 - sin 2 α ? 2? 所以 cos ?α + ?= = = . 4? 2 2 6 ? π? 5π 3 3 ? ? 3.若 cos?α + ?-sin α = ,则 sin?α + 6? 6 5 ? ? 答案 3 5

?=________. ? ?

π? 3 3 ? 解析 ∵cos?α + ?-sin α = , 6? 5 ? ∴ 3 3 3 3 cos α - sin α = , 2 2 5

9

1 3 3 ∴ cos α - sin α = , 2 2 5 5π ? 3 1 3 ? ∴sin?α + ?=- sin α + cos α = . 6 ? 2 2 5 ? 4.若 sin 2α = ________. 答案 7π 4 3π ? 5 10 ?π ? ? ,sin(β -α )= ,且 α ∈? ,π ?,β ∈?π , ?,则 α +β = 4 2 ? 5 10 ? ? ?

?π ? ?π ? 解析 ∵α ∈? ,π ?,∴2α ∈? ,2π ?. ?4 ? ?2 ?
∵sin 2α = ∴α ∈? 5 ?π ? ,∴2α ∈? ,π ?, 5 ?2 ?

?π ,π ?,cos 2α =-2 5. ? 5 ?4 2?

3π ? ? ?π 5π ? ∵β ∈?π , ?,∴β -α ∈? , ?, 2 4 ? ? ? ?2 3 10 ∴cos(β -α )=- , 10 ∴cos(α +β )=cos[2α +(β -α )] =cos 2α cos(β -α )-sin 2α sin(β -α ) 5 10 2 ? 2 5? ? 3 10? =?- ???- ?- ? 10 = 2 . ? 5 ? ? 10 ? 5 又∵α +β ∈?

?5π ,2π ?, ? ? 4 ?

7π ∴α +β = . 4 π? ? ?π ? 5. 函数 f(x)=sin(2x+θ )+ 3cos(2x+θ )?|θ |< ?的图象关于点? ,0?对称, 则 f(x) 2 ? ? ?6 ? 的单调递增区间为__________________. π ? 7π ? 答案 ?- +kπ ,- +kπ ?,k∈Z 12 12 ? ? 解析 ∵f(x)=sin(2x+θ )+ 3cos(2x+θ ) π? ? =2sin?2x+θ + ?, 3? ? π π 由题意知 2? +θ + =kπ (k∈Z), 6 3

10

2 ∴θ =kπ - π (k∈Z). 3 π π ∵|θ |< ,∴θ = . 2 3 2 ? ? ∴f(x)=2sin?2x+ π ?. 3 ? ? π 2 π 由 2kπ - ≤2x+ π ≤2kπ + (k∈Z), 2 3 2 7 π 得 kπ - π ≤x≤kπ - (k∈Z). 12 12 π 2 6.已知 tan( +θ )=3,则 sin 2θ -2cos θ 的值为________. 4 4 答案 - 5 π 解析 ∵tan( +θ )=3, 4 ∴ 1+tan θ 1 =3,解得 tan θ = . 1-tan θ 2
2

∵sin 2θ -2cos θ =sin 2θ -cos 2θ -1 = 2sin θ cos θ cos θ -sin θ - 2 -1 2 2 2 sin θ +cos θ sin θ +cos θ
2 2 2

2tan θ 1-tan θ = - -1 2 2 1+tan θ 1+tan θ 4 3 4 = - -1=- . 5 5 5 7.若 tan α + 答案 - 2 10 1 10 π π π = ,α ∈( , ),则 sin(2α + )的值为________. tan α 3 4 2 4

1 10 sin α cos α 10 解析 由 tan α + = 得 + = , tan α 3 cos α sin α 3 ∴ 1 10 3 = ,∴sin 2α = . sin α cos α 3 5

π π π ∵α ∈( , ),∴2α ∈( ,π ), 4 2 2 4 ∴cos 2α =- . 5 π π π ∴sin(2α + )=sin 2α cos +cos 2α sin 4 4 4

11



2 3 4 2 ?( - )=- . 2 5 5 10

1 1 8. 若α 、 β 是锐角, 且 sin α -sin β =- , cos α -cos β = , 则 tan(α -β )=________. 2 2 答案 - 7 3

1 1 解析 ∵sin α -sin β =- ,cos α -cos β = , 2 2 1 两式平方相加得:2-2cos α cos β -2sin α sin β = , 2 1 3 即 2-2cos(α -β )= ,∴cos(α -β )= . 2 4 1 ∵α 、β 是锐角,且 sin α -sin β =- <0, 2 π π ∴0<α <β < ,∴- <α -β <0. 2 2 ∴sin(α -β )=- 1-cos ?α -β ?=- sin?α -β ? 7 ∴tan(α -β )= =- . cos?α -β ? 3 9.已知函数 f(x)=2cos x(sin x+cos x). (1)求 f?
2

7 . 4

?5π ?的值; ? ? 4 ? ?5π ?=2cos 5π ?sin 5π +cos 5π ? ? ? 4 4 ? 4 ? ? 4 ? ?
π π? π? ?-sin 4 -cos 4 ?=2. 4? ?
2

(2)求函数 f(x)的最小正周期及单调递增区间. 解 (1)f? =-2cos

(2)因为 f(x)=2sin xcos x+2cos x =sin 2x+cos 2x+1 π? ? = 2sin?2x+ ?+1, 4? ? 2π 所以 T= =π ,故函数 f(x)的最小正周期为 π . 2 π π π 由 2kπ - ≤2x+ ≤2kπ + ,k∈Z, 2 4 2 3π π 得 kπ - ≤x≤kπ + ,k∈Z. 8 8

12

3π π? ? 所以 f(x)的单调递增区间为?kπ - ,kπ + ?,k∈Z. 8 8? ? π? π? ? ? 2 ω x 10.(2015?枣庄质检)已知函数 f(x)=sin?ω x+ ?+sin?ω x- ?-2cos ,x∈R(其 6 6 2 ? ? ? ? 中 ω >0). (1)求函数 f(x)的值域; π (2)若函数 f(x)的图象与直线 y=-1 的两个相邻交点间的距离为 , 求函数 f(x)的单调递增 2 区间. 解 (1)f(x)= =2? 3 1 3 1 sin ω x+ cos ω x+ sin ω x- cos ω x-(cos ω x+1) 2 2 2 2

1 ? 3 ? sin ω x- cos ω x?-1 2 ?2 ?

π? ? =2sin?ω x- ?-1. 6? ? π? ? 由-1≤sin?ω x- ?≤1, 6? ? π? ? 得-3≤2sin?ω x- ?-1≤1, 6? ? 所以函数 f(x)的值域为[-3,1]. (2)由题设条件及三角函数的图象和性质可知,

f(x)的周期为 π ,所以

2π =π ,即 ω =2. ω

π? ? 所以 f(x)=2sin?2x- ?-1, 6? ? π π π 再由 2kπ - ≤2x- ≤2kπ + (k∈Z), 2 6 2 π π 解得 kπ - ≤x≤kπ + (k∈Z). 6 3 所以函数 f(x)的单调递增区间为

?kπ -π ,kπ +π ?(k∈Z). ? 6 3? ? ?
B 组 专项能力提升 (时间:20 分钟) π π 1+sin β 11.设 α ∈(0, ),β ∈(0, ),且 tan α = ,则 2α -β =________. 2 2 cos β 答案 π 2
13

1+sin β sin α 1+sin β 解析 由 tan α = 得 = , cos β cos α cos β 即 sin α cos β =cos α +cos α sin β , π ∴sin(α -β )=cos α =sin( -α ). 2 π π ∵α ∈(0, ),β ∈(0, ), 2 2 π π π π ∴α -β ∈(- , ), -α ∈(0, ), 2 2 2 2 π π 由 sin(α -β )=sin( -α ),得 α -β = -α , 2 2 π ∴2α -β = . 2 12.定义运算? β =________. 答案 π 3 1 ?sin α ?a b? ?=ad-bc,若 cos α =7,? ?c d? ?cos α sin β ? 3 3 π ?= 14 ,0<β <α < 2 ,则 cos β ?

3 3 解析 依题意有 sin α cos β -cos α sin β =sin(α -β )= , 14 π π 又 0<β <α < ,∴0<α -β < , 2 2 13 2 故 cos(α -β )= 1-sin ?α -β ?= , 14 1 4 3 而 cos α = ,∴sin α = , 7 7 于是 sin β =sin[α -(α -β )] =sin α cos(α -β )-cos α sin(α -β ) = 4 3 13 1 3 3 3 ? - ? = , 7 14 7 14 2

π 故β = . 3 13.若 f(x)=3sin x-4cos x 的一条对称轴方程是 x=a,则 a 的取值范围可以是下列中的 ____________(填序号).

? π? ?π π ? ?π 3π ? ?3π ? ①?0, ?;②? , ?;③? , ?;④? ,π ? 4? 4 ? ? ?4 2? ?2 ? 4 ?
答案 ④

14

4 π? ? 解析 因为 f(x)=3sin x-4cos x=5sin(x-φ )?其中tan φ = 且0<φ < ?,则 sin(a 3 2? ? -φ )=±1, π π 4 π 所以 a-φ =kπ + ,k∈Z,即 a=kπ + +φ ,k∈Z,而 tan φ = 且 0<φ < ,所以 2 2 3 2 π π 3π ?3π ? <φ < ,所以 kπ + <a<kπ +π ,k∈Z,取 k=0,此时 a∈? ,π ?. 4 2 4 ? 4 ? 14 . 设

? π? x∈ ?0, ? , 则 函 数 2? ?

y =

2sin x+1 sin 2x

2











___________________________________________________________. 答案 3
2

2sin x+1 2-cos 2x 解析 方法一 因为 y= = , sin 2x sin 2x 2-cos 2x ? π? 所以令 k= .又 x∈?0, ?, 2? sin 2x ? 所以 k 就是单位圆 x +y =1 的左半圆上的动点
2 2

P(-sin 2x,cos 2x)与定点 Q(0,2)所成直线的斜率.
又 kmin=tan 60°= 3, 2sin x+1 所以函数 y= 的最小值为 3. sin 2x 2sin x+1 3sin x+cos x 方法二 y= = sin 2x 2sin xcos x = 3tan x+1 3 1 = tan x+ . 2tan x 2 2tan x
2 2 2 2 2

π ∵x∈(0, ),∴tan x>0. 2 3 1 ∴ tan x+ ≥2 2 2tan x (当 tan x= 3 1 tan x? = 3. 2 2tan x

3 π ,即 x= 时取等号) 3 6

即函数的最小值为 3. π 2 15.已知函数 f(x)=2cos ω x-1+2 3cos ω xsin ω x(0<ω <1),直线 x= 是 f(x)图象 3 的一条对称轴. (1)试求 ω 的值; (2)已知函数 y=g(x)的图象是由 y=f(x)图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,然后再向

15

π? 6 2π ? ? π? 左平移 个单位长度得到的,若 g?2α + ?= ,α ∈?0, ?,求 sin α 的值. 3? 5 2? 3 ? ? 解 f(x)=2cos ω x-1+2 3cos ω xsin ω x =cos 2ω x+ 3sin 2ω x π? ? =2sin?2ω x+ ?. 6? ? π? π ? (1)由于直线 x= 是函数 f(x)=2sin?2ω x+ ?图象的一条对称轴, 6? 3 ? ∴sin? ∴
2

?2π ω +π ?=±1. ? 6? ? 3

2π π π ω + =kπ + (k∈Z), 3 6 2

3 1 ∴ω = k+ (k∈Z). 2 2 1 1 又 0<ω <1,∴- <k< . 3 3 1 又∵k∈Z,从而 k=0,∴ω = . 2

? π? (2)由(1)知 f(x)=2sin?x+ ?, 6? ?
由题意可得

?1? 2π ? π ? g(x)=2sin? ?x+ 3 ?+ ?, ? 6? ?2?
1 即 g(x)=2cos x. 2 π? π? 6 ? ? ∵g?2α + ?=2cos?α + ?= , 3? 6? 5 ? ? π? 3 ? ∴cos?α + ?= . 6? 5 ?

? π? 又 α ∈?0, ?, 2? ?
π π 2π ∴ <α + < , 6 6 3 π? 4 ? ∴sin?α + ?= . 6? 5 ? π? π? ?? ∴sin α =sin??α + ?- ? 6? 6? ?? π? π? π π ? ? =sin?α + ?cos -cos?α + ?sin 6? 6? 6 6 ? ?
16

4 3 3 1 4 3-3 = ? - ? = 5 2 5 2 10

17



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