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崇明县2016年高三数学文理科合卷一模试卷(含答案)


崇明县 2015 学年第一次高考模拟考试
数学试卷(文理科合卷)
满分 150 分,考试时间 120 分钟 一、填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题编号的空格内直接填写 结果,每个空格填对 4 分,否则一律得零分. 1. 函数 f ( x) ?

sin x   2 的最小正周期是_________. ?1  cosx 

? x?2 ? ? 0 ? ,则 A ? B ? _________. 2.若集合 A ? x x ? 1 ? 2 , B ? ? x ? x?4 ?

?

?

3.已知 z ? ? a ? i ??1 ? i ?? a ? R ? ,若复数 z 在复平面内对应的点在实轴 上,则 a ? _________. 4.已知 cos ? ?

?? 1 3? ? , 2? ) ,则 cos ? ? ? ? ? _________. ,且 ? ? ( 2? 4 2 ?

5.若 log a 2b ? ?1 则 a ? b 的最小值为_________. 6. ( x ? a)10 的展开式中, x7 的系数为 15,则 a ? ________. (用数字填写答案) 7. 已知圆锥的母线长为5cm,侧面积为 15? cm 2 ,则此圆锥的体积是_______ cm 3 .
x 8.已知 f ? x ? , g ? x ? 分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且 f ? x ? ? g ? x ? ? 2 ? x ,则

f ?1? ? g ?1? ? _________.
9.在上海高考改革方案中,要求每位高中生必须在理科学科:物理.化学.生物,文科学科: 政治.历史.地理这6 门学科中选择3 门学科参加等级考试.小王同学对理科学科比较感兴 趣,决定至少选择两门理科学科,那么小王同学的选科方案有___________种. 10. 有一列球体, 半径组成以1 为首项,

1 为公比的等比数列, 体积分别记为 2

?V1 ? V2 ? ? ? Vn ? ? ________. V1 ,V2 ,?,Vn ,? ,则 lim n??
11.在 ?ABC 中, AN ? 4, BC ? 6 2, ?CBA ?

?
4

.若双曲线 ? 以 AB 为实轴,且过点 C ,

则 ? 的焦距为_________. 12. 在矩形 ABCD 中, AB ? 2, AD ? 1 ,边 DC (包含点 D.C)的动点 P 与 CB 延长线 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 上(包含点 B )的动点 Q 满足 DP ? BQ ,则 PA ? PQ 的取值范围是____________.

?3an ? 5, an 为奇数 ? 13. 已知数列 ?an ? 的各项均为正整数,对于 n ? 1, 2,3? ,有 an ?1 ? ? an ? k ,an 为偶数 ?2

an 恒为常数 p , 其中 k 为使 an ?1 为奇数的正整数. 若存在 m ? N ? , 当 n ? m 且 an 为奇数时,
则 p 的值为_________. 14. 设函数 y ? f ? x ? 的定义域为 D ,如果存在非零常数 T ,对于任意 x ? D ,都有

f ? x ? T ? ? T ? f ? x ? ,则称函数 y ? f ? x ? 是“似周期函数” ,非零常数 T 为函数 y ? f ? x ? 的
“似周期” .现有下面四个关于“似周期函数”的命题: ①如果“似周期函数” y ? f ? x ? 的“似周期”为﹣1,那么它是周期为 2 的周期函数; ②函数 f ? x ? ? x 是“似周期函数” ; ③函数 f ( x) ? 2x 是“似周期函数” ; ④如果函数 f ( x) ? cos ? x 是“似周期函数” ,那么“ ? ? k? , k ? Z ” . 其中是真命题的序号是_________.(写出所有满足条件的命题序号) 二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4 题,每题有且仅有一个正确答案,考生应在 答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,每题选对得5 分,否则一律得零分. 15. “ a ? 2 ”是“实系数一元二次方程 x 2 ? ax ? 1 ? 0 有虚根”的 (A)必要不充分条件 (B)充分不必要条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 ?? ? 16.要得到函数 y ? sin ? 2 x ? ? 的图象,只需将函数 y ? sin 2 x 的图象( ) 3? ?

? 个单位 3 ? (C)向右平移 个单位 3
(A)向左平移

(B)向左平移

? 个单位 6 ? (D)向右平移 个单位 6

17. 汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1 升汽油行驶的里程,下图描述了甲.乙.丙三辆汽 车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是( ) (A)消耗1 升汽油,乙车最多可行驶5千米 (B)以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多 (C)甲车以80 千米/小时的速度行驶1 小时,消耗10 升汽油 (D)某城市机动车最高限速80 千米/小时. 相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油

a a

2 18.若 a , b 是函数 f ? x ? ? x ? px ? q ? p ? 0, q ? 0? 的两个不同的零点,且 a, b, ?2 这

三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则 p ? q 的值等于( ) (A)1 (B)4 (C)5 (D)9 三、解答题(本大题满分74 分)本大题共有5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的 规定区域内写出必要的步骤. 19.(本题满分12 分)本题共有2 个小题,第1 小题满分6 分,第2 小题满分满分6 分. 如图,四棱锥 S ? ABCD 中,底面 ABCD 为正方形, SA ? 面ABCD , AB ? 3, SA ? 4 . (1)求异面直线 SC 与 AD 所成角; (2)求点 B 到平面 SCD 的距离.

20. (本题满分14 分)本题共有2 个小题,第1 小题满分8 分,第2 小题满分满分6 分. 如图,旅客从某旅游区的景点 A 处下山至 C 处有两种路径.一种是从A沿直线步行到 C , 另一种从 A 沿索道乘缆车到 B ,然后从 B 沿直线步行到 C .现有甲.乙两位游客从 A 处 下山,甲沿AC 匀速步行,速度为50米/分钟,在甲出发2分钟后,乙从 A 乘缆车到 B ,在 B 处停留1 分钟后,再从 B 匀速步行到 C . 假设缆车匀速直线运动的速度为130 米/分钟, 山路 AC 长1260 米 ,经测量, cos A ?
12 3 ,cos C ? . 13 5

(1)求索道 AB 的长; (2)问乙出发后多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?

21.(本题满分14 分)本题共有2 个小题,第1 小题满分5 分,第2 小题满分满分9 分. 已知 ?ABC 的顶点 A, B 在椭圆 x2 ? 3 y 2 ? 4 上, C 在直线 l : y ? x ? 2 上,且 AB ? l . (1)当 AB 边通过坐标原点 O 时,求 AB 的长及 ?ABC 的面积; (2)当 ?ABC ? 90? ,且斜边 AC 的长最大时,求 AB 所在直线的方程.

22. (本题满分16 分)本题共有3 个小题,第1 小题满分4 分,第2 小题满分满分6 分, 第3 小题满分满分6 分. 已知函数 f ? x ? ? x x ? a ? b, x ? R . (1)当 b ? 0 时,判断 f ? x ? 的奇偶性,并说明理由;
x (2)当 a ? 1, b ? 1 时,若 f ? 2 ? ?

5 ,求 x 的值; 4

(3)若 ?1 ? b ? 0 ,且对任意 x ??0,1? 不等式 f ? x ? ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围.

23.(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分满分 6 分, 第 3 小题满分满分 8 分.
? 设 m 个正数 a1 , a2 ,?, am m ? 4, m ? N 依次围成一个圆圈.其中

?

?

a1 , a2 , a3 ?, ak ?1 , ak ? k ? m, k ? N ? ? 是公差为 d 的等差数列, 而 a1 , am , am?1 ?, ak ?1 , ak 是公比为 q
的等比数列.
? ⑴ 若 a1 ? d ? 1, q ? 2, k ? 8 ,求数列 a1 , a2 ,?, am m ? 4, m ? N 的所有项的和 Sm ;

?

?

⑵ 若 a1 ? d ? q ? 3, m ? 2015 ,求 m 的最大值; ⑶ 当 q ? 2 时是否存在正整数 k ,满足

a1 ? a2 ? ? ? ak ?1 ? ak ? 3? ak ?1 ? ak ?2 ? ? ? am?1 ? am ? ?若存在,求出 k 值;若不存在,请说
明理由.

崇明县 2015 学年第一次高考模拟考试试卷 参考答案及评分标准
一.填空题 1. ? ; 2. (?1, 2) ; 3. 1 ; 4.

1 15 ; 5. 2 ; 6. ; 7. 12? ; 2 4

8. ?

1 32 ?3 ? ? ; 11.8; 12. ? ,3? ; 13.1 或 5; 14.①,③,④ ; 9.10; 10. 2 21 ?4 ?

二.选择题 15.A;16.B;17.D;18.D 三.解答题 19.(1)? BC / / AD ,? ?SCB 是异面直线 SC 与 AD 所成角??????????2 分 ? SA ? 平面 ABCD,? SA ? BC 又 BC ? AB ,? BC ? 平面 SAB,? BC ? SB ????????????????4 分

5 5 , ?SCB ? arctan ???????????????5 分 3 3 5 所以异面直线 SC 与 AD 所成角大小为 arctan ?????????????????6 分 3 SA ? (2)? 平面 ABCD 1 ? VS ? BCD ? S ?BCD ? SA ? 6 ????????????????????????8 分 3 ? SA ? 平面 ABCD,? SA ? CD 又 AD ? CD ,? CD ? 平面 SAD,? CD ? SD 15 ? S ?SCD ? ??????????????????????????????10 分 2 设点 B 到平面 SCD 的距离为 h , 1 ?VS ? BCD ? VB ? SCD ? S ?SCD ? h ? 6 3 12 ? 点 B 到平面 SCD 的距离为 h ? ?????????????????????12 分 5 12 3 5 4 20.(1)在 ?ABC 中,∵ cos A ? , cos C ? ,∴ sin A ? , cos C ? ,??2 分 13 5 13 5
又 SB ? 5 ,? tan ?SCB ?

sin B ? sin[? ? ( A ? C )] ? sin( A ? C ) ? sin A cos C ? cos A sin C ?
由正弦定理

5 3 12 4 63 ?????????5 分 ? ? ? ? 13 5 13 5 65

AB AC AC ? ? sin C ? 1040 ,???????????7 分 ,得 AB ? sin C sin B sin B

所以索道 AB 的长为 1040 米????????????????????????8 分 (2)假设乙出发 t 分钟后,甲.乙两游客距离为 d 米,

此时,甲行走了 (100 ? 50t ) 米,乙距离 A 处 130t 米, 由余弦定理得:

d 2 ? (100 ? 50t ) 2 ? (130t ) 2 ? 2 ?130t ? (100 ? 50t ) ?
∵0 ? t ?

12 ? 200(37t 2 ? 70t ? 50) ??11 分 13

1040 ,即 0 ? t ? 8 ,???????????????????????12 分 130 35 故当 t ? (min)时,甲.乙两游客距离最短?????????????????14 分 37
21.(1)因为 AB ∥ l ,且 AB 边通过点 (0, 0) ,所以 AB 所在直线的方程为 y ? x .?1 分 设 A,B 两点坐标分别为 ( x1,y1 ), ( x2,y2 ) 由?

? x 2 ? 3 y 2 ? 4, ?y ? x

得 x ? ?1

所以 AB ?

2 x1 ? x2 ? 2 2 .????????????????????3 分
2
??????????????????????4 分

原点到直线 l 的距离 h ? 所以 S△ ABC ?

1 AB ?h ? 2 .?????????????????????? 5 分 2

(2)设 AB 所在直线的方程为 y ? x ? m ,????????????????6 分

由?

? x 2 ? 3 y 2 ? 4, ?y ? x ? m

2 2 得 4 x ? 6mx ? 3m ? 4 ? 0 .

2 因为 A,B 在椭圆上,所以 ? ? ?12m ? 64 ? 0 .

设 A,B 两点坐标分别为 ( x1,y1 ), ( x2,y2 ) ,

3m2 ? 4 3m 则 x1 ? x2 ? ? , x1 x2 ? , 2 4

32 ? 6m2 所以 AB ? 2 x1 ? x2 ? .????????????????10 分 2
又因为 BC 的长等于点 (0,m) 到直线 l 的距离,即 BC ?
2 2 2

2?m 2

.???????11 分

2 2 所以 AC ? AB ? BC ? ?m ? 2m ? 10 ? ?(m ? 1) ? 11 .

所以当 m ? ?1 时, AC 边最长, (这时 ? ? ?12 ? 64 ? 0 ) 此时 AB 所在直线的方程为 y ? x ? 1 .??????????????????14 分

22. (1)当 a ? 0 时, f ( x) ? x | x | 此时 f (? x) ? ? f ( x) ,所以 f ( x ) 是奇函数????????????????2 分 当 a ? 0 时, f (?a) ? ?a | a |, f (a) ? 0 ,所以 f (?a) ? f (a) 且 f (?a) ? ? f (a) 所以 f ( x) 既不是奇函数,也不是偶函数 ???????????????4 分

(2)当 a ? 1, b ? 1时, f ( x) ? x x ? 1 ? 1 ,
x 由 f (2 ) ?

5 5 x x 得 2 2 ?1 ?1 ? 4 4

??????????????????5 分

?2 x ? 1 ?2 x ? 1 ? ? 即? 或? x 2 1 1 x 2 x x ?(2 ) ? 2 ? ? 0 ?(2 ) ? 2 ? ? 0 4 4 ? ?
解得 2 ?
x

????????????7 分

1? 2 1? 2 1 或2 x ? (舍),或2 x ? ???????????9 分 2 2 2 1? 2 ? log2 (1 ? 2 ) ? 1 或 x ? ?1 ??????????10 分 2

所以 x ? log2

(3)因为当 x ? 0 时, a 取任意实数,不等式 f ( x) ? 0 恒成立, 故只需考虑 x ? ?0,1? ,此时原不等式变为 x ? a ? 即x?

?b ?????????11 分 x

b b ?a? x? x x b b 故 ( x ? ) max ? a ? ( x ? ) min , x ? ?0,1? ????????????12 分 x x b 又当 ?1 ? b ? 0 时函数 g ( x) ? x ? 在 ?0,1? 上单调递增, x b 所以 ( x ? ) max ? g (1) ? 1 ? b ; ??????????????????13 分 x b 对于函数 h( x) ? x ? , x ? ?0,1? x
当 ? 1 ? b ? 0 时, ?b ? (0,1] ,

b ? 2 ? b ,当且仅当 x ? ?b 时等号成立 x b 即当 x ? ? b 时, ( x ? ) min ? 2 ? b ,??????????????15 分 x
所以 h( x) ? x ? 此时要使 a 存在,必须有 ?

?1 ? b ? 2 ? b ?? 1 ? b ? 0

即 ?1 ? b ? 2 2 ? 3 ,

此时 a 的取值范围是 (1 ? b,2 ? b ) ?????????????????16 分

23. ⑴依题意 ak ? 8 ,故数列 a1 , a2 ,...,am 为 1, 2,3,4,5,6,7,8,4,2 共 10 个数, 此时 m ? 10 , Sm ? 42 , ?????4 分 ⑵因为数列 a1 , a2 , a3 ,..., ak ?1 , ak 是首项为 3.公差为 3 的等差数列知, ak ? 3k , 而 a1 , am , am?1 ,..., ak ?1 , ak 是首项为 3.公比为 3 的等比数列知, ak ? 3m?2?k ,??6 分 故有 3k ? 3m?2?k , k ? 3m?1?k , 所以 k ? 3k ? 3m?1 , 要使 m 最大, k 必须最大,
6 729 m?1 又 k ? m ? 2015 ,故 k 的最大值 36 ,从而 3 ? 3 ? 3 ,

所以 m 的最大值是 734. ???????????????????????10 分 ⑶由数列 a1 , a2 , a3 ,..., ak ?1 , ak 是公差为 d 的等差数列知, ak ? a1 ? (k ?1)d , 而 a1 , am , am?1 ,..., ak ?1 , ak 是公比为 2 的等比数列 ak ? a1 ? 2m?1?k ,??????12 分 故 a1 ? (k ? 1)d ? a1 ? 2m?1?k , (k ?1)d ? a1 (2m?1?k ?1) 又 a1 ? a2 ? ?ak ?1 ? ak ? 3(ak ? ak ?1 ? ? ? am?1 ? am ) , am ? 2a1 所以 ka1 ? 即 ka1 ?

1 1 ? 2m ? k k (k ? 1)d ? 3 ? 2a1 ? , 2 1? 2

1 k[a1 (2m ?1? k ? 1)] ? 3 ? 2a1 (2m ? k ? 1) ,?????????????14 分 2 1 1 m ?1? k ? k ? 6(2m?k ? 1) ,即 k ? 2m?1?k ? k ? 6 ? 2m?1?k ? 12 , 则 k ?2 2 2 k ? 12 18 m ?1? k ? ? ?1 ? 显然 k ? 6 ,则 2 ???????????????16 分 6?k 6?k 2, 3, 4, 5 代入验证知, 所以 k ? 6 ,将 k ? 1, 当 k ? 4 时,上式右端为 8 ,等式成立,此时 m ? 6 , 综上可得:当且仅当 m ? 6 时,存在 k ? 4 满足等式. ??????????18 分


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