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数学理科课堂学习提纲



精英中学高二数学理科课堂导学提纲

得数学者得天下

12 月 10 日

编制教师:段 斌

12.10 立体几何中的向量方法课堂导学提纲(一)
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(利用向量判断垂直、平行及求线、线角问题)
学习目标 1. 掌握直线的方向向量,及平面的法向量的概念; 2. 能利用直线的方向向量及平面的法向量解决平行、垂直等立体几何问题. 3、会求平面的法向量。 学习重点、难点 重点:将学习过的空间向量知识应用于解决平行,垂直等问题。 难点:用向量证明平行、垂直等问题。
一、基础梳理

? ? ⑵ a ? ? 0,0,1? , b ? ? 0,0,3? . ? ? 3. 设 u , v 分别是平面 ? , ? 的法向量,判断平面 ? , ? 的位置关系: ? ? ⑴ u ? ?1,2, ?2? , v ? ? ?2, ?4,4? ; ? ? ⑵ u ? ? 2, ?3,5? , v ? ? ?3,1, ?4? .

4、已知 A(-1,2,3) B(0,-1,2), ,

C(2,1,4)求平面 ABC 的一个法向量

考向二
1.如图,ABCD—A1B1C1D1 是正方体,B1E1=D1F1= 角的余弦值。

A1 B1 ,求 BE1 与 DF1 所成 4

(1) 直线: ① 直线的方向向量:和这条直线平行或共线的非零向量. ??? ? ??? ? ② 对于直线 l 上的任一点 P ,存在实数 t ,使得 AP ? t AB ,此方程称为直线的向量参数方程. (2) 平面: ? ? ① 空间中平面 ? 的位置可以由 ? 内两个不共线向量确定.对于平面 ? 上的任一点 P , a, b 是平面 ??? ? ? ? ? 内两个不共线向量,则存在有序实数对 ( x, y ) ,使得 OP ? xa ? yb . ② 空间中平面 ? 的位置还可以用垂直于平面的直线的方向向量表示空间中平面的位置. (3) 平面的法向量: ? ? ? 如果表示向量 n 的有向线段所在直线垂直于平面 ? ,则称这个向量 n 垂直于平面 ? ,记作 n ⊥ ? , ? 那 么向量 n 叫做平面 ? 的法向量.(法向量并不唯一) (4)求平面的法向量步骤: ? ⑴设平面的法向量为 n ? ( x, y, z ) ; ⑵找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标; ⑶根据法向量的定义建立关于 x, y, z 的方程组; ⑷解方程组,取其中的一个解,即得法向量. ? ? ? ? ? , ? 的法向量分别为 u , v ,则 (5)设直线 l, m 的方向向量分别为 a, b ,平面 ? ? ? ? ① l ∥ m ? a ∥ b ? a ? kb ? ? ? ? ② l ∥? ? a ? u ? a ?u ? 0 ? ? ? ? ③ ? ∥ ? ? u ∥ v ? u ? kv. (4) 异面直线成的角与< a,b >相等或互补。α,β 成二面角与< u,v >相等或互补。 二、典例剖析 考向一(平行、垂直问题一般用传统方法,故向量法不特别强调) ? ? ? ? 1、向量 n 是平面 ? 的法向量,向量 a 是与平面 ? 平行或在平面内,则 n 与 a 的关系是 . ? ? 2. 设 a, b 分别是直线 l1 , l2 的方向向量,判断直线 l1 , l2 的位置关系: ? ? ⑴ a ? ?1, 2, ?2? , b ? ? ?2,3, 2 ? ;



2、 如图, 1B1C1—ABC 是直三棱柱, A ∠BCA=90°, D1、 1 分别是 A1B1、 1C1 的中点, BC=CA=CC1, 点 F A 若 则 BD1 与 AF1 所成角的余弦值。



3、在四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是一直角梯形,∠BAD=90°,AD∥BC,AB=BC=a,AD=2a, 且 PA⊥底面 ABCD,PD 与底面成 30°角. 求异面直线 AE 与 CD 所成角的余弦值.

心得体会:______________________________________________________
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12 月 10 日

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